Ae^i /'tS'f HARVARD UNIVERSITY. LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY /^oV. T-Oi/lOh A fl DENKSCHRIFTEN KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE CLASSE VIERZEHNTER BAND. TOS^ MIT XXIV TAFELN. IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN, Bl'CHHÄNDLEK DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. 1 J I .1 ■ I D DENKSCHRIFTEN DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. MATHEMATISCH - NATURWISSENSCHAFTLICHE CLASSE. VIERZEHNTER BAND. "WIEN. AUS DER KAISERLICH-KÖNIGLICHEN HOF- UND STAATSDRUCKEREI. 1858. ".I'^'f XJ /ZO jbb INHALT. Erste Abtheilung. A 1) li ;i 11(1 hingen von Mitgliedern der Akademie. Seite Unger: Über fossile Pflanzen des Süsswasser-Kalkes und Quarzes. (Mit 111 Tafeln.) . . 1 JJnger: Beiträge zur näheren Kenntniss des Leitliakalkes, namentlich der vegetabilischen Einschlüsse und der Bildungsgescliichte derselben. (Mit II Tafeln und einer Ansicht.) 1 3 Hyrtl: Über den Amphibienkreislauf von Amj^kipnous und Monopterufi. (Mit I Tafel.) . 39 Ettingshausen , Constantin Ritt, v.: Über die Nervation der Bombaceen. (Mit XI Tafeln im Naturselbstdruck.) -49 Diesing: Vierzehn Arten von Bdcllideen. (Mit III Tafeln.) 63 Zweite Abtheilung. Abhandlungen von Nicht-Mitgliedern. Heger-: Über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen . . 1 Perger, Bat. v.: Studien über die deutscheu Namen der in Deutschland heimischen Pflanzen 123 Schmidt: Deliciae herpetologicae musei zoologici Cracoviensis. (Mit III Tafeln.) . . . 237 MIT( GLIEDER der kaiserlichen Akademie der Wissenseliaften. (Mit Ende des Jahres 1857.) Inländische Eli renniitj^Iieder der Ciesainmt- Akaile mie. Eriu'niiiiiig vom I. Februar IS48. Erzherzog- Franz Karl. Erzherzog- Ludwig. Graf Kolowrat-Liebsteinsky, Anton. Fürst Wetternifh, Clemens. Graf Nüac'h-BclliaghaDscn, .Jocacliim Eduard. Freiherr von Pillersdorff, Franz. EnKMiniing- vom 12. November I.s.i6. Erzherzog- Ferdinand Maximilian. Freiherr von Bach , Alexander. Mitglieder der philosophisch-historischen Classe. Im Inlande. W irkliclie IVIitg^lieder. Ernennuno; vom 14. Mai 1847. firillparzer, Franz Wien. Arneth, .Joseph Wien. Schafarik, Paul Prag. Hügel , Karl Freiherr von .... d. Z. in Florenz. Wolf, Ferdinand, der Zeit Secretär der philos.- histor. Classe Wien. Climel, Joseph Wien. Denkschriften der mnth.-naturw. CK XIV. Bd. Palacky, Franz Prag. Weber, Beda Frankfurt a. M. Stolz, Jodok St. Florian Jaeger, Albert Wien. Cittadella-Vigodarzere, Andreas Graf v. Padua. Nttnch-Bellinghansen, Eligius Frcih. v. Wien. Auer, Alois Wien. Ernenniins vom I. Februar 1848. Bergmann, Josepli Wien Pfizmaier, August Wien Rarajan, Theodor Georg von, der Zeit Vice-Priisident der Akademie . . Wien. o Ernennung vom 26. Juni 1848. DienuT, Joseph Wien. Ernennung vom 19. .luni 1849. Springer, Johann Wien. Ernennung vom 28. Juli 1851. Seidl, Johann Gabriel Wien. Birk. Ernst Wien. Meiller, Andreas von Wien. Miklosich, Franz W^ien. Ernennung vom 24. Juli 1852. Prokeseh-Osten, Anton Freiherr von d. Z. in Constantinopel. Ernennung vom 2. .Inli 1853. kandier, Feter Triest. | Phillips, Georg Wien. Ernennung vom 5. August 1854. Cifogna, Emanuel Venedig. | Bonitz, Hermann Wien. Ernennung mihi 18. October 1855. Ankershofen, Gottlieb Freiherr von Klagenfurt. Ernennung vom 12. November 1856. Asflibach, Joseph Wien. Ernennung \ om 4. September 1857. Boller, Anton Wien. C o I* I* e s p o n (1 i r e n d e I?I i t §i^ 1 i e d e r. Bestätigung vom i. l'eliniar I84's. Blninberger. Frledricii . (iöttwcig (Osterreich u. d.E.). i Reiblinger, Ignaz Melk (iar, Tliomas Tiient. Toidy. Fianz Pesth. (loldenthal, Jakob Wien. i Warlinger, Jo^epli Graz. Hanka, Wenzel Prag. j Wolny, Gregor Raygern. Karadsohitsch, Wuk-Stejiiiaiiowitse'h . . Wien. | Bestätigung \oiii 2H. .Iimi is48. BautTufcld, Eduard Edler von . . . Wien. I Scliullcp. .lnliann Karl Iloiniannstadt, Remele, Joliann Nep Wien. | Bestätigung \nm 19. .luni 1^19. ( zoernig, Ivaii Fieiiicrr v. C'zernlKuisen \\ ien. | Hye-Gluuek. .\ntoii ilitter von .... Wien. Bestätigung vom 28. Juli is.li. Boidtel. Ignaz Oimiitz. Kdlauer, P'ranz \\ Ion. Prilz. Fi-anz Linz. Sclili'dila-Mssehrd . Ottokar Fioiborr Feil. .Iii.^ejili \N iin vnn Constantinopel. (iaislicpger, Josejili Linz. i U'ocel, Joliann Erasmus Prag. Uöfler, Constantin Prag. Zappcrt, Georg Wien Firnhnbrr, Friodr ßestiätigiina; vnm 2. .Iiili 1*^.13. Wien. I Günther, Anton Bestittisiiiin; vnm f». August 1854. Wien. Kiiik. Kiulolpli Triest. Kossi, Fi-iuifesc'o Mailand. Weiniiold, Karl Graz. Bestätigung am 4. September 1857. Lange, Ludwig Prag. Im Auslande. Ehreiiinitg^lieder. Ernennung vom I. Februar 1848. Grimm, Jakob Ludwig Berlin. Gnizot, Franz Peter Wilheliii .... Paris. Pcrtz , Georg Heinrich Berlin. Reinand, Jos. Toussaint . Ritter, Karl AYilson, Iloraz Haymann Paris. Berlin. Oxford. Ernennung vom l'J. Juni 184!). Rau, Karl Ileinricii Heidelbei'g. Ernennung vom 18. üctober 1855. RoeeJih. Au>;ust Berlin. Correspondirende ]VIitg;lieder. Bestätigimg vom i. Februar 1848. ßöliiiier, Johann Friedrich Frankfurt a. M. f iltrario, Giovanni Antonio Luigi Nobile Turin. DiiiilmanQ, Friedrich Christoph . . . Bonn. Dioz, Friedrich Bonn. Flüs;el, Gustav Lebrecht Dresden. Gfrörer, August Friedrich Freiburgi.Brg. Hanpt, Moriz Berlin. niaelen, Philipp van der Brüssel. Michel, Francisque Bordeaux. Mohl, Julius von Paris. Thiersch , Friedrich Wilhelm .... München. Bestätigung vom 26. Juni 1848. Bland, Nathaniel London. freozer, Friedrich Heidelberg. Fallmerayer , Jakob Philipp München. Gervinns, Georg Gottfried Heidelberg. Stalin, Christoph Friedrich .... Stuttgart. Ihland, Ludwig Tübingen. Wilkinson, John Gardener London. Bestätigung vom l'J. Juni 1849. Krandis, August Bonn. Gachard, Ludwig Prosper Brüssel. Gerhard , Eduaid Berlin. RerckhoTe, Joseph Yicomte de . . . Brüssel. Kopp, Eutychius Luzern. Ritter, lleiniich Göttingen. Bestätigung vom 28. li 1851. Lanz, Karl Cannstadt. Bestätigung vom 24. Juli 1852. Gajangos, Pascual de Madrid. Du-MiTll p:delestand Bestätigung vom 2. Juli 1853. Slone, Franz Joseph Karlsruiie. BestiUigiing vom 5. August 1854. Voigt, Jolianiies Königsberg-. Bestätigung vom 18. Oclober 1855. Paris. I Wattenbach, Wilhelm Breslau. Bestätigung vom 12. November 1856. Schieicber, August Jena. Mitglieder der mathematisch -naturwissenschaftlichen Glasse. Im Inlande. Wirkliche JVIi t^Iied e r. Ernennung vom 14. Mai 1847. Carlini, Franz Mailand. Santini, Johann Padua. Bordoni, Anton Pavia. Zippe, Franz Wien. Stampfer . Simon Wien. Baumgartncr, Andreas Freiherr v. , der Zeit Präsident der Akademie . . . Wien. Haidiiifjer, Wilhelm AVien. Ettingshansen , Andreas Ritter v. . . Wien. Krcil, Karl Wien. Inger, Franz Wien. Schrötter, Anton, d. Z. General-Secretär und Secretär der math.-naturw. Cl. Wien. Redtenbacher, Joseph Wien. Byrtl, Joseph Wien. Ernennung vom I. Februar l'S48. üoller, .Marian Wien. ! Fenzl, Eduard Kollar. \incenz Wien. 1 Renss, August Emanuei . . Burg, Adam Ritter von Wien. Ernennung \üm 20. .hini 1848. Fitzinger, Leopold ANicn. Ernennung vom 17. .Iiili 1848. Bou<-, Ami Wien. I Skoda, Joseiih Wien. Prau-. Diosing, Karl Wien. Itokitansky, Karl Wien. Rochlcder. Friedricli Ernennung \(iiii Id. .linii 1849. Petnal. .loseph Wien. Brücke, Ernst Wien. Piag. Wien. Ernennung vom 2. Juli 1853. littrow, Karl von Wien. Ernennnng vom 18. October 1855. Iieydolt, Franz Wien. Ernennung \oni 4. September 1857. Lndwlg. Karl Wien. | Gottlieb, Johann Graz. Correspondireiide IVlitglieder. Bestätigung vnm I. Februar 1848. Belli. .Tosopli Pavia. 1 Redtenbarher, Ludwip; Wien. Haaer, Franz Ritter von Wien. | Rnssegger, Joseph Ritter von .... Schemnitz. Hanslab, Franz Ritter von Wien. j Schott, Heinrich Schönbrunn 1). Hessler, Ferdinand Wien. Wien. Knnzek. August Wien. i Tschudi, Joliann .Takob von .... .Takohihof bei Panizza, Bartliolomäiis Ritter von . . . Pavia. ( Wr.-Neustadt. Bestätigung vom 26. Juni 1848. Balling;. Karl Prag. Moth, Franz Wien. Frerer, Heinrich Triest. Pnrkyne, Johann Prag. Gintl. Wilhelm Wien. Reichenbach, Karl Freiherr von . . . Wien. Hrasehaoer, Franz Graz. Reissek, Sie2:fried Wien. löwe, Alexander Wien. | Wertheini, Theodor Pesth. Besttitigiing vom 19. Juni 1849. Barrande, Joachim Prag. ffedl, Karl Wien. Weisse, Maximilian Krakau. Fritsch, Karl Wien. Rner, Rudolf Wien. , Bestätigung vom 2. Juli 1853. Ettingshansen, Constantin Ritter von . . Wien. | Resihnber, Augustin Kremsmünster. Bestätigung vom 4. September 1857. Hornstein. Karl Wien. 1 langer, Karl Wien. Stein. Friedrich Prasr. ' Im Auslande. Elirenmitg^lieder. Ernennung vom I. Februar 1848. Brown. Robert London. | Liebig, Justus Freiherr von .... München. Faradaj'. Michael London. j Müller, Johann Berlin. Humboldt. Alexander von Berlin. Ernennung vom 10. .Iiini 1849. flerschel, Sir Johii London. Ernennung vom 2. Juli 1853. Dumas, Jean Bapt Paris. Ernennung vom 18. Oetober 1855. Slrnve, Friedrich G. W. von St. Petersburg. C o I' r e s p o II d i I* e 11 d e ]?l i t g; 1 i e d e r. Bestätigimg vom 1. Februar 1848. Bunsen, Robert Wilhelm Heidelberg. ( duetelet, Lambert Adolphe .Jacques . Brüssel. Elie de Beiiuiuont, Leoncc Paris. , Rose, Heinrich Berlin. Eneke, .Johann Franz Berlin. Steiuheil, Ivarl August München. Kartias, Karl Friedrich Philipp von . München. Meyer, Hermann von Frankfurt a. M. .^litscherlich, P^ilard Berlin. Poggeudorff, .Johann Christian .... Berlin. Weber, Ernst Leipzig. Weber, Wilhelm Eduard Göttingen. Wöhler, Friedrich Göttingen. Bestätigung vom 26. Juni 1848. Agassiz, Louis Boston. ] Milne Ed^rards, Henry Paris. Bischoff, Theodor Ludwig Wilhelm . . München. Mohl, Hugo Tübingen. Dove. Heiniich Wilhelm Berlin. Owen, Ivichard Esq London. Ehrenberg, ( 'hristian Gottfried .... Berlin. Sehleiden, Matthias Jakob Jena. Grunert, Johann August Greifswald. i Wertheiin, Wilhelm Paris. nädler, .Johimn Heinrich Dorpat. Bestätigung vom 28. Juli 1851. Argelander, Friedrich Wilh. August . Bonn. Du Bois-Reyniond, I'.mil Heinrich . . . Berlin. Baer, Ivarl Ernst von St. Petersburg. Brewster, Sir David Edinburgh. Bestätigung vom 18. Oetober 1855. Hansmann, J. F. I^udwig Göttingen. Bestätigung vom 12. November 1856. Keamann, Franz H Ivönigsberg. YEEÄNDEKUNGEN IM PERSONALSTANDE SEIT DER GRÜNDUNG DER AKADEMIE. Mit Tode abgegangen. Im Inlande. Ehrenmitglieder: Käbeck von Kübau . Karl Friedrich Freiherr, 11. September 1855 . . Wien. iozashi. Karl Graf von. 17. Mai 1856 Graz. Weiirifh, Georg, 15. Mai 1847 Pjrlvt'r, Franz Ladislaiis von Felso-Eör, ■2. Üecember 1847 Wien. .Vuchar, Albert von, 6. Juni 1849 . . Graz. FeDchtersleben, Ernst Freiherr v., 3. Sep- tember 1849 Wien. Grauert, Wilhelm, lU. Jänner 1852 . Wien. Litta. Pumpeo, 17. August 1852 . . . Mailand Philosophisch-historische Classe. Wirkliche Mitglieder: . . Wien. Kodier, Jos. Ritter v., 6. Februar 185^ Wien. Exner, Franz, 21. Juni 1853 .... Padua. labDS, Johann, 6. October 1853 . . Mailand. Teicky, Jos. Graf v., 15. Februar 1855 Szirak. Remfeny.Jos.Grafv., 12. Septemb. 1855 Gerend. Haninier-PQrgstall, Joseph Fieiheri- von. 23. November 1856 Wien. Spaan, .Vnton Ritter von, 26. Juni 1849 . Kremsmünst. Riesewetter. Raphael Edler v.. ]. Jänner 1850 Wien. Fräst, Joiiann von, 3U. Jänner 1850 Nussdorf b. Wien. Correspondirende Mitglieder; Fischer, Maximilian, 26. Deo. 1851 Klosterneuburg. Schlager, Johann, 18. Mai 1852 . . M'ien. Jaszay, Paul von, 29. Deccmber 1852 . Wien. Filz, Michael, 19. Februar 1854 . Michaelbeuern. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Balbi. Adrian Edler von, 13. März 1848 N'cnedig. Rnsconi. Maurus, 27. März 1849 . . . Cadenoiibia Presl. Job. Swatopluk , 7. April 1849 Prag.' Doppler, ('hristian. 17. März 185.! . . Venedig. Wirkliche Mitglieder: Prechtl, Johann Ritter v.. 28. Oet. 1854 . Wien. Partsch. Paul. 3. Oetober 1856 . . .Wien. Beckel, Jakob, 1. März 1857 Wien. Correspoadirende Mitglieder: forda. Aiignst Joseph, im Jahre 1849 . Prag. ] Petfina. Franz, 27. Juni 1855 Presl, Karl, 2. October 1852 Prag. SalomoD, Joseph, 2. Juli 1856 . . Prag. . Wien. Im Auslande. Philosophisch-historische C lasse. Ehrenmitglieder: Bemiano, Job. Gottf., 31. December 1848 Leipzig. | Mai, Angelo, 8. September 1854 . . .Rom. Correspondirende Mitglieder: Letronnc. Anton .loliaTiii, 14. December 1848 Pai'is- Orelli, Joh. Kaspar v., ö. Jänner 184'.! . Zürich. Burnouf. Eugene, 28. Mai 18.52 . . . Paris. Sclinieller, Andreas, 27. Juli 1852 . . München. Baranda, Sainz de, 27. August 185.T . . Madrid. Stenzel, Gustav, 2. Jänner 1854 . . . Breslau. Raoal-Rochette, Desire, 6. Juli 1854 . . Paris. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Ehrenmitglieder: Berzelias, Johann Jakob Freiherr von, ' Bneh, Leopold v., 4. März 1853 .... Berlin. 7. August 1848 Stockholm. Gauss, Karl Friedrich, 23. Febr. 1855 . Göttingen. Correspondirende Mitglieder: Jacobi, Karl Gustav Jakob, 18. Febr. 1851 Berlin. ' fimelin, Leopold, 13. April 1855 . . .Heidelberg. Fuchs, Wiliielm, 28. Jänner 1853 . .Belgrad. Fuchs, Johann Neponuikv., 5. 5Iärz 1850 München. Fuss, Paul Heinr. v., 24. Jänner 1855 . Petersburg. Ausgetreten .sind die wirklichen Mitglieder: Endlicher, Stephan, am 11. März 1848 . Wien. [ DessewUy, Emil Gi-af, am 1>. März 184y . Pesth. Erste Abtheilung. AbliaiuUungen von Mitgliedern der Ai^ademie. Mit 31 Tafeln. ÜBER FOSSILE PFLANZEN DES SÜSSWASSER-KALKES UND QUARZES. VON FEANZ UNGER, WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. t)lLi/t> 3 Sa ["'elit/. VORGELEGT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 11. DECEMBEK 1806. Die neueren geologischen Forsclmngen haben gezeigt, dass die Süsswasserkalke und Quarze der Tertiärformation in dem Masse, als sie an thierischen Resten, namentlich an Con- chylien reich sind, an Pflanzenresten Mangel haben. Noch mehr — dieselben Untersuchungen lassen es kaum bezweifeln, dass es nur eine ganz geringe Menge von Pflanzenarten sind, welche an diesen Bildungen Theil nehmen und dass dieselben in einem Zustande erhalten sind, welche deutlieh darauf hinweisen , wie sehr sie den zersetzenden und auflösenden Wirkungen des Wassers ausgesetzt waren, bevor sie von den Sedimenten desselben durchdrungen und geschützt eine mineralische Beschaffenheit annahmen. Geht man die Angaben der verschiedenen Schriftsteller über die Süsswassex'kalke und Kieselkalke der tertiären Ablagerungen, die zumeist nur eine Aufzählung und Beschreibung der darin eingeschlossenen Land- und Süsswasserconchylien enthalten, durch, so erstaunt man, dass in vielen an Thierresten so reichen Localitäten der Pflanzen gar keine Erwähnung geschieht, in andern fast ausschliesslich nur von schilfartigen Gewächsen, Holztrümmern, Samen u. s. w. die Rede ist. So scheinen z. B. die ausserordentlich mächtigen Ablagerungen der württembergischen Süsswasserkalke ganz frei von Pflanzenresten zu sein'), wenn nicht viel- leicht die verticalen Röhren, von denen er in der Regel durchzogen ist, als Spuren derselben anzusehen sind. Ein Gleiches ist in dem Süsswasserkalke von Celle, im Bassin von Elsa in Toscana der Fall"). Dasselbe gilt auch zum Theile von den tertiären Süsswasserschichten des nördlichen Böhmens, und Dr. A. E. Reuss gibt ausdrücklich nur Tuehorzic, Kolosoruk und ') Dr. V. Klein, Gonchylien der Süsswasserkalkformation Württembergs. Jahresliefte des Vereines für vaterliindisclie Naturkunde n. 1847, p. 60. -) Gm. d'Halioy. Mein, pour sermr b, la desc. geol. des Pays has, de la France. lH'Jtl. Denkschriften der matbem.-uaturw. (."1. XIV. Bd. l 2 Franz TJnger. Littmitz au ') . wo die Süsswasserkalke schilfartige Stengel , Holzstücke und sparsame Samen enthalten, auch scheinen die vielen cylindrisehen Höhlungen, welche sie zuweilen besitzen, von zerstörten Pflanzenstengeln und Wurzeln herzurühren. Ausführlicher geht C. 0. Weber bei Beschreibung derSüsswasserquarze von Muffendorf bei Bonn in die neben Cypi'inen, Limneen,. Planorben, Paludinen und Froschresten vorkom- menden fossilen Pflanzen ein. Es werden nicht blos Stengel und Ehizome eines schilfartigen Gewächses, sondern auch die Reste einer andern Wasserpflanze (Nymphaea) beschrieben und abgebildet^). Besonders ausgezeichnet durch seine wohlerhaltenen Pflanzenreste ist der Süss- wasserquarz von Hlinik in der Gegend von Schemnitz in Ungarn. Herr Pettko hat neuer- dings darauf aufmerksam gemacht und auch andere Geologen veranlasst, dessen Lagerungs- verhältnisse durch die Anschauung kennen zu lernen^). Die allein da vorkommende Pflan- zenart ist eil) Scliilf. Sclion vor 13 Jahren liabe ich auf eine in der Umgebung von Gratz in Steiermark vor- kommende Ablagerung von Kieselkalk mit Conchylien und Pflanzenresten die Aufmerksamkeit der Forsclicr hingelenkt. Seither haben Schürfungen auf Braunkohlen und der begonnene Abbau eines Kohlen-Lagers die geognostischen Verhältnisse dieser Gegenden mannigfach auf- geklärt. Es hat sich zwar bei sorgfältigerer Nachforschung ein grosser Reichthum von Land- und Süsswasserconchylien herausgestellt, jedoch haben dieselben die damit verbundene Flora, welche gleichfalls durch das Vorwiegen einer schilfartigen Pflanze charakterisirt ist, um nichts bereichert. In einer Arbeit, die fossilen Land- und Süsswasser - Mollusken des Beckens von Rein*), wozu Dr. C. Peters deu geognostischen Theil lieferte, hat Herr Joseph Gobanz 22 verschiedene Arten, theils Crustaeeen, theils Gastropoden besehrieben. Seither wurde eine ähnliche Ablagerung von Süsswasserkalk auch in einer kleinen Ge- birgsbucht bei Strassgang und im ..Thale" nächst Grätz durch Dr. Rolle entdeckt, und die mir von demselben übertragene Bestimmung der da vorgefundenen organischen Reste ist zunächst die Veranlassung zu diesen Zeilen. Ungefähr eine halbe Meile südwestlich von Grätz verliert sich das breite Murthal zwischen St. Martin und Strassgang in ein kurzes, ziemlich rasch ansteigendes Seitenthal, welches rings von devonischem Kalke begrenzt ist. Mit geringer Lloffnung wurde nahe an dem Ausgange desselben vor einigen Jahren ein Schacht auf Braunkohlen abgeteuft. In der That stiess man in einigen Klaftern Tiefe auf dieselben. Sie waren aber weder der Menge noch der Beschaf- fenheit nach eines geregelten Abbaues werth und daher wieder verlassen worden. Die beim Abteufen des Schachtes zu Tage geförderten Gesteinsarten zeigten , dass man hier eine Süss- wasserbildung vor sicli hatte. Zahlreiche Reste von Schneckensehalen fanden sich sowolil in den mergeligen und thonigen Lagen als vorzüglich in einem festen Kalkstein , den man nur mit grösserer Anstrengung durchsunken hatte. Dieser nämliclie Kalkstein enthält jedoch nicht blos die wohlerhaltenen Reste von Schalthieren, sondern zugleich einige, wenngleich 'j i>ic tertiären Süsswassergebilde des nördlichen Böhmens und ilirc fossilen Thierreste. Palaeontogriiphica von W. Dunker und Herrn, t. Meyer, II, 1852, p. 1. *) C. O. Weber, Über die Siissw.asserquarze von Muffendorf bei Bonn in W. Ilaidin gor's „N'aturwissenschaftlicbcn Abhandlungen" Band IV, 1851, p. 19. •') W. Haidingcr's Berichte über die Mittheilungen von Freunden der Naturwissenschaften in Wien, II, 1S47, p. 170. 174, 4.i7, 164. •*) Sitzungsberichte der kais. Akademie der Wissenschaften, XIII, p. 180. über fossile Pflanzen des Süssicasser-Kalkcs und Quarzes. 3 undeutliclie Spuren von Vcgctabilien , wclclie beide eine niclit zu verkennende Uberein- stimmuno- mit den im Eeiner Becken vorliandenen ori>-aniselien Resten verriethen. Herr J. Gobanz, der die Untersuohung- der Thierreste über sich genommen hatte, entwarf folgendes Verzeichniss, zu welchem ich nach Untersuchungen an Ort und Stelle nur Einiges hinzufiiote : selten und noch jetzt liäufig' an sumpfigen Orten lebend, über das mittlere und nörd- liche Europa verbreitet'); Plano7'bis pseudamonius Voltz, sehr häufig; „ nitkUformis G b z., sehr selten ; ., applanatus Thom., sehr häufig: „ platy Stoma Klein, häufig ; Limneus parvidiis A. Braun, selten; subpalustris Thom., häufig; ,, turritus Klein, nicht selten: P<iludiiia acuta De eh., selten; „ exigua Gbz., selten; Ileh'x Reinensis Gbz., nicht selten; „ carimdata Klein, häufig; „ Giengensis Kraus, selten ; „ plicatella Eeuss, sehr häufig (auch bei Tuehorzie) ; „ stenospira^QUSS ., selten (auch bei Kolosornk) ; Piipa quadridentata Klein, häufig; Bulimus n. sp., selten; Achatina porrecta Gobanz, sehr selten (1 Exemplar); Carycliium minimum 0. F. Müll., nicht aus welchem hervorgeht, dass diese Ablagerung in nächster Beziehung zu der Süsswasserfor- mation des Thaies vom Rein steht, und wenn auch nicht mit demselben im unmittelbaren Zu- sammenhange stand, dennoch als eine mit derselben gleichzeitig erfolgte Bildung angesehen werden muss. Der Süsswasserkalk von Strassgang ist dicht, aber keineswegs homogen von graulich gelber Farbe und flach muscheligem oder unebenem Bruche. So wie er eine grosse Menge zerstreuter und bunt durch einander gemengter Schalthierreste enthielt, so finden sich auch häufig genug mehr oder minder deutliche Spuren von vegetabilischen Einschlüssen. Die vielen cylindrischen hohlen Räume, von denen er nach allen Richtungen durchsetzt ist, und welche nicht selten mit Kalkspatlikrystallen ausgekleidet sind, lassen auf verschwundene, denselben ursprünglich zum Grunde liegende Pflanzentheile schliessen. Um sich ein Bild von dieseniKalksteinezu verschaffen, betrachte man Tat". I, Fig. 1,2 und 3; die gebleichten Schalen der Gastropoden machen sich in demselben leicht kenntlich (Fig. 1 (?); weniger leicht sind die kleinen Trümmer vorhandener Pflanzenreste zu erkennen, a, b, c. Auf den ersten Anblick scheinen dieselben auf allen 3 Figuren sehr verschiedenen Pflanzentheilen anzugehören, bei näherer Untersuchung mit Hilfe des Mikroskopes aber zeigt es sich, dass Fig. 1 a und 6, so wie Fig. 3 homologe Theile einer und derselben Pflanze sind nur in ungleicher Vollständigkeit, in verschiedener Lage und in verschiedenem Grade der Auflösung und Zerstörung. Sowohl auf der Bruchfläche (Fig. 1) als in zwei auf einander senkrecht geführten Durch- schnitten (Fig. 3) erkennt man, dass man es mit cylindrischen hin- und hergebogenen, zuweilen zusammengedrückten und gequetschten Pflanzentheilen zu tluui hat. Die unregelmässige Aus- dehnung so wie der Mangel aller äusseren Ansatzpunkte lassen vermuthen, dass dieses Wurzel- theile sind, welche in diesem Kalksteine nach verschiedenen Richtungen umherschweifen, ohne dass es bisher noch gelungen ist, den dazu gehörigen Stamm oder Wurzelstock zu entdecken. '; Rossmässler, leon. Heft X, Fig. 660, p. 36. 4 Fr a n z ün ger. Die Grösse dieser durchaus gleichen und ungetheilten Wurzeln, welche im Querdurchmesser 2 272 Linien betragen, die Häufigkeit derselben und ihr nachbarliches Vorkommen , welche auf ein Zusammengehören zu Einer Pflanze schliessen lassen, geben der Vermuthung Eaum, dass sie keiner kleinen Pflanze angehören konnten , und dass dieselbe höchst wahrscheinlich mit einem Rhizome versehen war. Berücksichtiget man überdies noch die theilweise gute Er- haltung der Wurzeln, so geht nicht undeutlich hervor, dass die Pflanze, der sie angehörten, im Schlamme des kalkhaltigen Wassers selbst vegetirte , der später zu dem festen Kalksteine verhärtete. Sowohl auf den i'/omal vergrösserten Querdurchschnitt eines Stückes der Wurzel o, Fig. 1, welcher in Fig. 3 dargestellt ist , als auf dem gleich stark vergrösserten Durchschnitte einer andern ähnlichen Wurzel (Fig. 4) ergibt sich, dass dieselben einen rundlichen oderellipsoidischen Gefässköi'per a besassen, der die Mitte der Wurzel einnahm und einen Riudeukörper b, wel- cher mehr als y^ seiner Dicke und von weicher, schwammiger oder vielmehr lockerer Beschaf- fenheit war, der äusserste Theil hingegen c, der in Fig. 3 besser als in Fig. 4 erhalten ist, eine feste Eindensubstanz darstellte. Im centralen Gefässkörp er konnte man besonders deutlich in Fig. 3 die weiten Öffnungen der durchschnittenen Spiralgefässe erkennen. Sie waren nahezu in einem Kreise gestellt. Der innere Rindenkörper war mehr zerstört, jedoch traten auch hier als charakteristisch vom Mittelpunkte nach auswärts strahlenförmig verlaufende Zellgewebs- partien hervor, deren Zwisclienräume mit lichtem Kalkspath erfüllt andeuteten, dass dieselben ursprünglich mit Luft erfüllt waren. Nur der äussere Rindenkörper zeigte wieder eine festere Structur. Vergleicht man die anatomische Beschaffenheit dieser fraglichen Wurzeln mit der Structur der Adventiv- Wurzeln von Arundo Donax L., so muss man die grosse Übereinstim- mung in allen wesentlichen Punkten anerkennen. Auch bei diesen Fig. 12 und 13 zeigt sieh eine dreifach verschiedene Substanz, die cen- trale Gefässsubstanz mit den in einem Kreise gestellten Gefässen , der mittlere lockere Theil der Rinde und der äussere festere. Was den lockeren Theil der Rinde betrifft, so ist derselbe aus zartem Parenchyme gebil- det, deren einzelne Theile schon in sehr früher Jugend zerreissen und luftführende Lücken bilden (Fig. 12), welche sich in der Folge nur mehr erweitern (Fig. 13) und denselben ein äusserst lockeres, schwammiges Gefüge ertheilen, das schon durch den unbedeutendsten Druck Verletzungen erfährt. Ungleich schöner als die Fossilien von Strassgaug finde ich unzweifelhaft dieselben Pflanzentheile in einer Kieselversteinerung erhalten , die sich ohne Angabe des Fundortes in der reichen Sanunlung der Petrefacten der königl. Mineralien-Sammlung in Berlin befinden. Ich danke die Möglichkeit der Untersuchung dieses interessanten Petrefactes der gütigen Zuvorkommenheit des Herrn Prof. Dr. Beyrich. Fig. 14 stellt einen senkrecht auf die Län- genaxe dieses Wurzel- Convolutes geführten Schnitt in natürlicher Grösse dar. Man erkennt die einzelnen quer durchschnittenen Wurzeln, welche sich beinahe berüliren, und daher nur wenige vom Versteinerungsmittel erfüllte Zwischenräume enthalten. Die Wurzeln selbst, fast von gleichem Durchmesser, bieten eine ziemlich regelmässige kreisförmige Schnittfläche dar, die nur von dieser Form abweicht, wo der Seitendruck auf die noch weiche Masse Verschie- bungen hervorbrachte. Indess dürfte wohl wenigstens zum Theil diese Abweichung von der Cylinderform der Wurzeln schon im lebenden Zustande durch die nahe Berührung und' über fostiile Pßanzeu des SUssioasscr-Kalkcn und Quarzes. 5 Verstrickung entstanden sein, wie wir solche Veränderungen an vielen Pflanzen mit zahlreichen naheliegenden Wurzeln wahrnehmen. Eine der regelmässigsten dieser Wurzeln ist in Fig. 15 in fünfmaliger Vergrösserung dar- trestellt. Sie zeiQt dieselbe anatomische Beschaflenheit wie die Wurzeln von Strassffansf. Die- O O OD selbe erlaubt zur Erkenntniss der elementaren Zusammensetzung sogar noch eine weiter gehende Vergrösserung, welche in Fig. 16 auf das lOOfache verstärkt gezeichnet ist. Man hat hier nur den innersten Theil der fossilen Wurzel vor sich, man erkennet darin a den centralen aus dünnwandigen Zellen gebauten Markkörper, hb den aus verdickten Zellen gebildeten Holz- oder Gefässkörper, in welchem nach der Peripherie zu die grösseren und kleineren Spiral- gefässe c liegen; ferner in d eine schon der Rinde angehörige Schichte dünnwandiger Zellen, welche in den äusseren Lagen immer grösser werden und endlich in e ein sehr lockeres von unregelmässigen Lücken durchsetztes Parenchym aus ziemlich dickwandigen Zellen bestehend, welches der inneren Rinde entspricht. Der äussere festere Rindenkörper fällt hier ausser dem Gesichtskreise. Es ist keinem Zweifel unterworfen, dass dieser fossile Wurzelcomples unter den bekannten lebenden Analogien mit den Wurzeln von Arundo Donax die grösste Überein- stimmung zeigt. Allein diese Übereinstimmung wird noch grösser, wenn wir auf einige andere Petre- facte reflectiren, welche gleichfalls dem Süsswasserkalke und Quarze angehören und bereits aus mehreren Localitäten bekannt geworden sind. Ich rechne zunächst dahin jenes aus dem Kieselkalke von Rein stammende Fossil, welches ich in meiner Iconographia plant, foss. Taf. V, Fig. 1, als nahe verwandt mit Arundo Donax L. bezeichnete. Dahin geliörten ferner die von C. 0. Weber a. a. 0. auf Taf. IV unter Fig. 20 — 29 abgebildeten Rhizome in Verbindung mit den daraus hervorwachsenden Rohrstengeln. Gleichfalls dieselbe Pflan- zenart stellen auch die Abbildungen von 0. Heer auf Taf. 22 und 23 der Tertiär-Flora der Schweiz dar, so wie noch die mehrerer älterer Schriftsteller, welche ich hier übergehe. Obgleich ich mich nicht ganz zu der von Heer geäusserten Ansicht, der auch noch mehrere andere zweifelhafte Pflanzenabdrücke in den Ivreis der obigen Art hineinzieht, bekenne, so stehe ich doch keinen Augenblick an, den früher zur Bezeichnung derselben gebrauchten Namen Gidmites GöpperU Münst. mit den jedenfalls riehtigeren Arundo (Donax) G'öij)]ierti Heer zu vertauschen. Es ist mir nun möglich geworden von diesem fossilen Arundo-Rhizome eine anatomische Darstellung zu geben , welche etwas ausführlicher ist als jene , die ich von demselben in meiner vorerwähnten Iconographia, Taf. V, Fig. 2 und 3 mittheilte. Es ist ebenfalls wieder Hlinik in Ungarn, von welchen das Stück herrührt, welches Fig. 17 und 18 in einer drei- maligen Vergrösserung mit aller Sorgfalt gezeichnet wurde. Es stellt dieselbe einen Quer- schnitt durch den untersten Theil des Rohrstengels unmittelbar über der Stelle, wo er aus dem Rhizome entspringt dar. Die härtere Rindensubstanz a ist von dem weicheren Marke 6, welches in der Mitte bereits zu einer unregelmässigen Lücke zerrissen ist , ziemlich scharf getrennt. Beide sind durch eine grosse Menge zerstreuter Gefässbündel , die gegen die Mitte grösser werden und dichter beisammen stehen, ausgezeichnet. Aus dem Markkörper und zwar aus seinem äusseren Rande nehmen mehrere Adventiv- wurzeln (c, c, c) ihren Ursprung, durchbrechen den Rindenkörper und verlieren sich nach aussen. Mehrere solcher Adventivwurzeln sind in der umgebenden Gesteinsmasse theils quer, 6 Franz Unger. theils schief getroffen und zeichnen sich durch ihre rundlichen Contouren, die lichtere Farbe und durch den centralen Gefässkörper in Form eines dunkleren Punktes aus {d, fZ, d). Der übrige Theil der Dui'chschnittsfläche enthält nur unkenntliche meist dunkelgefärbte Trümmer und Fetzen derselben Pflanze ohne Spuren von Schalthieren oder anderen thierischen Resten. Einige Linien von diesem ausgezeichnet schön erhaltenen Rohrstücke entfernt, findet sich etwas schief getroffen , noch ein kleineres vielleicht demselben Individuum angehöriges Rohr- stiick (Fig. 18). Es fehlen daran sowohl Adventivwurzeln als der Markkörper, der bereits zu einer hohlen Lücke erweitert ist. Es kann daher weder dem Grunde wie das erstere ange- hören noch durch den Knoten getroffen sein. Vergleicht man diese beiden anatomischen Zeichnungen mit anatomischen Präparaten homologer Theile von Arundo Donax, so springt die Übereinstimmung beider dergestalt in die Augen, dass man w^ohl nicht zweifeln kann, man habe liier, wenn auch nicht dieselben, doch ungemein verwandte Gegenstände vor Augen. Endlich ist noch ein kleines verkieseltes Rohrstück , welches sich im kaiserlichen Hof- Naturalien -Cabinete in Wien ohne Bezeichnung des Fundortes befindet, mit der Kliniker Pflanze zusammen zu stellen. Dem äusseren Ansehen nach eben so gut einem Umbelliferen- stengel ähnlich sehend, zeigt ein Querdurchschuitt Taf. II, Fig. 1, dass man es mit einer monokotylen Pflanze zu tliun hat. Die lOOfache Vergrösserung eines kleinen Theiles lässt uns nach aussen den aus dickwandigen engen Zellen bestehenden Rindenkörper ß, ferner den aus erweiterten Zellen bestehenden Gefässkörper h und den aus enger werdenden Zellen zusammengesetzten Markkörper, der sofort in die Markhöhle übergeht, erkennen. Vier ein- zelne Gefässbündel d, cZ, J, d liegen im Parenchym des Gefässkörpers zerstreut und sind bis auf ihren mittleren Theil, welcher die Bündel der eigenen Gefässe und die nächst angrenzen- den Theile enthält, gut erhalten. Aus der Vergleichung dieses Stückes mit einer entsprechen- den Darstellung von Arundo Donax, Taf. II, Fig. 3, wird gleichfalls ein hoher Grad von Ubereinstiimnung ersichtlich sein. Ich darf wohl auf eine nähere Auseinandersetzung dieser Gegenstände nicht eingehen und mich damit begnügen, gezeigt zu haben, dass sowohl die angeführten Pflanzenreste aus Strass- gang, das Berliner Petrefact, die Pflanze von Hlinik und das zuletzt betrachtete Rohrstück aus demk.k. Hof-Naturalien-Cabinete höchst wahrscheinlich zusammen gehören und jener fossilen Pflanzenart entsprechen, welche bisher meist in Abdrücken unter dem Namen Cidmites Göpjjerti Münst. oder richtiger Arundo Göpperü Heer beschrieben wurde. Wer die hier zur Ver- gleichung beigebrachten Zeichnungen von Arundo Donax mit unserer fossilen Pflanze etwas umständlicher würdiget, wird leicht zur Überzeugung kommen, dass zwischen beiden Pflanzen- typen zwar eine generische Übereinstimmung sicherlich vorhanden ist , dass diese Überein- stimmung sich jedoch kaum auch auf den Art- Charakter erstrecken dürfte, wesshalb es auch gerathener sein dürfte, in der fossilen Pflanze eine eigene von Arundo Donax verschie- dene Pflanzenart anzunelunen. Schliesslich erlaube ich mir noch einige Kohlenreste, die theilweise ihre Sti'uctur erhal- ten zeigen, gleichfalls für Resttheile von Arundo Göpperti in Anspruch zu nehmen. Als die ersten Versuchsbaue auf Braunkohlen im Thale von Rein vorgenommen wurden, sind mir Proben zugekommen, deren Untersuchung mich in soferne überraschte, als ich hierin Theile von Pflanzenstructur wahrnahm, wie das bei keiner Braunkohle aus Steiermark der Fall war. Ich gebe die damals angefertigten Zeichnungen über diesen Gegenstand in den - über fossile Pßanzen des Siisswassn-- Ka Ikr.t kiuI Quarzes. 7 Fio-uren 8 bis 20 auf Taf. II. Sie zeigen alle, mit Ausnahme von Fig. IG, thcils einzelne Spiralgelassc, tlieils Gruppen von denselben, und zwar alle Modificationen, welche von Ring- gefässen, einfachen Spiralgefässen bis zu den netzförmigen Spiroiden. Eine Braunkohle von Mantscha, in der Nähe von Strassgang') , zeigte dieselben Reste (Fig. 19 u. 20). Vergleicht man dieselben mit den grösseren und kleineren Gefässen in den Gefässbündeln von Arundo Donax, Fig. 4, 5, 6 u. 7, so lässt es sieh als ziemlich wahrschein- lich erkennen, dass dieselben gleichfalls der Arundo Göpperti ihren Ursprung verdanken, wodurch zugleich ersichtlich wird, wie auch krautartige Pflanzen zuweilen zur Bildung von Braunkohlen Gelegenheit geben, wo sie in grosser Menge erschienen. Es ist nicht zu verkennen, dass die Figuren 8, 9, 10, 12, 13 einfachen Spii'algefässen, dagegen die Figuren 11, 14, 15, 17, 18, 19, 20 den netzförmigen Gefässen angehört haben. Ausser diesen Resten krautartiger Pflanzen sind sowohl in der Braunkohle von Rein als in der von Mantscha auch Überbleibsel baumartiger Pflanzen zu finden. Figur 22 und 23 zeigen solche ofienbar einem Nadelholze angehörigen Fragmente, ebenso Figur 21. Es würde jedenfalls schwer sein, diese Reste auf eine bestimmte Art zurückzuführen. Ein Gleiches gilt von der Faser- und Glanzkohle, welche bei Pols in Steiermark vorkommt (Fig. 24 — 26), die nocli weniger sicher zu bestimmen sein dürfte. Unter diesen Umständen ist es vielleicht nicbt überflüssig zu bemerken, dass bisher alle Versuche, die so ausgezeichnete Lignite von Voits- berg nach den ihnen zum Grunde liegenden Baumarten zu erkennen, vergeblich waren. Das wird aber aus dem Umstände erklärlich, weil diese Holzreste durch gewaltige Pressung in ihren Elementartheilen solche Veränderungen erfuhren, dass dadurch die Erkennung ihrer Form und Zusammenfügung fast unmöglich ist. Ein Querschnitt eines solchen Lignits von Voitsberg (Fig. 26) mag dies anschaulich machen. ]Man ei'kenut darin allerdings drei Jahresringe, man sieht die durch Druck zusammengequetsch- ten dickwandigen, die Jahreslage schliessenden Holzzellen, man ist jedoch keineswegs im Stande, die dazwischen fallenden dünnwandigen Holzzellen zu erkennen, die hier schon eine fast homogene Masse bilden. Ein Harzgang a ist vielleicht noch allein mit Sicherheit zu unter- scheiden. Wenn aus diesen Charakteren zwar nicht mit Sicherheit auf die Pflanzenwelt geschlossen werden kann, so ist es doch ausser Zweifel, dass dieser Rest gleichfalls einem Nadelholze zukommt, und aus anderweitigen vergleichenden Betrachtungen mag sogar die Art Peuce acerosa Ung. als nicht unwahrscheinlich anzunehmen sein. Zur selben Art dürften auch die Fig. 22 und 23 abgebildeten Reste von Rein zuzurechnen sein"). ') Ich lasse hier eine kurze Beschreibung dieser Braunkohle, welche nach den angestellten Schürfungen sich eben so wenig wie die von Strassgang bauwürdig zeigte und gleichfalls in Begleitung eines mit Planorbis pseudamoniui Volz erfüllten Schieferthones Tor- kam, folgen. Die Masse compact, getrocknet von engeren und weiteren Klüften durchsetzt. Die vorherrschomlen Spalten parallel sich in 1/2 — 3 Linien dicke Schieferstücke ablösend. In der ziemlich gleichförmigen umbrabraunen Farbe mit freiem Auge zu unterscheidende lichtere und dunklere Stellen. Die dunkleren scharf begrenzten Partien zeigten sich in ihrer kohlschwarzen Farbe, dem feinfaserigen Bruche, dem schwarzen Abfärben u. s. w. uubezweifelt als Kohlenstücke, ähnlich der Kohle eines Nadelholzes. Die lichteren eben so scharf begrenzten Stellen fielen besonders durch die hellbraune, ins Goldgelbe fallende Farbe und durch ihr schimmerndes Aus- sehen auf. Kleine, punktgrosse, bald linienförmig bald schuppenförmig erweiterte Partikelchen dieser Art durchsetzten die ganze Masse, grössere unregclmässig geformte Partien erschienen als schmale Zwischenschichten, nach welchen eben die Schieferung des Fossils erfolgt. Solche kleine biegsame Schüppchen sind stark vergrössert Fig. 12, 20 und 21 dargestellt. ^) Nach der später erfolgten Entdeckung einiger Braunkohlenstücke mit Holzstructur, die in derselben Schichte mit Helix Heinensis gefunden wurden und sich zweifellos als Peuce acerosa erkennen Hessen , dürften nun auch jene Beste eine bestimmte Deutung zidassen. 8 Franz Unger. Wir kommen nun nocli auf einen etwas zweifelhaften Pflanzenrest in dem Süsswasser- kalke von Strassgang. Ich habe davon auf Taf. I, Fig. 5 eine die natürliche Grösse beinahe noch ein Mal übersteigende Abbildung gegeben. Man sieht einen cylindrischen ungetheilten und etwas gebogenen Pflanzentheil von unverkennbar anderem Gefüge als die wurzelartigen Eeste, von denen früher die Rede war. Der Querschnitt, von welchem Fig. 6 noch eine stärkere (4'/, malige) Vergrösserung beigegeben ist, lässt eine grosse Übereinstimmung mit dem Querschnitte des Blattstieles von Nympliaea alba (Fig. 9) erkennen, die noch durch andere Querschnitte, Fig. 7 u. 8, eine Bestätigung finden. Nebst der Grösse und dem Umrisse ist es noch die Zahl und Lage von rundlichen dunkleren Stellen, welche für diese Vergleichung sprechen, da dieselben wohl nichts anderes als im weichen Parenchyme befindliche und mit gröberem Materiale ausgefüllte Luftcanäle sein können. Dass die weichen Blattstiele einer Nympliaea mannigfaltige Formabänderungen durch theilweise Auflösung, durch Druck u. s. w. erfahren mussten, geht aus den Zeiclinungen hervor, welche auf Fig. 10 und Fig. 1 &, c eben solche Theile zeigen. Aus demselben Grunde ist es auch begreiflich, in diesem Kalke nicht ganze Rhizeme zu finden, sondern solche, welche zum grössten Theile zerstört und sich nur in der weniger leicht auflösbaren Einde und in den Gefässbündeln erhalten haben. Macht man durch das Gestein einen Schnitt und glättet die Fläche, so wird man eine Menge ähnlicher, jedoch wenig zusammenhängender Pflanzenreste finden, die allerdings jenen sehr ähnlich sehen, ein Schnitt durch das ßhizom einer Nymphaeacee darlegt. Ich werde auf diesen Gegenstand noch einmal zurückkommen , wenn ich meine anatomi- schen Untersuchungen über das in vieler Beziehung äusserst merkwürdige Ehizom der Nym- pliaeaceen der Veröffentlichung übergebe. Sicherer als diese Fossilreste für das Vorhandensein der Gattung Nympliaea in der Ter- tiärzeit sprechen die Abdi-ücke des Ehizoms im Kieselkalke von Lonjumeau^) und im Süss- wasserquarze von Mufifendorf -). In beiden Loealitäten fanden sich überdies auch noch Samen, die als CarpoUtes Ovulum und Garpolites granulatus beschrieben wurden, aber wohl nichts anderes als Samen von einer Nymphaea- Art sein können. Ähnliche, aber viel weniger gut erhal- tene Pflanzenreste finden sich auch im Südwasserkalke von Strassgang, doch hat es mir bisher nicht gelingen wollen, über die Form derselben auch nur einigermassen ins Eeine zu kommen. Ob der Querschnitt eines Samens, der Fig. 11 gegeben ist und der sich durch eine starke Testa mit 6 Längen-Eippen auszeichnet, für einen Nymphaeaceensamen anzusehen ist, wage ich um so weniger mit Sicherheit auszusprechen. Unter diesen Umständen dürfte es sehr zweifelhaft sein, ob die hier angeführten und beschriebenen Eeste von Nympliaeamii der im Abdrucke bekannten Nymphaea AretkusaeBrong. übereinstimme oder nicht. Es wird daher jedenfalls zweckmässiger sein, sie einstweilen mit einem neuen Namen, als Nymphaea Blandusiae zu bezeichnen. Schliesslich sind noch mehrere, nicht sparsamer, aber doeli ebenso schlecht wie alle übri- gen erhaltenen Pflanzenreste des Strassganger Süsswasserkalkes zu erwähnen. Es sind Blatt- reste mit parallelen Nerven und Luftgängen. Ich habe solche Blattreste aus dem Kiesel kalke vonEein unter dem Namen Typhaeloipum lacustre beschrieben^) und füge hier nur hinzu, dass '; Mcm. du Mus. dhist.nal. VIII. p. 33L'. t. 17. f. 9, f. -J. ^) C. O. Weber, Über die Süsswasseniuai-ze von Muffendorf Ijci lionn. I. c. p. :U, f. IS. ■') Ungar, Oenera et spec. plant, foss. p. 44!>. Iconograpbia iilant. tViss. p. IS. t. 7, (ig. K— H; f. .i, tig. (i . 7. DenkfrhritteTi der kais. Akad. d. Wissensch. Rd. TV. über fossile Pflanzen des Silsswasser -Kalkes und Quarzes. 9 mir dieselben Pflanzenreste in grosser Anzahl aucli im Süsswasserquarze von Hlinik vorge- kommen sind. Ohne Zweifel dürfte diese tyjjha-artige Pflanze noch eine weitere Verbreitung in dieselbe Formation haben. Für die Flora der Süsswassorformation der Umgebung von Graz ist endlich ein Fund, wch'hen Herr Dr. Rolle im vergangenen Jahre machte, nicht ohne Interesse, indem es eine Pflanze betrifli't, welche bisher weder als ein Bürger der Vorwelt noch der Gegenwart bekannt war. Nicht unfern des Schlosses Thal bei Grätz und zwar auf dem Wege von da nach Plan- kenwart liegt eine Schichte der Tertiärformation zu Tage. Dieselbe hat schon ein fossiles Holz geliefert, welches ich als Klippsteinia medullaris beschrieb^); nun ist auch von Plerrn EoUe die unansehnliche Frucht einer Ohara daselbst entdeckt worden. Die Untersuchung zeigte, dass sie von allen bekannten Charen-Früchten abweicht, wesshalb ich sie als eine neue Art mit dem Namen des Finders bezeichne und auf Taf. I, Fig. 19 — 21 eine Abbildung gebe. Die Diagnose lautet folgendermassen : Cham MSollei Ung. Tai". I. Fig. 19—21 Ck. fructu elUptico infra truncato (0-84 m. m. longo, 0-76 m.m. lato) valvis spiralibus a latere visis 7 concavis, commissura cristatis, basi intime coadunatis, apice absqueverrucis terminatis. Terra lignitum ad castellum Thal prope Graeciuvi Stiriae. Invenit anno 1854. Dr. F. Rolle. Überblicken wir die hier angeführten Thatsachen, so wird es ersichtlich, dass jene Süss- wasserformationen der Tertiärzeit, die sich durch Ablagerung grösserer Massen von Kalk. Kieselkalk und Quarz auszeichnen, keine reiche Flora besitzen, dass aber diese ihre Flora eine sehr weite Verbreitung, ja man kann sagen wenigstens über ganz Mittel-Europa hat. Dieser Umstand deutet sichtlich darauf hin, dass hier besondere Verhältnisse obsrewaltet haben müssen, wodurch diese Gleichförmigkeit herbeigeführt worden ist. Ich suche sie in den unmittelbaren Bedingungen des Bodens. In dem so allgemein verbreiteten Auftreten von Arundo Glpperti, des Typhaeloipum lacuste, der Nymp>haea - kvtQW , wozu vielleicht für die Folge noch einige Charen zu ziehen sein werden"), geht hervor, dass man hier die Ufer-Flora kleinerer oder grösserer Süsswasserseen vor sich hat, — Seen, die nach ihren Bodenabsätzen zu schliessen von kalkhaltigen oder kieselhaltigen, auch wohl von Quellen beider Art zugleich versehen wurde. Sowohl die am Ivande solcher Seen oder kleiner Wasserbehälter lebenden Thiere als Pflanzen wurden durch eben diese Quellen-Absätze begraben und erhalten. Man ersieht aus eben diesen geologischen Bildungen, wie zahlreich auf einem kleinen Erdstrich solche Mineralquellen und Geyser ehedem vorhanden gewesen sein müssen. Für unsere gegen- wärtige Zeit hat sich etwas Ähnliches nur in den Kalk- und Kieselsinter absetzenden Quellen erhalten , die aber bei weitem nicht so mächtig und überdies in der Regel durch die mensch- liche Industi'ie zu sehr benützt sind , um die geologischen Einflüsse auf ihre Umgebung beob- achten zu können. Ausgezeichnet und in vieler Beziehung mit den Süsswasserkalken der 'j Unger, Gen. ei spec. plarif.foss. p. 4-19. -) Im Siisswasserkalke der Auvergne des Beckens von Puy en Velay und Cantal , so wie in der oberen Süsswasserformation des Pariser Beckens finden sich Chara-Früchte und Stengel. Denkschriften der mathem -naturw. CI. XIV. Bd. IQ Franz JJnger. Tertiärzeit eine grosse Analogie zeigend, sind die Kalk- und Kieselquellen in Italien, nament- lich in der Nähe Roms , in Tivoli u. s. w. Merkwürdiger Weise findet sich unter den daselbst erhaltenen Pflanzen, die natürlich der gegenwärtigen Zeitperiode angehören, auch eine Pflanze, welche mit der so verbreiteten und charakteristischen Arundo Göpperü die grösste Ähnlich- keit hat, nämlich Arundo Bonax L. '). Wie in den toscanisehen Süsswasserkalken, so kann man auch hier eine ältere und jün- o-ere Formation unterscheiden, welche von den ausgestorbenen zu den noch gegenwärtig lebenden Thieren und Pflanzen einen allmählichen Übergang zeigen; Leopold v. Buch gibt davon eine sehr ausführliche Schilderung. Er sagt") „die Felsen von Tivoli scheinen von unten hinauf eine Sammlung von einer Menge ohne Ordnung über einander gehäufter Cylinder von sehr beträchtlichem Durchmesser. Es sind concentrische Kreise, welche im Mittelpunkt immer eine vegetabilische Materie enthalten (gemeiniglich ein Rohr oder Schilfstiel oder den Ast eines Baumes). Der Kalksinter umgibt sie in Schalen, die gewöhnlich faserig im Bruche und einige Linien stark sind. Auf sie folgt eine isabellgelbe, zerreibliche Kalkrinde, dann Avieder der feste Sinter, und so in Abwechslung fort , bis sich mehrere dieser Ansetzungen begegnen und in ihrem ferneren Anwachsen gegenseitig Grenzen setzen. Häufiger sieht man statt der Materie, die den Ansetzungen zum Mittelpunkt diente, nur noch den leeren Raum , den sie ehemals einnahm. Hier zweifelt Niemand an der sehr neuen Entstehung des Gesteines." , Vorzüglich merkwürdig und charakteristisch sind aber für den Travertin die Höhlungen und Blasen, von denen er nie leer ist. Sie sind von zweierlei Art. Entweder sie sind länglich und klein, inwendig matt und oft vegetabilische Überreste darin, welche auf ihre Entstehung durch Einhüllung nachher zerstörter Pflanzentheile zurückführen — oder es sind grosse unförm- liche Öffnungen." Seite 29 fährt er fort: „Eine neue Art Travertin oder des kalkartigen Sinters sehen wir durch das schwefelhaltige Wasser (von Ponte Lucano) noch jetzt vor unseren Augen entstehen. Die Quelle hat 20" Wärme und bildet, sobald sie sich aus dem Boden hervorgedrängt hat, einen See, der seiner schwimmenden Inseln Avegen bekannt ist. Sie stosst sprudelnd auf, entbindet viel Schwefelleberluft und verliert mit ihrer hölieren Tempe- ratur zugleich auch den Kalkgehalt, mit dem sie hervorkommt. Die Wa s s er ge wachse des Sees werden durch diese Kalkerde umgeben, die sich nur in ungemein dünnen Schalen mit faserigem Bruche ansetzt. Aber die unruhige Quelle stosst immer wieder die umgebenen Stiele in die Höhe und hindert sie, sich fest zu verbinden. — Daher hat das Gestein fast das Ansehen von locker auf einander Q-ehäuften Pflanzen." Dieselbe lockere Masse bringt auch der La^-o (li Tarta hervor. „In der Mitte dieser fast gleichlaufend auf einander geliäuften Stiele findet ') Es dürfte nicht uninteressant sein hierbei auch der übrigen in diesen Kieselsintern vorhandenen Pflanzen zu gedenken . die ich einer von Professor Ponzi in Rom dem hiesigen Hof-Naturalien-Uabinete übermachten Sammlung entnehme. Pflanzen des Kiesel Icalkes von Rom. Arundo Vonax, Vaslanea resra, Mespilus pyracmitha, Corylus Avellana, Tilia europnca. I'opulns nigra, Ahius gluiinosa. Leopold V. li u c li fülirt 1. c. von den Felsen der Villa del Papa Oiiilio unweit dem Arco o.scuro und jener der Vigna IJolonna Vlatanus. Castanen, Lorbeer- und Nussblütter an. Pflanzen derselben Formation von Tivoli. Lauriis nobilis, Carpinus Ostrea, Carpinus orientalia, Fayus aih-atica, Buxhs sempervirens. Quercua [lex, Querrus apennina, Quercus pedunndaia , Acer Opaluin, Fraxmus exceUior, Pinus halepenais (Frucht). -) Geognost. Beobachtungen auf Reisen. Hd. IL p. 23. Tln'r fossile rflaiizcn dos Siissioasscr-Kalkes 7ind Quarzes. 1 1 inan immer noch den vegetabilischen Rest, welcher dei- Kalkerde die erste (lelegeiiheit zur Absetzung gab*-. Man sieht hieraus, wie der römische in deutlichen Schichten abgelagerte Travertin eben so seine Entstehung dem kalktuhrcnden Anieno den zahlreichen kalk- und kieselhaltigen Quellen verdankte, wie dies uu't den Kalken des Beckens der Loire, der Allicr, der Donau nahe an ihrem Ursprünge und anderer kleinerer Flüsse und Quellen ehedem stattfand. Schliesslich möge noch eine kui'ze Beschreibung der bisher in den Süsswasserkalken und <.^)uarzen vorgefundenen versteinerten Hölzern einen Platz finden. Sie beschränken sich auf das in dem Kieselkalke von Paris , im Süsswasserkalke von Tuchorzic, im Süsswasserquarze von Pllinik und im Becken von Thal bei Graz vorgefundenen Arten. BetuUnititn parisiense, Taf. m. Fig. 4, ö. B. 7-adüs medidlaribus e cellulis triserialibus conflatis, vasis vacuis"! septis scalariformibus.i cellulis ligni subpachyticliis. Exogenites Brong. Ung. Gen. et spec. plant, foss. p, .39.S'. lii formatione, tertiär ia ad Lut. Paris ioruvi ., nee non in Salinis Wielicensibus. Die hier gegebene anatomische x^bbildung ist nach einem Präparate angefertiget, wel- ches aus einem von Paris kommenden Exemplare herrührt. Ich übergehe die nähei'e Beschrei- bung und bemerke nur, dass der den Markstrahlen parallele Schnitt so wenig Deutliches darbot, dass ich ihn füglich weglassen konnte. Das Holz ist eine Kieselversteinerung. BetuUnium stagnigenum Un^. Taf. IIL Fig. 6, 7. B. ligni stratis utcunque conspicuis , vasis Stratum inclioantibus midto majorihus copiosioribus Ulis Stratum terminantibus , radäs medullär ibus minus confertis. TJng. Gen. et spec. plant, foss. p. 426. In stagnicena calce ad Tuchorzic Bohemiae (Communicavit. Dr. Baader Viennae). Auf dem Querschnitt ein ungemein schönes und deutliches Bild darstellend, wobei die durch seitlichen Di'uck beinahe verschwindenden ]\Iarkstrahlen eine besondere Erwähnung verdienen. Die Jahreslagen sind weniger durch die Holzzellen als durch die grössere und gerin- gere Häufung der Gefässe und ihre wechselnden Grössenverhältnisse bemerkbar. Die Erfüllung derselben durch Zellen ist ausser Zweifel. Besonders auffällig wird an dem untersuchten Holz- stücke der seitlich stattgehabte Druck im Längenschnitte parallel der Rinde (Fig. 7), wodurch man sieht, wie die 2 — 3 zellreihigen Mai'kstrahlen unter den Prosenchymzellen des Llolzes beinahe verschwinden. Die ungleiche Weite der Holzzellen mag wohl zum Theile auch in der seitlichen Quetschung ihren Grund haben. 12 Franz ünger. Über fossUe Pfla)izen des Süsswasser-Kalkes und Quarzes. Vhuiojpylon Hlinikianutn Ung. Taf. III, Fig. 1 — 3. T/i. strdis concentricis minus conspicuis (0'5 — 5 m. m. latis) cellulis amplis subpachytichis, versus strati limitem sensim angustioribus ^ poris lateralihus uni-biserialibus^ poris frontalibus minimis sparsis, radiis medullaribus e cellulis 1 — 8 formatis, ductibus resiniferis simplicibus copiosis. Ung. Gen. et spec. plant, foss. p. 355. hl stagnigena silicea ad JUinih Hungariae. Es ist mir etwas zweifelhaft, ob dies fossile Holz der Gattung Thuioxylon oder der Gat- tung Peuce angehört, indem es Eigenschaften der Charaktere beider Gattungen mit einander vereiniget, der Mangel deutlich hervortretender Jahresringe, die auffallende Dünnwandigkeit der Holzzellen, so wie ihr bedeutendes Lumen, endlich die sehr kleinen und schmalen Mark- strahlen und die ausserordentlich kleinen Tüpfel unterscheiden dieses Holz von allen übrigen bisher bekannten fossilen Nadelhölzern. Bezüglich der Tüpfeln ist noch zu bemerken, dass dieselben auf der Marksti'ahlenseite in zwei Reihen, zugleich aber auf der Eindenseite in einer Reihe in ziemlich zerstreuter Lage zu bemerken sind. Harzgänge sind gleichfalls nicht spar- sam vorhanden, w^ie Fig. 2 zeigt. RUppsteinia meduUaris Ung. Taf. III, Fig. 8—10. Ligni strata concentrica , vix lineam lata minus conspicua. Radii medulläres admodum conferti corpore incrassato , e cellidis uni-quadriserialibus parenchymatosis viajoribus formati. Vasa porosa angusta plus minus approximata ., ad finem annuli multo angustiora ac pauciora. Cellidae ligni prosencliymatosae angustissimae intermixtis seriebus cellularam paranchymato- rum viajo7'um. Ung. Oen. et spec. plant, foss. p. 449. Formatio lignitum ad castellum Thal prope Graecium Stiriae. Dieses fossile flolz, welches bisher nur in einem einzigen Stücke aufgefunden wurde, trägt so vielEigenthümliches in seiner Structur, dass es sich von den bisher bekannten fossilen Dikotyledonenhölzern wesentlich unterscheidet. Die ausserordentlich kleinen oder schmalen Holzzellen, die ausserordentlich breiten, aus weiten Parenchymzellen bestehenden Markstrahlen bieten sehr in die Augen fallende Unterscheidungsmerkmale. Dazu kommt noch , dass , wahr- scheinlich von den letztern ausgehend, Reihen von kleineren und grösseren Parenchymzellen zwischen den spindelförmigen Holzzellen verlaufen und so die Markstrahlen noch weit über ihre gewöhnliche Grenze hinaus fortsetzen. Die Gefässe sind so wenig gut erhalten , dass man über die Beschaffenheit ihrer Membran nichts sagen kann. Unter den lebenden Pflanzen scheint mir das Holz der Aui'antiaceen mit Klippsteinia nocli die grösste Ähnlichkeit zu zeigen. 13 BEITRÄGE ZIE NÄHEREN KENNTNISS DES LE1THAKALKE8 NAMENTLICH DER VEGETABILISCHEN EINSCHLÜSSE UND DER BILDUNGSGESCHICHTE DESSELBEN. Von FRANZ üNGEß, WIRKLICHEM MITGLItDE DKR KÄISEBLICHEK AKADEMIE DER WlbSEKSCHAFTEN. 3\Ui 2 SafeCiv. VORGELEGT IN DER SITZUNG DER MATHEM.-NATURW. CLASSE AM 11. DECKMBER 1S56. JMan hat bisher eine am Rande des grossen pannonischen Tertiärbeekens ziemlich allgemein verbreitete Kalksteinbildung — den sogenannten Leithakalk — den jüngeren Sedimenten der Molasseperiode zugezählt. In den LTmgebungen Wiens, und zwar zunächst am Fasse des Ivah- lenberges und an einigen Punkten des von da in südlicher Eichtung fortziehenden Wienerwal d- Gebirffes sitzt dieser Kalk unmittelbar auf dem älteren Wiener-Sandstein und Jurakalk auf, im Leithagebirge selbst, südlich von Brück an der Leitha, umsäumt und überdeckt er theilweise eine aus ür- imd Übergangsfelsarten bestehende Inselgruppe. Ganz dasselbe ist auch in Steiermark, einige Meilen unterhalb Graz der Fall, wo er gleich- falls am Eande einer von den Alpen vorgeschobenen Insel — dem Sausalgebirge — an mehreren Punkten auftritt und zu seiner Unterlage Thonschiefer hat. Weiter gegen Süden, wo er zwischen den Flüssen Mur, Drau, Save und den Tributären der letztern eine noch bei weitem grössere und mächtigere Ausbreitung erlangt, wiederholt sich so wie in Slavonien, Ungarn und Sieben- bürgen dasselbe, allein das Grundgestein ist nicht immer eine ältere Felsart. sondern auch dieses oder jenes jüngere Gebilde. Es ist unzweifelhaft, dass dieselben häufig sogar zu jenen Sedimenten gerechnet werden müssen, die gleichzeitig mit jener Kalksteinbildung ei-folgten. Wenn man — wenigstens in Steiermark — den die Sausalgebirgs-Insel umgebenden Leitha- kalk mit jenem vergleicht, der in einiger Entfernung davon erscheint, wie z. B. inWildon, Aflenz an der Mur u. s. w. , so findet man einen nicht unbedeutenden Unterschied. Während jener alle Merkmale einer ursprünglichen Bildung noch unverkennbar an sich trägt , stellt sich der andere seiner Hauptform nach mehr als ein Product der Zerstörung dar . wenn gleich seine Bestandtheile mit denen des ersteren grösstentheils übereinstimmen. 14 Franz Unger. Diese offenbar marine Bildung wird nicht undeutlich ausser den Korallen durch eine Menge anderer organischer Überreste charakterisirt, welche so wie jene vorzugsweise zum Aufbaue dieses Kalksteines beigetragen haben, theils aber auch durch solche Eeste, welche mehr zufällig in denselben geriethen und von ihm eingeschlossen wurden. Zu den ersteren gehören vorzüglich Foraminiferen, Schalthiere, Echinodermen, Crusta- ceen u. s. w., zu den letzteren Fisch- und Säugethierreste, so wie Pflanzentrümmer. Wenn schon alle die genannten niederen Thierformeii uns ein umfangreiches klimatolo- gisches Bild über die Zustände eröffnen, welche bei der Bildung dieser Ablagerung herrschend gewesen sind, so kann doch nicht in Abrede gestellt werden, dass die mehr zufällig erfolgten organischen Einschlüsse, zu welchen selbst Fischreste gehören , so wie die vom festen Lande daliin getragenen organischen Körper uns dieses Bild nur vervollständigen helfen. Es ist von vorne herein begreiflieh, dass die Pflanzentrümmer, welche während der Bil- dung einer die Küste umsäumenden Gesteinbildung etwa vom Lande durch Strömungen dahin gebracht wurden, wenn sie auch nicht von ferne herkamen, sich doch immerhin nur auf wenige Reste beschränken müssen. Hartschalige Früchte, Sämereien, Aststücke des Laubes beraubt, zerschellte Stämme und Holztriimmer sind alles, was wir füglich in denselben eingeschlossen erwarten dürfen. Von allen diesen Pflanzentrümmern haben sich bisher in unserem Leithakalk nur letztere, und das nur in sehr beschränkter Menge vorgefunden^). Die Umstände aber, unter welchen wir sie finden, lassen mit Grund vermuthen , dass sie sich daselbst nicht etwa auf secundärer Lagerstätte befinden, sondern dass sie in ihrem ursprünglichen Zustande dahin gebracht wurden, und erst auf dieser Stelle in jenen Zustand geriethen , in welchem wir sie gegenwärtig finden. Wenn wir das versteinerte Holz, welches sich im Leithakalk vorfindet, durchgeh ends als Kieselversteinerungen wahrnehmen, so muss das allerdings befremden und vielmehr zur Vor- stellung nöthigen, dass dasselbe in einer andern Gebirgsart den Verkieselungsprocess durch- gemacht und dann erst als bereits versteinertes Holz unter kalkige Ablagerungen gebracht wurde. Dies würde aber nothwendig die Voraussetzung bedingen, dass es im Leithakalke unter sol- chen Umständen angetroffen wird, die auf eine Zerstörung der es ursprünglich einschliessen- den Gebirgsmasse mid der beim Transporte solcher gewichtiger Massen nothwendigen Ab- rollung und Abrundung hinweisen. Von allem dem lässt sich gerade das Gegentheil wahrneh- men. Das versteinerte Llolz ist zwar nicht in ganzen Stämmen, aber doch hie und da in ziem- lich bedeutenden Stücken gefunden worden. Diese Stücke sind durchgehends nicht im minde- sten abgerieben, und können also unmöglich auch nur aus der geringsten Ferne hergerollt sein. Andererseits bemerken wir aber , dass alles versteinerte Holz des Leithakalkes nicht in seinen kalkigen Schichten, sondern stets auf den mit denselben wechselnden, allerdings ungleich weniger mächtigen Thonschichten vorkommt. Diese, wenn gleich nicht durch eine grosse Menge Kieselerde enthaltende Mineralien ausgezeichnet, besitzen jedoch immerhin so viel, dass durch deren Lösung jene Holztrümmer davon imprägnirt werden konnten. Wie dieses möglich wurde und in der That stattfand, darüber kann man sich freilich gegenwärtig nur eine unvoll- kommene Vorstellung machen. 'l Hon- Czjzek erwähnt (Jalirbuch der k. k. geol.Reiclisanstalt III. 1S52, Nr. -1, pag.4S) aus dem Steinbruche am Aarbaclie beiHof. wo Kalk initTegel Wechsel lagert, einer geflügelten Ahornfrueht. Über die pag. 47 angeführten, theils im Leithakalke, theils in den mergeligen Zwischenlagon vorkommenden l'll.'in/.enreste möchte ich vorder iland noch ein l'"ragezeiehen setzen. Beiträge zur näheren Kenntniss rle.s Leitliakalkes. 1 ö Alles dieses lässt mit Grund vermuthen, dass einzelne liolztrümmor zur Zeit dieser Kalk- fclsbildung- im offenen Meere, und zwar in der Nähe von Küsten liermntrieben , nachdem sie mit Wasser vollgesogen waren, untersanken, und so auf den Grund der sich eben bildenden Felsmasse kamen. Dass dies nicht fortwährend, sondern nur periodisch stattfond , lässt sich aus den oberwähnten ausschliesslichen Vorkommnissen in den Thonschichtcn folgern, so wie dadurch zugleicli hervorzugehen scheint, dass derlei Holztransporte mit schlanmiigen Ergüs- sen vergesellschaftet waren, welche aber wieder nur als eine Folge von Anschwellungen der in das Meer mündenden Land- und Gebirgsströme erscheinen. Somit wäre es sehr wahrsclieinlich , dass die in den Schichten des Leithakalkes einge- schlossenen versteinerten Hölzer die Überbleibsel einer mit jener mai'inen Bildung gleichzei- tigen Landvegetation darstellen. Von dieser Thatsache nun Aveitcr gehend, wollen war einen Blick auf die botanische Beschaffenheit jener Trümmer selbst werfen. So häufig auch versteinerte Hölzer im Leithakalke von jeher aufgefunden wurden und noch gegenwärtig ausgegraben werden, so habe ich aus dem gesammten mir zu Gebote stehen- den jNLateriale , welches ich auf zahlreichen Reisen durchaus selbst an Ort und Stelle zusam- menbrachte, sowohl in Steiermark als in (Österreich nur 5 verschiedene Baumarten, denen sie angehört haben, hei'ausfinden können. Unter diesen Baumarten gehören drei den Nadelhöl- zern und zwei den Laubhölzern an. Zwei der Nadelhölzer müssen einem dem Lebensbaume (Thuja) zunächst verwandten, vielleicht dieser Gattung selbst zukommenden Baume angehört haben : die dritte Art von Nadelholz war offenbar eine vorweltliche Piniis. Was endlich die Laubhölzer betrifft, so ist das eine sicherlieh eine Buchen-Art, das andere aber deutet auf eine Form, welche unter den einheimischen Holzgattungen, ja selbst unter den europäischen nicht mehr angetroffen wird. Dieses würde jedoch wenig über die Landschaft und die Vegetation der Gegenden, welche zur Zeit der Leithakalk-Bildung die Küsten des damaligen pannonischen Binnenmeeres umsäum- ten und sich über das Innere des Landes erstreckten, Licht verbreiten, wenn nicht eben diese Pflanzenarten sammt und sonders auch anderwärts gefunden worden wären , und zwar unter Umständen und in Begleitung noch zahlreicherer Pflanzenarten. Zuerst ist es sehr auffallend , dass der Leithakalk durchaus keine ihm eigenthündiche Landpflanze enthält, andererseits gibt es über die Bildung desselben mancherlei Aufschluss, wenn wir die Pflanzentrümmer des Leithakalkes auch in den anderen tertiären Ablagerungen des pannonischen Beckens, namentlich in dessen Tegel- und Schotteranhäufungen wieder fin- den. Es geht daraus, wie das auch durch andere organische Einschlüsse bestätiget wird, unwi- derleglich hervor, dass die Bildungen des Kalkes gleichzeitig oder doch fast gleichzeitig mit jenem Absetzen in demselben Becken erfolgten. Die fünf bisher im Leithakalk aufgefundenen Holzarten sind: Thuioxylon ambiguum Ung., Thuioxylonjuniperinum Ung., Peuce minor Ung., Fegonium vasculosum Ung. und Haueria stiri- aca Ung. Da ich von den beiden ersten bereits in meiner „Fossilen Flora von Gleichenberg" (Denksch. d. kais. Akad., Bd. VH) von Fegonium vasculosum, in der ^Chloris 'protogaea'-'- pag. 103, Tab. XXVII, 7, 8, 9, Beschreibungen und Abbildungen geliefert habe, so erübriget mir nur von Peuce minor und Haueria stiriaca das Gleiche zu thun. Von ersterer habe ich bereits in der Chlorisprot. p. 38, eine Definition gegeben und dieselbe in den „Gener. et spec. plant, foss. p. 376 waederholt. Sie lautet folgender Massen : 16 Franz Unger. Peuce minor Ung. Chlor, prot. p. 38. Taf. IV, Fig. 1 — 3. 7'. ligni stratis concentricis distinctis (0'5 m. in.), cellulis prosenchymatosis strata limitan- tibus angustiorihus ^ in extremis pachytichis. poris uni- rariiis hiserialihus subapproximatis. radiis medullaribus simplicibus e cellulis 1 — 20 superpositis constantibus, ductibus resiniferis nullis. Pinites minor Göpp. in Bronn, Gesch. d. Not. III. -2, pag. 40. Formatio tertiaria ad Bachmanning. in stratis Leithakalk dictis ad lapidicinis caesareis propc Brück Austritte. Diese Art eines zu den Abietiueen gehörenden Nadelholzes ist von den übrigen zahlrei- chen Arten der Gattung Peuce durch die äusserst schmalen Jahresringe, welche einen halben Millimeter nicht übersteigen, so wie durch die minder zahlreichen Markstrahlen-Zellen, welche in einer Reihe über einander gestellt nur die Zahl 20 erreichen, ferner durch den Maugel aller Harzgänge leicht zu unterscheiden. Diese Art wurde zuerst bei Bachmannig mit mehreren andern Trümmern versteinerten Holzes gefunden, und von mir nach einem im Museum von Linz auf- bewahrten Exemplare bestimmt und beschrieben. Im Jahre 1851 erhielt ich mit mehreren andern versteinerten Hölzern auch Trümmer derselben Art beim Besuche des Kaisersteinbru- ches am Leithagebirge. Da dieser Steinbruch schon lange im Abbaue begriffen ist. und dieser dadurch Veranlassung zur Gründung einer Ansiedlung der Arbeiter in dessen Nähe gegeben hat, so ist zu erwarten, dass der Leithakalk hier nach seinen Bestandtheilen und Lagerungs- verhältnissen leicht zu überblicken sein muss. Allerdings sind die Steinbrüche grossartig zu nennen, jedoch sind gegenwärtig nur die untersten Schichten im Abbaue begriffen, Avährend die höher gelegenen meist verlassen sind. Man hat indessen ein herrliches Profil vor sich , wenn man sich in die Tiefe begibt. Der Leithakalk, der hier fest ist und nicht gesägt werden kann . liefert gute Stufen für Treppen. Fenster- und Thoreinfassungen u. s. w. Er bildet deutliche Schichten von 2 — 3 Fuss Mächtig- keit mit thonigen und mergeligen Zwischenmitteln. Man zählt hier 6 — 8 solcher Schichten. Ausser der NuUipo7'a., die den Kalk vorzugsweise zusammensetzt, kommen noch viele andere organische Einschlüsse , namentlich Schalen von Land- und Meeres -Mollusken . Fischzähne. Knochen von Landsäugethieren u. s. w. vor. Der Eigenthümer des Seinbruches zeigte mir einen in Stein eingeschlossenen mächtigen Knochen, der seiner Grösse nach nur einem Dick- häuter oder einem wallartigen Thiere angehört haben kann, und der sich bei genauerer Unter- suchung als DelpMnus Kubynii He ekel erwies. Das fossile Holz , das nicht selten vorkommt und zwar oft in mächtigen Trümmern , ist durchaus verkieselt, und war nach den erhaltenen Proben Peuce minor., Thuioxylon ambiguuin. Fegonium vasculosum und Haueria stiriaca. Das zweite konnte ich selbst aus einer der thonigen Zwischenschichten herausschlaffen. Alle Schichten dieses Kalkes sind oberflächlich von senkrechten Klüften häufig durchsetzt, welche, da der frisch gebrochene Stein ausserordentlich viel Wasser enthält, durchaus nur die Wirkung des Frostes sind. Der Steinmetzmeister sagte mir, dass die geöffneten Stellen des Bru- ches, namentlich in der Tiefe, den Winter über durch eine Bedeckung von Schutt geschützt werden müssen, wenn man nicht ein zerklüftetes unbrauchbares ]\Literial haben wolle. Selbst frisch-' Beiträge zur näheren Kennt n/a^ r/cv LeitkalMlLea. 17 l)o!i;iuoiio Blöcke borsten im Winter. Avcnn sie nicht znvor durdi einige Zeit austrocknen kciunicn. Lni auf unsere 7'e«ce wmor zurückzukommen , so scheint mir aus den kleinen Htiicken. die ich von dieser Art bisher sali, zu schliessen, dieser Baum keineswegs zu den stärkeren gehört zu haben. Die zweite Art fossilen Holzes ist ITaueria stiriaca Ung. Hauevia l-ng-. Synop. plant, tbss. p. 229. IJgni strata concentrica inconspicua. Eadü medulläres Jiomomoi'phi creberrimi^ corpore elongato e celluUs uni-quatuor serialibus parenchymatosis formato. Vasa poro.sa impleta^ ampla simplicia vel composita lumine orbicidari. CeUulae ligni crebrae pacliyticliae angustissimae. Genus in honorem excellentissimi Domini Joseplii equitis de Hauer ^ indefessi petrefactorum Austriae scrutatoris propositum. Oen. et spec. plant, foss. p. 420. Hauevia stiviaca U n g. Taf. IV, Fig. 4. 5. H. vasis amplioribtis , bi-ternatimque in taeniam coalitis cellulis ligni amplioribus circwmdatis, radiis medullaribus undulatim extensis. In arenaceo formationis miocenicae ad Kaisdorf prope Uz et Gleichenberg Stiriae nee non in calcareo Leithahalh dicto ad lapicidinis caesareis prope Brück Austriae. Von diesem merkwürdigen fossilen Holze, das wegen der Ähnlichkeit mit dem Lignum aloes der Apotheken, d. i. von Aquilaria Agallochum L. unter dem Gattungsnamen llaueria zu den Aquilarineen gezählt wurde, habe ich zuerst ein kleines Stück aus der Gegend von Ilz in Steiermark erhalten, ein zweites aus dem Kaisersteinbruclie, und neuerlichst gab mir das näm- liche Holz Hr. Dr. "W. Pra9il zur Untersuchung mit dem Bemerken, dasselbe sei im Thone bei der Abgrabung des Berges zum Baue der Terrasse vor dem Vereinshause in Gleichenberg aufgefunden worden. Von besonderem Interesse ist es, dass ein diesem fossilen Holze sehr ähnliches fossiles Holz, welches ich als flaueria americana in meiner Chloris p7-otogaea anführte, und in den Gen. et spec. plant foss. pag. 426 in folgender Diagnose „ Vasis ut plurimum simplicibus., vel rarius per paria approximatis pachyticliis , radiis medularibus subrectis" beschx'ieb , und wozu ich Witham's Abbildung (Bit. struc.t.lO',f. 14) zog, auf der Insel Antigua, welche reich an fossilen, von den unserigen jedoch durchaus verschiedenen Hölzeni ist, vorkommt und von Schiede auch bei Papantla in Mexico gefunden wurde. Da von dieser Art eine vollständige Abbildung noch fehlt, so habe ich geglaubt eine solche hier Taf. IV, Fig. 6 und 7 gel)eii zu müssen. Eine übersichtliehe Zusammenstellung des eben Vorgebrachten wird die Sache anschau- lich machen, und zugleich als Aufzählung der bereits in diesem Bereiche vorgefundenen fossi- len Hölzer dienen können. I>enkschriften der malhem -üaturw. CI. XIV Bd. ^ 18 Franz ünger. Namen der Arten Leithakalk In anderen Schichten des | In anderen Schichten des Wiener Beckens 1 steir. Beckens Fegonium raaculosum Ung. Kaisersteinbruch T/iuio.ci//un aiiibig)iuiii Ung. j Kaisersteinbruch, Steinbruch I des Herrn Cassar bei Brück Tliuiorcylon junipernium Ung. I Rohitscli und Sauritsch in Steier- mark Peuce minor Ung. ILiuer/a sfiriaca Uns Kaisersteinbruch Kaisersteinhruch Gaspoldhofen, Freystadt und Schärding. Ernstbrunn Im Tegel, Wien i. J. 1850 beim Graben des Grundes vom Hause Nr. 109 Wieden, Heugasse. Sohärding, Wien Bachmanning Murberg, Radkersburg, Wurmberg, Gleichenberg (im Bache beim Gasthause zur Stadt Ofen) Mühlsteinbruoh von Gleichen- berg Mühlsteinbruch von Gleichen- berg Karlsdorf bei Hz und Gleiohenberg in Steiermark Eine bei weitem wichtigere Frage als die fossilen Hölzer betrifft eine im Leithakalke allent- halben verbreitete Bildung, die man bisher als Nullipora ramosissima Eeuss bezeichnete. Da die Nulliporen, wie es bereits bekannt und gleich näher dargestellt werden soll, keine thierischen Organismen sind, sondern zu den kalkabsondernden Algen gehören, und mit Gorallina, Haly- meda, Galaxaura u. s. w. in dieser Beziehung zunächst verglichen werden können, so würde falls die fragliche Bildung des Leithakalkes wirklich eine NuUipoi-a wäre, dies ein ganz neues Lieht über die Zusammensetzung desselben verbreiten. Wir hätten in demselben nicht das Pro- duct kalkabsondernder Thiere — kein Corallenriff — sondern die Bildung einer eigenartigen submarinen Wiese vor uns, und die Bedeutung der Pflanze beim Baue von Gebirgsmassen käme dadurch zu einer bisher ungeahnten Geltung. Wir wollen diese Frage ihrer Wichtigkeit wegen etwas ausführlicher in Betrachtung ziehen. Schon den älteren Naturforschern waren einige krustenförmige, knollige und strauchartige am Meeresgriinde vorkommende Kalkmassen bekannt, die der äusseren Ähnlichkeit und Be- schaffenheit nach, welche sie mit vielen Corallen zeigten, mit denselben in eine Classe, ja sogar unter deren Gattungen gebracht wurden. Zuerst schied man bei besserer Bekanntschaft mit ihrer Structur die gegliederten Formen derselben unter der Abtheilung der Corallinen als wirkliche Algen davon , und erst in einer verhältnissmässig sehr späten Zeit (1837) zeigte Dr. Philippi'), dass auch mehrere als Milleporen, Nulliporen und Pocilloporen unter den Zoophyten figurirenden Gebilde nichts anderes als Pflanzen sind. In Folge der von ihm angestellten Untersuchungen, wobei vorzüg- lich die an den Küsten von Sicilien gesammelten Gegenstände benutzt Avurden, ergab es sich, dass diese bisher für Corallen ß-ehaltenen Algen vorläufig- am zweckmässigsten unter zwei Gattungen — Lithothamnium und Lithophyllum — gebracht werden konnten , von Avelchen Philip pi im Ganzen nur 9 Arten beschreibt. Im Jahre 1841 hat Dr. F. T. Kützing diesem Gegenstande eine wiederliolte Aufmerk- samkeit zugewendet, und in einer kleinen Schrift") im Ganzen zwar die Untersuchungen Pliilippi's bestätiget, jedoch die beiden vorerwähnten Gattungen wieder eingezogen, und für dieselben den Gattungsnamen Spongites substituirt, erinnernd an Linne's Cellepora, Sp)ongites, welche seiner Meinung nach die meisten dieser fraglichen Gegenstände enthielt. '; Archiv für Xaturgesch., III, p. 387. *) tlbor ilie Polypieres calci/eres des Lamoiiruiir . Nordhausen und Leipzig 1811. Bei li. (i. H. Schmidt. Ik'iträge zur näheren Ke)intni.as des LeithahalLcs.' 19 Die schon von Pliillppi und Meneghini') angedeuteten Organe der Fortpflanzung werden von Kützing etwas ausfülirlicher beschrieben, olme jedoch diesen Gegenstand genug- sam aufzuklären. Auch in Kützing's späterem Werke Plu/tologia generalis ist darüber kein besseres Licht verbreitet. Im Ganzen manffehi über diese in vieler Beziehuno; so merkwürdii;'c]i und einzii-' daste- henden Gewächse nicht nur alle Beobachtungen, welche ihre systematische Stellung begrün- den können, sondern eben so auch alle Beobachtungen über Entwickelung, Vorkommen und Verbreitung, die für die Geologie von Wichtigkeit wären, wie ich gleich näher zeigen werde. Unter diesen Umständen habe ich mich vorläufig auf einige Untersuchungen beschränken müssen, die ich selbst an einigen derartigen Gewächsen anstellte, wovon ich jedoch nur diejenigen hier mittheile , w^elche mir zur Erörterung der obigen Frage über die Natur der Nulli- poren des Leithakalkes in nächster Beziehung zu stehen scheinen. Sie beschränken sicli auf einige wenige xArten, die ich jedoch leider in ihrer Lebensweise nicht selbst zu beachten im Stande war. Die erste und wichtigste der Arten, weichein der KuUipnra ramosissima Reuss des Leitha- kalkes die sprechendste Ähnlichkeit findet, ist das Lithothamnium 6?/Ä6'OiV/e,s P h i 1 i p p i. Ich habe das Taf. V, Fig. 1 abgebildete Exemplar aus der Sammlung des Naturalien-Cabinetes der Uni- versität Christiania. Es bildet diese Art kugelige Massen von verschiedener Grösse, deren kurze cvlindrisch- knotige und unter einander vielfach zusammenhängende Äste von einem Punkte aus strahlenförmig nach allen Seiten gerichtet sind; Fig. 2 stellt den Endtheil eines Astes in sechsfacher Vergrösserung dar. Diese Art, welche schon Linnd kannte und unter dem Namen Millepora polymorpha (Sp. 53) beschrieb, wird von ihm als y^Gorpus suhrotundum coralliforme ramosum^ tuhercidatum. securiforme semper crassimi nee m.emhranaceum"' bezeichnet. Als Fundort gibt er an: ^llahitat in omni oceano'' und setzt bei: „m Norvegiae littorihus nucis juglandis figura, unde ccdcem con- ßciunt," woraus hervorgeht, dass diese Pflanze in grosser Menge daselbst vorkommen muss. Das von mir abgebildete Exemplar ist von der Küste Bergens, dagegen jenes, welches von Esper als Millepnra polymorpha var. et globosa auf Taf. 13 abgebildet ist und wenigstens 10 Mal grösser als das norvegische erscheint, ohne bestimmten Fundort (zweifelhaft Amerika) anyeo:eben wird. Von Lamarck (Uist. nat. II, p. 312) wird diese Pflanze noch ah Alillejjora (Nullipora) hyusoides zu den Thieren gerechnet. Erst Philipp i erkannte ihre eigentliche Natur. Meine Untersuchungen, welche auf dieselbe Weise, wie die der früheren Naturforscher mittelst auflösender Mittel angestellt wurden, stimmten in den wesentlichen Punkten mit dem bereits Bekannten überein. Die ganz und gar steinharte Pflanze wird aus parallel liegenden dichotomisch verzweigten und häufig unter einander anastomosirenden cylindrischeu Eölnren gebildet, innerhalb und vorzüglich ausserhalb welchen Kalk im amorphen Zustande abgelagert ist. Die cylindrischen Röhren haben das Eigenthümliehe, dass sie durch regelmässig wieder- kehrende Einschnürungen die Form von Rosenkränzen erlangen (Taf. V, Fig. 7), und daher füglich mit dem Namen Gliederröhren bezeichnet werden können. In denselben lässt sich iVmy- lum leicht nachw^eisen. Es sind 5 bis 8 und noch mehr Körner, welche in jedem der Glieder zu einem Klümpchen vereiniget sind (Fig. 8). ') Cenni sulla organographia e fisiologia delle alghe. Padova IHSH. p. 42. 20 Franz Ungei'. Um die Structurverliältnisse, d. i. die Aneinanderfügung der Elementartheile kennen zu lernen, langte icli mit den gewöhnlichen Auflösungsmitteln des Kalkes nicht aus. Sie stellten allerdino-s das vegetabilische Gewebe dieser Pflanze in eiiiem Zustande dar, dass dasselbe nunmehr mit dem Messer behandelt werden konnte, jedoch immerhin so weich und gebrechlich (spröde), dass ich, ohne zur Quetschung meine Zuflucht zu nehmen, keine Idare stark vergrös- serte Ansicht gewinnen konnte. Ich zog es daher vor, mir zu diesem Zwecke durch Schleifen mittelst Schmirgel dünne, durchsichtige Plättchen zu verschafl:en, Avas allerdings besser zum Ziele führte. Betrachtet man den auf diese Art präparirten Querschnitt eines Astes von Lithothamniuvi bissoides (Fig. 3) bei massiger Vergrösserung, so gewahrt man schon sehr deutlich eine schichten- weise Anordnung, die sich durch dunklere Streifen und Einge zu erkennen gibt. Diese Structur wird auch auf dem Längenschnitte wahrgenommen, so dass jeder Ast aus über einander liegenden kappenförmigen Schichten zusammengesetzt vorzustellen ist. Einen Längensehnitt durch einen Theil des Astes in lOOmaliger Vergrösserung stellt Fig. 4 dar. Aus allen dem ergibt es sich, dass der Bau dieser Alge sehr einfach ist, und höchst wahr- scheinlich aus einer einzigen vielfach verzweigten Zelle besteht, deren Zweige und Zweiglein sich enge an einander schlicssen, und so nach gewissen Gesetzen zu grösseren Massen verei- niget, die kugelig-strahlige Gestalt der ganzen Pflanze bedingen. Es ist nur noch die Frage, welches die Organe der Kalkausscheidung und die Träger dieser ausgeschiedenen Substanz sind. Betrachtet man die Pflanze an der Oberfläche (Fig. 5) , so wird man durch die äusserst regelmässige Gestalt der Endtheile der Zellen eben so überrascht, wie durch die enge Anein- anderfügung derselben. Von Intercellulargängen ist hier keine Spur zu bemerken. Etwas tie- fer unter der äussersten Oberfläche (Fig. G) lassen die Zellräume dagegen sehr deutliche Zwi- schenräume übrig, wie das auch aus dem entsprechenden Längsschnitte (Fig. 7) ersichtlich ist. Untersucht man nun diese Zwischenräume genauer, namentlich in den mit Säuren behandelten Pflanzen, so findet man sie keineswegs leer, sondern ilurcliaus von einer Gallerte erfüllt, einer Gallerte, die nichts anderes als das Ausscheidungsproduct der Gliederröhren selbst sein kann, und die wir bei Algen, namentlich bei den Nostocineen, Chlorococcacen u. s. w. so ausgebrei- tet finden, und die als Hüllmembran zur Bildung der Zellhaut selbst gehört. Die unter einan- der verschmelzenden Hüllmembranen der Gliederröhren sind es also, welche diese scheinbaren Latercellularräume erfüllen. So wie in anderen Fällen eben diese Gallerthülle die Trägerin von Salzen, Farbestofi'e]i u. s. w. ist, so ist es diese, welche auch hier als die vorzüglichste Trä- gerin des kohlensauren Kalkes erscheint, und daher von Kalk durchdrungen, als ein stein- harter fester Kitt die Röhren selbst zusammenhält. Allein dies würde dennoch nicht ausreichen , die Pflanze in eine gleichförmige kal- kige Masse zu verwandeln, wenn sich nicht die Röhren selbst wie an der Bildung so auch an der Führung dieser Secretionssubstanz betheiligten. Es ist schwer, hierüber dii-ecte Beobachtungen anzustellen, doch lässt sich aus dem Umstände, dass Mineralsäuren Luftblasen (Kohlensäure) nicht nur häufis" aus der Pflanze entwickeln, sondern auch in den erweiterten Stellen iler Röhren zurücklassen, folgern, dass sich kohlensaurer Kalk auch innerhalb dei- Gliederröhren, also in den Zellen oder Zellentheilen der Pflanze befinden muss. Es ist somit ersichtlich. dass der kohlensaure Kalk, obgleich höchst wahrscheinlich nur von den Zellen selbst abge- schieden, sich nicht nur in ihrer Hüllmembran, sondern auch in ihrem Innern selbst anhäuft, und so eine wahre Versteineruns: der Pflanze herbeiführt. Bcifräqc r:iir itähcrr» Knu/fn/s.s des I.cIthaL-ulh'cti. 21 Ol) unter solchen Umständen die Fortdauer des Lebens solcher Zellen möglich ist, möchte ich sehr in Zweifel ziehen, selbst wenn sich die Kalkaiifnaluiie in dem Zellranme nur auf ein ^linimum beschränkte, und vielmehr das Leben einer solchen Pflanze nur auf seine äussersten und zugleich jüngsten Theile, wo die Verkalkung erst ihren Anfang nimmt, beschränkt halten. Bieten unsere Torfmoose nicht auch einige entfernte Ähnlichkeiten mit diesen kalkausscheiden- den Pflanzen dar? — Eine zweite Art von Lithothamnium^ welche ihrer wenig pflanzlichen Gestalt wegen unsere Aufmerksamkeit in Ansjjruch nehmen muss, ist das Liihoihamnium crassum Philippi, welches vielleicht mit Spongites raccniosa Kütz. identisch sein dürfte. Das Fig. 9 abgebildete Exemplar stammt vom kais. Hofcabinet in Wien ohne Angabe des Fundortes. Es geht aber aus Philippi's Arbeit hervor, dass diese Art an der Küste von Sici- lien und wahrscheinlich im ganzen Mittelmeere lebt. Die knolligästige , an manche Stalaktiten lebhaft erinnernde Form ist unregelmässiger als die vorige, obgleich wie diese nicht aufsitzend, sondern nach allen Seiten gleich ausgebildet. Die Farbe ist blass, vielleicht nur ausgebleicht. Eine Menge kleiner Parasiten, darunter die schöne carmoisinrotlie 31illepora rubescens bedecken die vollkommen glatte porenlose Oberfläche. Obgleich diese sonderbare Bildung noch weniger das Aussehen einer Pflanze an sich trägt, als die vorher beschriebene Art, so ist doch ihr innerer Bau und die Beschaffenheit der Ele- mentartheile mit dieser beinahe vollkommen übereinstimmend. Schon auf einem schwach ver- grösserten Durchschnitte eines Knollenastes (Fig. 10) erkennt man eine concentrische Streifung, welche die über einander liegenden Schichten andeutet, die nach innen regelmässig, nach der Peripherie zu immer uuregelmässiger, d. i. wellenförmig geschwungen Averden, und damit den einzelnen auf dem Knollaste aufsitzenden Tuberkeln entsprechen. Ein kleiner Theil des Längenschnittes zu einem dünnen transparenten Plättchen geschlif- fen (Fig. 11) zeigt mit Fig. 1 verglichen ungefähr dieselbe Beschaft'enlieit. Es sind ungemein dünne parallel liegende gegliederte röhrenförmige Zellen, welclie eine sehr gleichförmige, durch Ausscheidung von kohlensauren Kalk steinfeste Masse bilden. Eine stärkere Vergrösse- rung (Fig. 12) erweiset die Cxliederröhren, obgleich im Allgemeinen von gleicher Form, doch durch die grössere Länge der einzelnen Glieder etwas versr-hieden. No(di auffallender als bei jenen sind die Glieder der nebenliegenden Röhren, nicht blos von gleicher Länge, sondern auch stets in demselben Horizonte, woraus eben die horizontalen Streifen entstellen, die in der Regel mehr (Fig. 11) als die Längslinien in die Augen f;illen. Jedes Glied ist übrigens mit Amylum reichlich versehen, dessen zusammengehäufte Körn- ehen meist nächst den Stricturen gelagert sind, und daher bei schwacher Vergrösserung die Gliederung noch deutlicher Jiervortrcten lassen. Eine noch stärkere Vergrösserung einer mit Stärkemehl nur sparsam erfüllten Röhre gibt Fig. 13. woraus ersichtlich, dass auch diese durch seitliche Schlauchbildung mit ihren Naehbarröhren hier und da im Zusammeiüiange stehen. Eine dritte strauchartige Art von Litliotharanium mit glatter , glänzender Oberfläclie und rosenrother Ivarbe, die ich Lithothamnium tophiforme (Fig. 14) nennen will, ist durch die sparrig abstehenden, geweihförmig verzweigten Äste ausgezeichnet. Das abgebildete kleine Exemplar lindet sich im kais. Hof-Naturalien-Cabinete und stammt aus Grönland. Ks scheint mir der Mil- le-pora 'polymorpha var. topliiformis Espe)- zu entsprechen. Die Elementartheile und ihre Zusam- mensetzung sind ganz nach dem Schema der vorigen Arten, nur dürften die unregelmässige Forni der Glieder und die Anastomosen der Röhren hier häutiger als in jenen vorkommen. 22 Frajix TJnger, Endlicli Avill ich liier noch eine Art von Litliopliyllum erwälinen , die dem LitliopliyUum vicrustatis Phil, oder Ellis' Corallina cfetaceum lichioides (Essai sur l'hist. nat. des Corallines^ Tab. 27 d. D. p. S4) ziemlich nahe steht, von derselben sich aber durch die mehr effigurirte Foi'm auszeichnet. Herr Th. Kotschy sammelte dieselbe im persischen Meerbusen , und zwar im Golf von Bahrein, wo sie Corallenstöcke und Muscheln überzieht, und nicht selten zu faustgrossen Massen anwächst. Taf. V, Fig. 15 stellt ein kleines Stück dieses Litliojihjllum dar. welches ich nach dem Entdecker Lytliophyllum Kotschyanum nennen will. Es überzieht einen Ast von Heteropora prolifera Ehrb. (Madrepora muricata). Die rindenförmige flache Ausbreitung erhebt sich an der Oberseite zu verschieden geform- ten stumpflappigen Fortsätzen , in welchen bald grössere bald kleinere unregelmässig zerstreute Löcher wahrgenommen ^verden. Auch die Structur dieser Pflanze ist nicht abweichend von der der übrigen Steinalgen, aber was hier mehr als anderswo auffällt, sind die reichlichen Anasto- mosen, wodurch die parallelen Gliederröhren mit einander verbunden sind (Fig. 16). Es wird dadurch ein sehr zierliches Röhrennetz hervorgebracht. Überblickt man nun alle die hier beschriebenen Formen, zu welchen ich noch viele andere hinzufügen könnte, so stimmen sie nicht nur in ihrer durch und durch dichten steinharten Sub- stanz, sondern auch darin überein, dass sie aus parallel liegenden, dichotomisch verzweigten und durch häufige Anastomosen unter einander verbundenen Gliederröhren zusammengesetzt sind. Dies Ergebniss der Untersuchung ist vorläufig hinreichend, um die Natur der fraglichen Kulliporeu des Leithakalkes zu enträthseln. Wie bereits angegeben, hat E. Reuss eine im Leithakalke häufig vorkommende unregel- mässig verzweigte corallenälmliche kalkige Gesteinbildung zuerst für eine w^ahre Coralle erklärt und sie unter dem Namen Nidlipo7-a ramosissima zu den Milleporinen gestellt').' Die Gattung j\^w//(!por« wird als „ein überrindender, knollig-oder strauchartig-ästiger Polypenstock ohne Poren, aber mit schwer sichtbaren Grübchen, die im Leben zur Aufnahme der Thierehen bestimmt gewesen sein dürften," beschrieben. Es wird dabei bemerkt, dass ..dies noch wenig untersuchte, höchst zweifelhafte und von Vielen für Pflanzen angesprochene Körper seien." Die Charakteristik von NidUpora ramosissima lautet: Polypenstock strauchartig, rasenförmig gehäuft, sehr ästig; die kurzen Aste fast büschelförmig gehäuft, an den Enden etwas verdickt und gerundet, glatt. Die auf Taf. HI, Fig. 10 und 11 der citirten Schrift gegebenen Abbil- dungen stellen diesen Körper gut dar, und so wie er selten zu finden ist. Eine Anatomie ist nicht beigefügt. Gleich darauf, noch in demselben Jahre, erscheint in den „Berichten über die Mitthei- lungen von Freunden d. Naturw., Bd. IV, p. 442," eine Ansicht W. Haidinger's, der die nämlichen Körper als Sedimentbildungen erklärt. Er behauptet, i1ass die Körper, welche man Nulliporen nennt, eine nicht blos staudenförmige Gestalt, sondern, da sie oft sogar in Form von Geschieben erseheinen, vielmehr eine staudenförmige Structur zeigen, die sich um einen fremden Kern als schalige Ablagerung niederschlägt — eine Bildung, die bei den Erbsensteinen gleich- förmig, hier durch äussere Hindernisse ungleichförmig vor sich gehen soll. Die Nullij)oren des Leithakalkes wären demnach nichts anderes, als ästige Sinterformen, und die Ooncretionen in ') Natui-w. Abhandlungen von W^ Huidinger, Bd. II (1.S48), p. 29, Taf. III, Fig. K) und 11. Beitn/f/c ::nr näheren Kenntniss des LclthakalkeH. 23 den dünnen Togcll.igcn zwischen den Sehicliton desselben nälicrten sicli diireli ihre traiihige Form jenen ausgezeichneten Sinterkugehi. Bei oberflächlicher Betrachtung liat diese Ansicht allerdings Manches für sich, und wenn es <auch gleich schwer ist, sich die Bildung der kugeligen Sinterformcn unter den Bedingungen vorzustellen, w^elche bei Ablagerung des Leithakalkes stattfinden konnten, so sprach doch die Nachweisung des fremden Kernes, der als Ansatzpunkt der schaligen Schichten dient, sehr für die unorganische Natur dieser Körper. Auf diese Untersuchungen Ilaidinger s hin scheint auch E. Reu ss seine frühere Ansicht über die animalische Beschaffenheit dieser Körper zurückgenommen zu haben , und nun der Ansicht zugethan zu sein, sie für Seitenbildungen zu halten. Auch bei mir hatte diese Vorstellung für einige Zeit Wurzel gefasst , um so mehr , als zahlreiche hierüber angestellte Untersuchungen mir zweifellos ergaben, dass die concentrisch schaligen Schichten dieser Körper häufig fremde Körper, namentlich Sandkörner, Muschel- fragmente, Schalen von Foraminiferen, ja selbst kleinere Polyparien einschliessen, was nur dadurch geschehen konnte, dass diese fremden Körper an der knolligen oder ästigen Ober- fläche sich zu der Zeit befanden oder angesiedelt hatten, als eine neue Schalenbildnng erfolgte. In der That findet sich auch die Oberfläche der aus'dem Thone ziemlich vollständig zu erlan- genden Nulliporen sehr häufig mit Polystomela Fichteliana^ Amphystegina Raueri n. s.w. bedeckt, auch nehmen darauf mehrere Bryozoen, namentlich Cellarien, Escharaarten, wie z. B. Escliara exilis Rss. Platz. Einige , um dies anschaulich zu machen, querdurch zwei solche neben einander liegende Nulliporakugeln geführte Schnitte zeigen bei a Fig. 22 ein nicht unbedeutendes Exem- plar von Ceüepora globahvis, bei b eine unbestimmbare Bivalve durch die äussersten Kalk- schichten der Art eingeschlossen, dass sie offenbar nur einen Theil dieses räthselhaften Körpers auszumachen scheinen. Erst als ich den Versuch machte, einzelne lose Stücke von dieser NidUpora mit Säuren zu behandeln, um dadurch in den möglicherweise übrig bleibenden nicbt auflösbaren Resten eine zartere Structur und elementare Zusammensetzung zu erkennen, gelang es mir unter solchen Resten in der That einige obgleich zweifelhafte Spuren von Zellgewebe zu entdecken. Ich schlug, durch diesen glücklichen Erfolg muthig gemacht, einen andern Weg ein, und bereitete mir durch Schleifen derselben sehr dünne, durchsichtige Plätt- chen. Wie überrascht war ich nun, in denselben die ganz vollkommen gut erhaltene Structur der Lithothamnien und Lithophyllen wiederzufinden. Fig. 18 und 19 stellt in drei- facher Vergrösserung Stücke der Reuss'schen Nullipora ramosissima dar. Schon die äussere Gestalt verräth eine grosse Übereinstimmung mit Lithotliamnium hyssoides Phil. Noch mehr stellt sich diese bei Vergleich ung der Längsschnitte der Äste (Fig. 6 und 4), eben so bei Verglei- chung der Oberfläche (Fig. 7 und 5) heraus. Man sieht auf diesem dem Aste parallelen Schnitte eine wumdervoll regelmässige Anordnung der Gliederröhren, deren einzelne Glieder sich hier wie bei Lithophyllum'expansum Ph. (Pocillopora agariciformis Ehrb. Nullipora agariciformisLam.) zu wirklich gesonderten und nur noch reihenförmig an einander hängenden Fäden (an denen man noch die Hüllmembran als Scheide derselben erkennen kann) ausgebildet haben. Auch ist ihre Grösse verhältnissmässig bedeutender als bei den übrigen Lithophyllenarten. Es stellt sich somit zweifellos heraus, dass die Nullipora ramosissima Reuss weder ein thieri scher Organismus noch eine Stalaktitenbildung, sondern eine Pflanzeist, deren nächste Verwandte die früher als Milleporen und Nulliporen beschriebenen Litliotliamnium- und L;ithop)hyllum-kvten sind. Es würde dermalen noch nicht an der Zeit sein, eine weitere 24 Franz Unger. Unterscheidung der fossilen Pflanzenformen zu versuchen, wesshalb ich noch den Namen von E. Reu SS zur Bezeichnung dieser Steinalge beibehalten will. Schon bei Gelegenheit der oberwähnten Mittheilung Haidinger's erklärte sich Herr A. Boud nicht einverstanden und bemerkte, dass er in den Steinbrüchen von Loretto und Wöl- lersdorf in der Umgegend von Wien kugelige Nulliporen gefunden habe , die sich durch eine röthliehe Farbe auszeichneten, was mehr für ihre organische als unorganische Natur spräche. In der That liat dieser vielerfahrene Geologe schon im Jahre 1831 im Journal de Geologie, T. III. p. 27, folgende hierauf bezügliche äusserst interessante Bemerkung mitgetheilt. Er sagt: Uautres couches ne sont au contraire qvJun agregat de coreaux; leurs teintes sont hlanches ou jaundtres, ou meme les coreaux ont encore leur couleur rouge, come cela a lieu a Wöllersdorf^ Foisdorf^ Lau- retta, Margaretten, Kroiahacli^ dans le hassin viennois et ailleurs en Styrie et en Hongrie. Dieselbe Bemerkung findet sich sogar schon in den im Jahre 1829 erschienenen „Geographischen Gemälden von Deutschland," p.436. Ist die Angabe richtig, woran ich nicht zweifle, und mich ehestens davon zu überzeugen suchen werde, so lässt sich auch erwarten, dass ausser dem so veroäng-liehen Farbestöffe der mehr solidere Inhalt der Zellen — das Amylum — in den fossilen Nulliporen gleichfalls ent- halten sein dürfte, und wir hätten daher ausnahmsweise ffegen alle übrigen vegetabilischen IJberbleibsel der Vorwelt hier wahre Pflanzcnmumieu vor uns '). Man mag was immer für einen Kalk der Leithaformation untersuchen , so wird er unter mannigfaltigen Abänderungen der Dichte , Festigkeit und Structur doch immer dadurch aus- gezeichnet sein, dass ilm entweder die Nullipora ganz zusammensetzt (Nulliporenkalk), oder doch einen mehr oder minder bedeutenden daran Antheil nimmt. Ich habe noch keinen der- artigen Kalk zu sehen Gelegenheit gehabt, der weniger als Yj diejc Nullipora meist in Trümmern enthält. Der feste Kalk des Wildoner Berges mag als ein Beispiel dienen. Es geht daraus hervor, dass an der Bildung des Leithakalkes die Vegetation der Nulliporen jedesfalls einen wesentlichen Antheil genommen hat. Um zu einem näheren Verständnisse dieser bisher noch unbekannten Thatsache zu gelan- gen, wollen wir vorerst einen Blick auf die hauptsächlichen Unterschiede und die Lagerungs- verhältnisse dieser Gebirgsart werfen. Im Allgemeinen lassen sich drei Formen des Leithakalkes unterscheiden : Eine dichte Form, deutlich aus thierischen meist noch bestimmbaren Eesten zusammengesetzt, darunter Corallen die Hauptmasse ausmachen. Solcher Leithakalk ist selten, und meines Wissens nur au wenigen Punkten bisher beobachtet worden. Eine ZAveite Form bildet eine bald dichtere, bald lockere bis ins Kreidenweiche abändernde Masse. Nulliporen walten hier am meisten vor, sind theils in ganzen Exemplaren, oder in ihren Trümmern über einander gehäuft, und durch ein r ') Schon wenige Tage nach Lesung dieser Schrift in der kais. Akademie der Wissenschaften hatte ich Gelegenheit an den Gesteins- triimmern, welche beim Baue der Wasser-Glafisbrücke in Wien als Abfälle umherlagen, die von Herrn Bouö beobaohteteErscheinung zu bestätigen. Wie ich erfuhr stammte der da verwendete Leithakalk vom Kaisersteinbruch. Mit besonderem Interesse habe ich hiebei auch die Frage nach dem Vorhandensein des Aniylura in der fossillen NuJIipora aufgenommen, bin aber dermalen nicht so glücklicli ein entscheidendes Resultat erhalten zu haben. Auflösungen des NuUiporengesteines in verdünnter Chlorwasserstoffsäure Hessen in dem übrig bleibenden Pflanzengewebe keinen deutlichen Inhalt mehr erkennen, und Kohlensäure als Lösungsmittel an- gewendet, hat vielleicht aus Mangel eines passenden Apparates und der dabei verwendeten Zeit noch weniger zum Ziele geführt.,- Beiträge zur näheren Kenntniss des Leithukalkcs. 25 kalkiges Bindemittel vereiniget. Diese Form ist die verbreitetste. Sie bildet die besten Bausteine, wovon die weicheren Abarten mit der Säge bearbeitet werden können. Die dritte Form bat durch Aufnahme vou Sand, Geschieben und Bruchstücken nalie liegender Felsarten ein etwas verändertes Aussehen angenommen, und gleicht zuweilen meJir einem Saudsteine und Conglo- merate als einem Kalke. Meist findet sich diese Form als Bedeckung der vorhergehenden Art. Was die erste Form betrifft, so trägt dieselbe so deutliche Merkmale einer wahren Koral- lenriff-Bildung an sich, dass an eine derartige Entstehung nicht zu zweifeln ist. Im Sausal- gebirge in Steiermark, wo sie am schönsten entwickelt zu sehen ist, habe ich die sie zusammen- setzenden Korallen noch auf der Unterlage (Thonschiefer) aufgewachsen beobachten können. Die Hauptmasse des Kalkes wurde gebildet aus Sarcinula gratissima "SWcheli^i^ Ex'planai'ki astroites Reuss, Explanaria crassa E.euss, Explanaria tenera Eeuss, Astraea rudis Eeuss. uistraea composita Eeuss und Madrepo7-a taurinensis Eeuss (Astraea taurinensis Miclicliuj. durchaus solche Korallen, welche durch ihre massenhafte Ausbildung Elfte zu erzeugen im Stande sind. In den aus den Steinbrüchen des Nikolaikogels entnommenen Bruchsteinen, die viele Meilen weit als Baumaterial verführt werden, habe ich entfernt von der Stelle des Vor- kommens meine Sammlungen durch schöne Exemplare jener Korallen, namentlich durch die mächtige Sarcinula gratissima bereichern können. Nachstehendes Profil zeigt in wenigen Linien die Ausbreitung dieses Eiä'es zwischen Waldschach und St. Nikolai, Nicolai-Kogcl. St. Kikolai. Flammhof. AValdschach. Tliouschicfer. Mergel und Sandstein. Korallenkalk. Mergel und Sandstein. wobei ich mich jeder weiteren Auseinandersetzung entheben kann, und mir nur erlaube die in meinem Tagebuche vom Jahre 1847 hierüber gemachten Aufzeichnungen anzuführen. Der Nikolaiberg ist eine massige Anhöhe, die sich gleich hinter der gl ei chnamio-en Kirche erhebt und zu einem flachen, von Norden nach Süden ausgedehnten Gebirgsrücken erweitert. Wenige Klafter über der Kirche tritt der Thonschiefer zu Tage, der auch bis zum ersten Bauernhause (Bergfuchs) anhält. Über dasselbe hinaus bemerkt man den Weg wie mit kleinen runden Pflastersteinen belegt, die bald grösser werden und sich zu unförmlichen Massen ver- einen. Neben der Strasse sind Haufen ähnlicher Steine von den näherliegenden Feldern und Weinbergen gesammelt und angehäuft. Man erkeimt fast in jedem Stücke einen ganzen oder zertrümmerten Korallenstock. Am vorherrschendsten ist die grosszellige , den Bienenwaben ähnliche Sarcinula gratissima Michelin, seltener bemerkt man darunter Explanaria astroites Eeuss. Weiter hinauf wird der Weg immer steiniger, es treten hier und da nackte Felsen hervor, und man glaubt in der That über ein Korallenrifi' zu schreiten , besonders da durcli die Abreibung an den Fahrgeleisen die poröse oder zellige Structur des Gesteines um so deut- licher hervortritt. Au einzelnen Stücken von Felstrümmern erkennt mau eine Breccie aus Thonschieferstücken mit Kalk zu einem sehr festen Gesteine vereinigt. Nicht selten gewahrt man an solchen Stücken hier und da den Beginn einer Korallenansiedlung. Ohne Zweifel gab diese Thonschieferbreccie stellenweise die Unterlage der Korallenriffe ab. Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XIV. Bd. 4 26 Franz TJnger. Auf der Höhe des Berges, wo ein Heiligenhäuscheu neben einer Linde steht, sind Stein- brüche auf diesen Corallenkalk eröffnet, durch die man im Stande ist, etwas tiefer in den Bau dieser merkwürdigen Bänke Einsieht zu nehmen. Unter der Dammerde, die nicht viel mehr als 6 Zoll beträgt und sehr kalkhaltig ist, findet sich ein sehr bröcklicher Kallv, dessen Stücke durch gelben und blauen Thon') unter einander verbunden werden. Die rundlichen und nieren- förmigeu Stücke sind Corallen (nach meiner damaligen Anschauungsweise) von der Art, welche in den blauen Corallenkalken so vorherrschend ist. (Nullipora — 1) Damit kommen auch andere Petrefacte vor. Weiter in der Tiefe werden die Stücke grösser, mehr zusammenhängend und gehen endlich in ganze , ungetheilte Lagen oder Bänke über. Dieser Kalk ist dann dicht, sehr fest, und trägt weniger Spuren seiner organischen Abkunft an sich; doch herrschen auch hier wieder Corallen vor, denen die übrigen Petrefacte bei weitem mehr untergeordnet sind. Die wichtigeren derselben sind Venus vetida Link., CardiimimulticostatumV>Yoc., Isocardia Cor Bronn, Pecten laticostatus Lam., Coralliopliaga dactylus Bronn, Conus Mercati Bronn, Terehratula pusüla. Stacheln von Clypeaster grandiflorus Bronn u. a. m. Beim Fuchsbauer, wo diese Bänke am meisten aufgeschlossen sind , ist man noch nicht bis zum dichten Kalk hinabgedrungen, denn man begnügt sich, die losen Kalktrümmer der oberen Schichten zu sammeln und für die Beschotterung der Strassen zu verwenden. Dass diese Corallenbänke nicht mächtig sind und das darunter befindliche Gebirge nur mit einer wenige Lachter mächtigen Kruste bedecken, beweiset der Umstand, dass auf der Strasse gegen Mitteregg und Kerschegg schon in geringer Entfernung von jenen Steinbrüchen und nur wenige Lacliter tiefer (beim Berghold Ivirischueider) der Thonschiefer zu Tage geht, ') Sowohl der eine als der andere Tlion ist rcieli an Foraminiferen , Bryozoen und Entomostraceen , darunter Amphistegina Haueri vorherrschend. Hie zu seiner Zeit gesammelten Fossilien hat Herr Dr. Reuss durchzusehen und zu bezeichnen die Güte gehabt. Sie sind nach seiner Angabe folgende Arten: l'olijslOMella crispa IjniU. Truncatulina lobatula d'O r b. ßosalina ohtusa d'Orb. Aaterigerina Planorbis d'O r I). Fora m i ti i f e T a c. Amphisiegina Haup.ri d'Orb. Globigerina triloba Reuss. Bolalia Kalenbergensis d'Orb. PoUjstomella Ungeri Reuss. 3i r ji o z o a. Crisia Edwardai Reuss. Eschara costata Reuss. Piistulopora anoma/a Reuss. Eschara . . . . ? Vellaria Michelhü Reuss. Vincularia cucullala Reuss. Vaginopora fexturaia Reuss. „ polijstigma Reuss. Dcfrancia ate/lata Reuss. Cellepora globularis Br. Cellepora neglecta Reuss. „ gracilia Reuss. gastropora Reuss n. sp. y, microafoma Reuss. „ scripta Reuss. Farlschii Reuss. „ coronata Reuss n. sp. „ circumda/a Reuss. „ elegans Reuss n. sp. Cythere deformia Reuss. „ anlcato-piinclata Reuss. „ llaiilingei'i- Reuss. „ Ungeri Reuss n. sp. ,, liaatata Reuss. E n t 0 in o s f r a c a. Cythere n Bairdia ventricoaa Reuss. punctata v. Mst. subdeltoidea v. Mst. tumida Reuss. Beiträge zur näheren Kemitniss dos Lciihakalkes. 27 uiul von da au bis zur liörlisteu S^titzc des Sausalg'cbirgca — dem Tcmelkogel — uuuuter- broelien anhält ; fovuer der Umstand, dass beim JJaue eines Kellerliauses wenige Laehtei" unterhalb der früher augeführten Stelle der Thonseliiofer erreicht wurde, dessen Trümmer man sogar hinauf trug, um die Weinstöcke damit zu beschütten. Der Thonschiefer dieser Gegend verwittert leicht. Er hat ein Streichen nach St. 22 und ein Verflachen mit 45" nach Westen. Ein dem Nicolaikogel gleichkommendes Corallenriff lässt sich aueli weiter östlich an der Hügelkette zwischen dem Muggenauthal und der weiten Murebene (Leibnitzerfeld) erkennen. Foli<-endes Profil "-ibt davon eine hinreichende Vorstollunff. Jiluggeuauthal. Kittcnberg Kainbcrg, Wiesberg. Lasnitz. w ^ Thonschiefer. Korallen-Kalk. Es bedeckt gleichfalls kappenförmig die Höhen des Kain- und Wiesberges, ist vorzüglich aus Corallen, worunter Madrepora taurinensis Ess.. vorherrscht, zusammengesetzt, und trägt überdies noch eine Menge anderer Petrefacte im best erhaltenen Zustande. Die vorzüglichsten darunter sind: Chipeaster grandiflorus Bronn, in beiden Varietäten, als a) humüis und ß) altus Bronn, Pecten plehejiis Lam. und Pecten laticostatus Lam. An einem nicht leicht genau zu bezeichnenden Bauernhause in der Gemeinde Gressling ist dieser Kalk von einer Erde bedeckt, die besonders reicli an kleinei'en Bryozoen ist, worunter Herr Dr. E. Reuss folgende Arten erkannte: Retepora cellidosa L i n k. Canda gramdifera R s s. Hornera Haueri d'Orb. Cricopora pulchella Rss. Idmonea pertusa R s s. „ .subca?iceilaia d'ürh. Hornera verrucosa Rss. Cellepora globidaris B r o n n. Pustiüopora anomala Rss. Crisia Edwardsi Rss. „ Haueri H SS. Cellaria Michelini Rss. Vincidaria cucullata Rss. Eschara polystomella R s s. Vaginopora geminipora Rss. Dazu kommen noch Cythere conunata Rom. m\d Cgthere punctata von M ü n s t. so wie die nachstehenden Foraminiferen. Heterostegina costata d'Orb. Dentalina punctata d'O r b. „ elegans d'Orb. Asterigerina planorhis d'Orb. Amphistegina Haiieri d'O r b. Robulina simplex d'Orb. Pohjmorphina digitalis d'Orb. Glohigerina bidloides d'O r b. „ quadrilohata d'Orb. Bulimina pupoides d'O r b. Bidimina Buchiana d'Orb. Uvigerina semiornata d'Orb. „ pygmaea d'Orb. Rotalia Partschiana d'Orb. „ TJngeriana d'O r b. Truncatulina lobulata d'Orb. Rosalina simplex d'Orb. Textularia Bronniana d'Orb. „ carinata d'Orb. Quinqueloculina Partschii d'O r b. 28 Franz Unger. Eiue ganz andere Facies bietet der dichte und lockere Leithakalk dar, der z. B. das Leitlia- und Rüster Gebirg- umgibt , sich an die Bergkette des Wiener- Waldes anlehnt, den Wildonerberg südlich von Gratz u. s. w. bildet. Korallen nehmen hier nur einen ganz unter- geordneten Antheil an der Kalkmasse , eben so kleinere Polyparien, Foraminiferen, Echiniten und Testaceen. Bei weitem den vorherrschenden Bestandtheil bildet die NuIUiJora ramosissima uiul vielleicht noch andere Arten dieser und verwandter Gattungen, wodurch dieser Kalk eine oft blendende kreideähnliche Weisse und andererseits eine bedeutende Mürbe erhält. Eine Scliilderinig dei' bekannten Steinbrüche von Margarethen mag eine ausführlichere Beschrei- bung ersetzen. Von Gschies aus (so berichtet mein Tagebuch vom 9. Juni 1851) bemerkte ich auf einem niederen Hügel , der sich kaum aus der Ebene des Seeufers (Neusiedlersee) erhob und aus Leithakalk bestand, eine Capelle — die sogenannte Eosalia-Capelle. Mein Weg führte mich aber nicht dahin, sondern auf die Westseite des niederen Gebirgszuges von Eust. Bis Margarethen hält derGneiss, der denselben bildet, durchaus an. Die Strasse herunter bei dem Euster Kreuz — einer Capelle auf der Höhe eines Bergrückens — beginnt der Leithakalk wie- der in mächtigen Felsen, und zwar auf der halben Höhe des Berges. Eine ausgezeichnete Kalk- flora löst die Gneissvegetatiou scharf ab. Auf der Höhe dieses Hügels ist man den berühmten Steinbrüchen ganz nahe. Sie verrathen sich durch den weit umher aufgetliürmten weissen Kalksand, der aus den Steinbrüchen fortgeschafft und hier abgeleert wird. Die Steinbrüche selbst sind ein weiter, tief in den Berg hinein von oben ausgehöhlter Kes- sel mit senkrechten Wänden, die eine Höhe von 15 — 20 Klafter betragen mögen. Man erkennt an ihnen keine Schichtung, wohl aber von oben nach abwärts sich erstreckende engere und weitere Klüfte nach verschiedenen, sich oft kreuzenden Richtungen — eine Folge der Erdbeben. Nach oben nehmen die Klüfte an Meno-e zu und machen den obersten Theil des Kalkes zu einem wahren Trümmergestein, welches die Verwitterung nach und nach zu immer kleineren Stücken spaltet. Der Kalk ist durchgehends so weich, dass er gesägt werden kann, und gleicht dem Kalke von Aflenz (an der Mur) auf ein Haar. Die Benützung desselben ist gegenwärtig ausserordentlich stark, und mag wohl mehr denn 150 Menschen beschäftigen. Nur die grobkör- nigen, mehr sandigen Schiclitcn enthalten Petrefacte, die jedoch im Ganzen, mit Ausnahme von Haifischzähnen, sehr selten sind. Die kolossale Rippe eines Cetaceums, die aufbewahrt wird, war das einzige, was ich hier zu sehen bekam. Der Weg vom Steinbruche nach Rust senkt sich anfänglich über die Köpfe des horizontal geschichteten Leithakalkes, geht eine kurze Strecke über ürfelsboden , lässt dann wieder eine kleine Stelle Leithakalk erkennen , und berührt zuletzt bis Rust wieder den Gneiss. In der Umgebung des letzteren Ortes treten hier und da Lager jenes Kalkes hervor; sie sind aber offenbar späterer Entstehung und nur aus der Zertrümmerung eines früher abgelagerten Materiales entstanden. Nachstehendes Profil mag diese Angabe verdeutlichen. Margarethen 450'. Steinbruch 720'. Rust. Ncusiedlersec 417'. sei, Schotter. Cueiss. N u 1 I i p u r c n k a 1 k. Andere Lagerungs Verhältnisse bietet der dem Margarethenkalk zunächst verwandte Aflenzer und WildonerKalk dar. Beide ruhen nicht auf älteren Felsarten, sondern auf einem Schichten- systeme, das im Allgemeinen gleichzeitig mit demselben abgelao-ertwurde. Besonders seliöu urni Beiträge zur näheren Kenntm'n.s dei^ l^cifhuhcdken. 29 deutlieh lässt sich die Sehich tenfolge erkennen, welche dem Kalke von Aflenz zum Grunde liegt, und durch folgendes Profil ausgedrückt werden kann. Forstkogel. Afionz. Stoiubruch. Sulmiciten. Sulm. Hurthal. Sandstein und ^^ Mergel-Schiefer. -"- N u 1 1 i p 0 r c n Kalk. Verlässt man die Sulmbrücke bei der Waguamühle und schlägt den Weg nach Aflenz ein, so hat man den ganzen Berg hinan Mergelsehiefer vor sich mit einem Streichen der Schichtung nach St. 23 und einem Verflachen von 20° nach Osten. Unmittelbar darüber liegt in Bänken ein fester, weisser, dichter, schwer verwitterbarer, an der der Atmosphäre ausgesetzten Ober- fläche unregelmässig ausgehöhlter, im Grossen wie ausgefressen erscheinender Kalkstein mit gleichem Streichen und Verflachen. In grösseren Tiefen nimmt derselbe an Mächtigkeit zu. und stellt dann jene Bänke dar, die schon seit einigen Jahrhunderten abgebaut werden, was aus mehreren bereits verfallenen Steinbrüchen hervorgeht. Dieser Leithakalk hat eine durchschnittliche Mächtigkeit von 10 Klafter. Weder die oberen noch die unteren Mittel werden gewonnen, sondern der weiche, durchaus gleichförmige Zwi- schentheil, in dem man durchaus keine Schichtung wahrzunehmen im Stande ist. Auf diesen wii"d ein stollenartiger Pfeilerbau getrieben, und rings herum so viel ausgebeutet, als die stehen gebliebenen mächtigen Pfeiler zu tragen im Stande sind. Dadurch sind im Laufe der Zeit nach und nach bedeutende Ausweitungen im Innern dieses Kalkstockes entstanden, welche manchen Tropfsteinhöhlen nicht unähnlich sind und zunächst mit jenen durch ein gleiches Vei'fahren entstandener Höhlen des Wildoner Kalkes verglichen werden können. Die grösste derselben, welche gegenwärtig in Aflenz noch bearbeitet wird, ist die des Anton Diebe r, vormals Back. Man gelangt zum Innern dieses Steinbruches durch ein weites zu verschliessendes Thor. Die Tiefe der Höhle beträgt über 100 Klafter, die Breite über ■10 Klafter. Sohle und Dach sind einander parallel, fast horizontal, und stehen bei 6 Klafter von einander ab. An der Liehtöflnung, welche ungefähr in der Mitte der Höhle in der Decke angebracht ist, sieht man, dass letztere kaum ein paar Klafter beträgt, wovon der obere Theil nicht mehr eine feste zusammenhänsfende Masse bildet. Da der Stein weich ist, so kann er leicht gebrochen werden. Man gewinnt ihn in Stücken zu beliebiger Grösse, selbst bis zu 200 Centner. An der Luft wird er immer fester und bekommt eine Art Kinde, welche ihn noch unzerstörbarer macht. Ein Kubikfuss wiegt beiläufio- 1 Centner. Ungeachtet der Stein weich ist, so enthält er doch stellenweise härtere Theile, welche die Säge nicht leicht angreift. Die Ursache davon ist eine grössere Anhäufung von Schalthieren, namentlich von dickschaligen Ostreen , die in den weicheren Theilen fast gar nicht gefunden werden. Diese bestehen fast ausschliesslich aus Nuüipora^ meist in einem sehr zerstörten Zu- stande, vermischt mit feinem Sande, daher sich dieser Kalk zur Bereitung von Atzkalk nicht brauchbar erweiset. Zu diesem Zwecke werden jene Kalke, welche zwischen Ketznei und Aflenz gebrochen werden, benützt. Sie enthalten am wenigsten Thon und Sand, auch fand ich unter mehreren Petrefaeten eine Koralle, nämlicli Turbinolfa duodecimcostata Goldf. Am Eingange des Diebei''schen Steinbruches ist die Jahreszalil 1753 eingemeisselt. 30 Franz Unger. Ein zweiter, sicli an diesem anschliessender Steinbrucli von ähnlicher Beschaffenheit gehört dem F. Eentmeister, Bauer in Aflenz. Derselbe ist weniger ausgedehnt, wird aber gegen- wärtig stark betrieben. Hier erkennt man an der theilweise sich lösenden, z)uiickgelassenen Schichte der Decke, dass diese Kalkbank fast schwebend ist. Merkwürdiger Weise durchsetzen diesen Theil viel häufigere und stärkere Klüfte, als den früher beschriebenen Steinbruch, was ihm auch einen geringeren Werth gibt. Ein dritter Steinbruch in derselben Eichtung, einst so ausgedehnt, dass man mit Pferden und Wagen hineinfahren und darinKegel schieben konnte, ist jetzt verstürzt und nicht mehr in Betrieb. An den halb verwitterten zugerichteten Quadern, die man liier noch findet, sammelte icli die niedliche Explanaria a-assa Eeuss. Ausgedehnter ist eine ähnliche Ablagerung von Leithakalk am Wildoner Berge und dessen Fortsetzung jenseits des Murthaies. Dieselbe hat aber nicht immer einen an Petrefacten und selbst Nulliporen reichen blauen Mergel zur Basis, wie das in Aflenz der Fall ist, sondern jene Sandstein- und Mergelschichten, welche die Hauptmasse des tertiären Hügellandes von Steiermark bilden. Die Sandsteinfe von Freibühel am südwestlichen Fusse des Wildoner Berges enthalten die charakteristischen Pflanzenabdrücke unserer Mitteltertiärschichten , nämlich Cinnamomum Scheuchzeri, Heer (Ceanothus -pohjmorjilms A. Braun) und PojduIus latlor A. Braun, auf wel- clien die geschichteten mächtigen Nulliporenkalke von Wildon, Wurzing und Weissenegg Platz genommen haben. Der Kalk ist geschichtet, wie sich das in den zahlreichen Steinbrüchen, die auf ilin allent- halben eröffnet sind, deutlich ergibt; auch kann man an eben diesen aufgeschlossenen Stellen die Neigung derselben deutlich wahrnehmen. Im Ganzen haben dieselben ein östliches Streichen, und sie verflachen mit einem Winkel, der 37" nie übersteigt, nach N. und NW. Abänderungen in der ßichtungslinie des Streichens sind meist schon auf kleinen Entfernungen zu beobachten. Das alte Eitterschloss Wildon, auf einem gegen die Mur vorstehenden steilen Berg- abhang auf und aus diesem Kalke erbaut, jetzt eine Ruine, aber mehr durch Menschenhände als durch den Einfluss der Atmosjjhärilien dazu geworden, gibt mit der Jahreszahl 1520 an der Stirne der Dauerhaftio-keit des Steines das beste Zeuffniss. Hart unter der jetzt nur mehr aus 4 Mauern bestehenden Capelle, in der die einst mäch- tigen Besitzer des Schlosses, die Herren von Wildon, ihre irdische Euhestätte gefunden haben mögen, aber durch Schatzgräber, welche die Erde bis auf den Grund aufgewühlt haben, auch hierin gestört worden sind, befinden sich an der Westseite die grossaxtigsten Steinbrüche, welche diesen aus Steinalgen fast ganz und gar zusammengesetzten Kalkstein bis weit ins In- nere des Berges aufschlössen , wovon beifolgende Taf. VI, von Jos. Kuwasseg gezeichnet, ein anschauliches Bild eibt. Tritt man in diese Höhle, deren Decke von einigen Steinpfeilern getragen wird , so sieht man sich in eine Art von Labyrinth versetzt, in dessen Hintergrund das Licht nur sehr spär- lich Zugang findet. Wähi'end am Eingang die Aveissen Felswände noch rings von Seligeria pusilla Br. und Schmp. (Weissia pusilla Hed w.^ einen zarten grünsammtenen Anstrich erhal- ten, ist im Hintergründe alle Spur des Lebens erloschen. Überall bemerkt man deutlich eine Schichtung des Gesteines, besonders an der Decke, deren wellenförmige Oberfläche in die Unebenheiten der bereits heruntergebrochenen Schichten genau passten. Die Schichten fallen sehr sanft (15—30») nach Stunde 20. Beiträge zur näheren Kenntnins des Ijeitkakalkes. 31 Ein weiter östlich betiudlicher Steinbruch auf denselben Kalk ist nicht so weit eröffnet. Die- ser ist noch feinkörniger und mehr geschätzt, weil er au der Luft noch fester wird als der crstei'e. An den vorherrschenden NuUiporcn beigemengten Pctrefactcn fehlt es nicht. Manche Lagen enthalten ihrer eine grössere Anzald als andere, werden aber dadurch weniger brauch- bar. Venus gregaria Part seh, und Venus IIaueriVL'6vnc.%, Vener icardia intermedia 'Qronn, Isocardia cor Bronn , Spondylus crassicostata L am., Crassatela tuviida Lam., Pectunculus poly- Oö?OHta Bronn, Pecten Solarium Lam. und Pecteti laticostatus Lam. sind die charakteristischen darunter. Die Lebringer Steinbrüche an der Südostseite des Wildoner Berges enthalten noch zwischen denNulIiporen sehr häufig Ccllepora pohjthele Reuss. Auch hier werden die festen Schichten durch mehr sandige und erdige Lager bedeckt, welche die reichste Musterkarte von Polythalamien, Polyparien und Entomostraceen enthalten. Eine solche erdige Schichte bei Wurzing gesammelt, enthielt nach E. E, e u s s' Untersuchungen an F o r a m i n i f e r e n : Eotalia Ackneriana d'O i' b. Globidina tuberculata d'Orb. Rosalina viennensis d'Orb. Amphistegina Haueri d'Orb. Polystomella crispa Lmk. ,, Fichteliana d'O r b. Asterigerina planorhis d'Orb. Alveolina melo d'Orb. Truncatulina lohulata d'Orb. Polystomella UngeriHenss n. sp. B r y o z o e n Defrancia stellata Goldf. „ deformis Eeuss. ,, dimidiata Heus s. Cellepora angulosa ßeuss. „ globularis Bronn. „ leptostoma ßeuss. Vaginopora polystigma E. e u s s. Ceriopora globidus E, e u s s. Cellaria Michelini Eeuss. Vincularia cucullata E e u s s. Hornora lEaueri d'Orb. Polymmphina digitalis d'Orb. Globidina inaequalis Eeuss n. sp. • „ minuta Eöm. „ discreta Eeuss n. sp. Guttulina problema d'Orb. Globigerina triloba Eeuss n. sp. „ bulloides d'Orb. Vemeuilina sjnnulosa Eeuss n. sp. Siphonina reticidata Eeuss. Pleterostegina costata d'Orb. n d P o 1 y p a r i e n : I Hornera biloba Eeuss. Eschara undidata Eeuss. „ punctata Eeuss. Tubidipora echinulata Eeuss. Itetepora cellulosa L m k. „ cancellata Goldf Idmonea disticha Goldf. Ceriopora . . . . ? Eschara . . . . ? Cladocora caespitosa Lmk. Entomostraceen: Cythere deformis Eeuss. „ con-H^ffto Eeuss. ,. trigonella Eeuss. r, punctaAa v. Münst. „ hastata Eeuss. Ausserdem noch Zähne von Sphyrna serrata v. Münst Cythere punctatella Eeuss. 9 Bairdia subdeltoidea v. Münst. Cytlierella compressa v. j\I ü n s t. 32 Fr a n z Ung e r. Von Wiclitigkeit ist es noch, dieNiveauverliältnisse der beiden bisher betrachteten Leitha- kalkformen, deren erstere wir Korallenkalk, letztere Nvilliporen- oder Pflanzenkalk nennen wollen, kennen zu lernen. Eine auf sorgfältige Messungen und geognostische Detailuntersu- chungen basirte graphische Darstellung mag dies erläutern. Ottersbach. St. Nikolai. Gneis Kalk T li o n o c li i e f e r. Mergel und haudstciu Korallenkalk. Mergel und Sandstein. Lasnitzthal. Freibübel. Buchkogel . ^N'ildon. "Wcisscneck. I ; I Murthal. j Tliouscliiefer. Mergel und Sandstein. Nulliporenkalk. Nulliporeukalk. Mergel und Sandstein. Wir sehen daraus, dass der Korallenkalk sowohl an Ausdehnung als an Mächtigkeit dem NuUiporenkalke bei weitem nachsteht. "Wir sehen aber auch, dass ersterer sich lange nicht so bedeutend über das Niveau des Meeres erhebt als dieser. Da beide während ihrer Bildung das Vorhandensein des Meeres voraussetzen, da es ferner wahrscheinlich ist, dass sie unter vmgefähr gleichen Niveauverhältnissen des Wasserspiegels abgesetzt wurden, so müssen noth- wendig Veränderungen in den Lagerungsverhältnissen vorgegangen sein, seit sich diese Kalke gebildet haben. Die geneigte Lage der Schichten des NuUiporenkalkes spricht offenbar dafür. Es kann nur die Frage entstehen, welcherlei Nieveauveränderungen und zu welcher Zeit die- selben vorgegangen sein mögen. Vielleicht helfen uns nachstehende Betrachtungen, der Lösung dieser Frage näher zu kommen. Zuerst wollen wir untersuchen, ob wir wenigstens in der erstem Form des Leithakalkes eine wirkliche Riffbildung vor uns haben. Es ist durch Ch. Darwin*) ausser Zweifel gesetzt worden, dass es zur Bildung eines Korallenriffes keiner submarinen Vulcane bedai'f, sondern dass jeder Continent, jede Insel unter Umständen, welche das Leben gewisser Thierformen zu unterhalten vermögen , an den Rändern einen zum Anbaue der Korallen tauglichen Boden abgeben kann. Die Grösse und verticale Ausdehnung der Eiffe , so wie ihre secundäre Form ist aller- dings von geologischen Phänomenen abhängig, worunter das Sinken des Bodens sich als das wirksamste beweist (Südseeinseln u. s. w.). Zahlreiche Beobachtungen an den Korallenriffen haben ferner gezeigt, dass, obgleich Zoophyten die hauptsächlichsten Motoren der Bildung derselben sind, dennoch auch andere Thierformen, namentlich Schalthiere, Echinoiden, Fische u. s. w. mit ihren nach dem Tode zurückbleibenden kalkigen Gerüsten und Knochen einen zur Vergrösserung derselben nicht unansehnlichen Beitrag liefei'n. Aber auch unter den Zoophyten sind es vorzüglich nur jene Gattungen, welche durch ihr Familienleben zu einer namhaften Ausdehnung gelangen und grössere Kalkmassen hervorzu- bringen im Stande sind. Zu jenen, welche sich beim Riffbaue als besonders wirksam erweisen, gehörcu die Gattungen Meandrina , GarijophylUa, Astraea und Mülepora. Wäln-end diese die ') The structurp and distiibution of (Joral Rcefs. London 1842. Beiträge zur näheren Kenntniss des Leithakalkes. 33 ersten Ansatzpunkte bilden und gleich den Torfjiflanzen fortwährend über ihre todten Leibei- neu und in organischer Verbindung mit diesen fortwachsen, stellen sich auch bald kleine, kalk- absondernde Zoophyten, eine Menge Schalthiere, Echiniten, Crustaceen u. s. w. ein, die auf solcher Unterlage einen ausserordentlich passenden Boden für ihre Entwickelung finden. So geschieht es, dass der von den Korallenthieren begonnene und von denselben fortgesetzte Bau wesentlich durch das Leben anderer Thiere gefördert und unterstützt wird. Bei der beständigen Brandung- des Wassers — und nur unter solchen Umständen gedeihen die an den Boden angehefteten Zoophyten durch hinlängliche Zufuhr an Nahrung am besten — kann es nicht anders kommen, als dass die beweglichen Residuen der Thiere zei'brochen, verkleinert und abgerollt werden, und sich bei diesen mechanischen Vorgängen der Verkleine- rung auch das Bindemittel in dem dadurch entstandenen Kalksande erzeugt, womit alle losen sowohl als feststehenden todten wie lebendigen Körper unter einander verbunden und zu einem mehr oder minder festen Gesteine vereiniget werden. Aber auch von dem schon gebildeten Korallenkalksteine werden durch Wogen Trümmer wie- der losgerissen, durch dieselben emporgehoben und auf solche Weise das Biff erhöht. Wirkt auf einen solchen theilweise selbst über das Meeresniveau emporsteigenden Boden die Sonnenhitze ein, so entstehen in dem weichen Gesteine Klüftungen und Risse in ähnlicher Art, wie wir sie durch dieselbe Kraft an unseren ausgetrockneten Thon- und Mergelboden wahrnehmen. Erst jetzt ist das Korallenriff geeignet, auch lebenden Landpflanzen und Thieren zum Aufenthalte zu dienen. Aus den vortrefflichen Untersuchungen Ch. Darwins geht aber auch hervor, dass alle geologisch noch so verschiedenen Korallenriffbildungen nur verschiedene Formen und Alter- stufen der Riffbildung überhaupt darstellen. Zuerst entstehen Strandriffe (Fn'ngincj reefs) , d. i. Korallenbänke, die sich unmittelbar an die Küste anschliessen und sie umsäumen. Viele Riffe bleiben auf dieser Bildungsstufe stehen. Unter günstigen Umständen können jedoch diese Strand- riffe durch fortwährendes Sinken des Bodens in Damm- oder Canalriffe (Barrier reefs) über- gehen, das sind solche Riffe, welche erst in einer kleinen Entfernung vom Festlande oder den Inseln den Küstensaum begleiten, und daher zwischen sich und dem Lande einen vom Meere erflülten, meist seichten Canal bilden. Endlich geht bei Verschwinden des Landes (Insel) da;^ Riff in einen ringförmigen Wall über, der eine Lagune einschliesst. Dies sind dann Ringriffe, Atolls (Lagoon islands). Alle diese Eigenthümlichkeiten in Anbau und Ausbildung der Korallenriffe findet man auch am Leithakalke, wo derselbe immerhin auftritt und welche Ausdehnung er hat, mehr oder minder deutlich ausgesprochen. Dass die erste der oben betrachteten Formen desselben eine wahre Riff'bildung ist , geht aus den, es fast ausschliesslich zusammensetzenden Korallen hervor; ferner aus der Art und Weise des Anbaues derselben und aus den allgemeinen Lagerungsverhältnissen zum Festlande. Das Sausalgebirge in Steiermark scheint in der vom Hochgebirge umgebenen Bucht eine ganz besonders günstig gelegene Insel gewesen zu sein, wo den Korallenthieren durch Sti'ömung und Brandung hinlängliche Nahrung zugeführt wurde. Eine andere Frage ist es, ob auch die zweite Facies des Leithakalkes, der NuUijJorenkalk, als eine Riffbildung angesehen werden müsse. Ich zweifle keineswegs daran, und zwar aus folgenden (rründcn. Erstlich ist es klar, dass der Nulliporenkalk in vielfacher Beziehung mit dem Korallenkalke zusammenhängt, so zwar, dass der eine ohne Korallen, der andere ohne Bestandtheile von Nulliporen kaum irgend I>enkschriften der mathem--naturw. CI. W\ . Ud. "^ 34 Franz Unger. wo o-efunden wird. Es setzt dies gleiche oder doch wenigstens nahezu gleiche Bildungsursachen voraus. Der zweite Grund liegt in den Lagerungsverhältnissen, welche durchaus nicht von jenen abweichen, die wir bei der eigentlichen Korallenfacies wahrgenommen haben. Dieselbe Umsäumung des Festlandes und kleinerer Inseln des Tertiärmeeres, dieselbe Küstenbildung durch Beimischung von Schalthierresten haben wir hier wie dort. Dass hier eine Schichtung auftritt mit kleinen thonigen und mergeligen Zwischenlagen, mag seinen Grund in den Schlamm- ergiessungen haben, welche durch angeschwollene, vom Festlande ins Meer gelangende Ströme oder durch Aufwühlung des Meeresgrundes in Folge grosser Stürme stattfanden und periodisch wied/ rkehrten. In der Nulliporenfacies ist man eigentlich noch vielmehr als an der Korallen- facies im Stande, Ähnlichkeiten mit der dermaligen Riffbildung heraus zu finden. In der That bin ich im Besitze mehrerer Stücke dieses Kalkes, woran man, wie bei dem heutigen Riffkalke, die Spuren seines einstigen sandigen und weichen Zustandes imd die durch die Sonne bewirkten Zerklüftunaren und sich kreuzenden oberflächlichen Risse zu erkennen im Stande ist. Das Seltsame und Widersprechende liegt eigentlich nur darin , dass der Nulliporenkalk für ein Pflanzen- und nicht für ein Thierproduct angesehen werden muss, wofür wir in der heutigen Welt streng genommen keine Analogie besitzen. Wenn wir aber bedenken, dass vielleicht keine einzige dermalige Korallenriffbildung ohne gleichzeitige Anwesenheit von Lithophyllum- und Lithothamniumarten stattfinden mag, und die- selben daher immerhin irgend einen Antheil an der Rift'bildung haben, was unserer genaueren Beobachtung bisher nur entgangen ist, so hätte eigentlich nur das vorwaltende Auftreten dieser Steinalgen zur Bildung von Riffen etwas Ausserordentliches. Doch wer wird es in Abrede stellen wollen, dass eben diese Eigenthümlichkeiten in den Umständen der damaligen Zeit ihren Grund haben konnten. Von der dritten Form des Leithakalkes, der sandigen Form, mag wohl dasselbe gelten, um so mehr, als dieselbe sich immer nur den eigentlichen Nulliporenfacies anschliesst, und eigent- lich nur als dessen Hemmungs- oder Schlussformation anzusehen ist. Von der Richtigkeit des bisher über die Natur des Leithakalkes Auseinandergesetzten ausgehend, lassen sich nun einige nicht uninteressante geologische Folgerungen ziehen. Bekanntlieh gibt es dermalen Korallenriffe vorzüglich nur unter den Tropen. Die nörd- lichsten Riffe im rothen Meere reichen nur bis 30" nördl. Breite und ausnahmsweise an den Bermuda-Inseln bis 32" 15 nördl. Breite In der südlichen Hemisphäre sind die Houtmans Abrolhos unter 29" südl. Breite die äussersten. Dies setzt eine Temperatur des Meeres von 19 — 20" C. und der Luft von 25" C. voraus. Suchen wir nach der dermaligen Istherme von 25" C, so sehen wir dieselbe das nord- westliche und das ganze nördliche Stück von Afrika bis Ober - Ägypten umfassen, durch das nördliche Arabien und Persien ziehen, und im Norden von Vorder- und Hinterindien südlich von Canton und das chinesische Meer die Insel Luzon berühren , Mexico quer durchschneiden und fast den ganzen Meerbusen mit Florida umschliessen. Es muss also zur Zeit der Riffbildung in unseren tertiären Becken ein Klima geherrscht haben , wie wir es gegenwärtig nur in der Nähe der Wendelcreise finden. Allerdings findet dieses an dem Charakter der tertiären Flora und Fauna des Festlandes, welches das damalige Binnenmeer umgab, vollkommene Bestätigung. Wenn auch aus jener die Palmen und andere tropische Gewächse bereits grösstentlieils verschwanden, als die Bildung jener Riffe vor sieh ging, so behielt die Meeresfauna immerhin noch jene Eigenthümlichkeiten bei. Beiträge zur näheren Kennt niss des Leitluikalkes. 35 die sie im Ganzen zu einer von der dernialigen Mittelmcerfauna wesentlich verschiedenen machen. Es kann der Grund davon nur darin zu suclien sein, dass jene Verbindungen, wclelicder pannonische Biimensee mit den erwärmten Wässern des indischen Meeres liatte noch längere Zeit hindurch, als das Klima dieser Gegenden sich schon merklieh abkühlte, unterhalten wurden. Wir finden es dadurch sehr erklärlich, dass die Riffbildung nicht an der Meerenge von Suez abschloss, sondern sich bis zum 47. und -18. Grad nördl. Breite fortsetzte. Es lässt sich sogar aus dem Umstände, dass am westlichen Theile des pannonischen Meeres die Leithakalki'ifi'bildungen viel ausgedehnter und mächtiger sind als im nördlichen und östlichen Theile, der Sc'.iluss ziehen, dass dieSti-ömung des aus dem indischen Meere kommenden warmen Meerwassers ihre vorherrschende Eichtung von Westen in Osten hatte. Es scheint mir jedoch bei allen dem, dass die eigentliche Korallenkalkbildung nicht lange bestanden und weniger durch Niveauveränderungen, die sicherlich auch etwas dazu beigetra- gen haben mögen, als durch die Erniedrigung der Temperatur des Wassers ihre Beschränkung gefunden zu haben, während die Vegetation der submarinen kalkbildenden Wiesen noch lange fortdauerte, und dadurch die Riffbildung in der zweiten Form fortsetzte. Es erklärt sich dadurch die scheinbare Unregelmässigkeit, die wir allenthalben in der Construction und Vertheilung der Leithakalkmassen antreffen, und die, wenn wir sie mit den gegenwärtig vor sich gehenden Riffbildungen vergleichen, nicht ganz und gar zusammenstim- men wollen. Wie dem auch sei, so viel ist indess gewiss , dass die Nulliporen oder Steinalgen die eigentlichen Rifi'bildcr der gemässigten Zone genannt werden können, die ihr Spiel an den von warmen Strömungen heimgesuchten scandinavischen Küsten noch jetzt forttreiben, ja vielleicht bis in die kalte Zone Grönlands fortsetzen, und so die Herrlichkeit des Lebens im tiefen Meeresgrunde verbergend, für kommende Geschlechter und für neue Epochen der Welt- geschichte bewahren. 36 Franz XJnfjer. ERKLÄRUNG DER ABBILDl NCxEN. TAFEL I. Fig. 1. Ein Stiiclv des Siisswasserkalkes von Strassgang bei Grüt/, . ein und siebenzelmtelnial veigrb'süert um liie an der Oberfliiehe er- seheinenden organischen Reste besser zu erkennen. a Rest von der Wurzel des Arumio Giipperli Heer; h dasselbe? weniger gut erhalten ; c Blattstielrest von Nijmp/iwa Blandnsue : d eine Conchylie. Fig. 2. Ein Stück desselben Süsswasserkalkes in gleicher Vergrösserung: a mit dem Wurzelrest von Arundo Göpperti Heer. Fig. 3. Eini' i^J., mal starke Vergrösserung des nämlichen Querschnittes: a centraler Geiasskörper ; h innerer lockerer Rinde; c äussere feste Rinde der Wurzel. Fig. 4. Ein anderer Querschnitt einer Wurzel von Arundo Göpperti eben so vergrossert. Bezeichnung dieselbe. Fig. .'). Stück des Süsswasserkalkes von Strassgang mit dem Blattstiel von Nymphoea Blandiiske faj. Vergrösserung 1-7 njal. Fig. (>. Der Querschnitt desselben Blattstieles 4V.j mal vergrossert. Man unterscheidet Rinde, Parencliym und die in letzteren belind- lichen Luftcanälc. Fig. 7. u. 8. Querschnitte des Blattstieles derselben Pflanze, ersterer i'/o, letzterer 2^/., mal vergrossert. Fig. 9. Querschnitt des Blattstieles von JSfymphcea alba. Vergrösserung 2^/., mal. Fig. 10. Querschnitt des Blattstieles von Ntjnqjitma Blandusice. Vergrösserung 2^/., mal. Flg. 11. Querschnitt einer unbestimmbaren Frucht in natürlicher Grösse aus dem Süsswasserkalke von Strassgang. I'^ig. 12. Querschnitt einer Wurzel von Arundo Donax am Grunde in 5 maUger Vergrösserung. Fig. 13. Quei'schnitt einer älteren Wurzel derselben Pflanze in 41/2 nialiger Vergrösserung. Fig. 14. Querschnitt einer Quarzversteinerung aus dem königl. Mineralien-Cabinete in Berlin. Naturgrösse. Es stellt eine Anhäufung der Wurzeln von Arundo Oüpperti dar. Fig. l.^i. Der Querschnitt Einer solchen Wurzel des vorher bezeichneten Stückes. Vergrösserung ömal Fig. l(i. Der innere Theil der Wurzel von Fig. lü. 100 mal vergössert. Man erkennt nun: a den Markkörper, bh den Gefässkörper mit den grossen weiten Spiralgefässen c, d den dichteren und e den lockeren Rindenkörper von luftführenden Lücken durchsetzt. P'ig. 17. Querschnitt des unteren Theiles eines Stammes von Arimdo Göpperti aus Aem Süsswassertjuarze von Hlinik in Ungarn : a der dichtere äussere Holztheil ; b der innere lockere Holztheil, welcher die Lücke umgibt ; cc Adventivwurzeln im Hervorgehen aus dem Stamme, der Länge nach getroff'en ; dd dessgleichen Advenlivwurzeln quer durchschnitten. Fig. 18. Ein zu dem vorigen Stucke gehöriger Theil — mit einem etwas schief getroffenen oberen Ende eines Stammes derselbenPflanze. Vergrösserung in beiden letzteren das 3fache. Fig. 19. Ohara JiolUiVng. von der Seite gesehen, in 24maliger Vergrösserung. Fig. 20. Die Basis derselben Charafrucht von Thal bei Grätz. Fig. 21. Zwei Windungen besonders dargestellt in einer Vergrösserung von 4bmal der Natur. Beiträge, zur nlÜceren Ke>ufftiif>s tfes LeitlKtknlken. 37 TAFEL II. Vis- 1- Querscbnitt eines ungefähr fingerlangen Schilfhalmstückes ;ius tleni kais. Huf. Mineiiilien-Cabinete in Wien. Fumluit unlickiinnt. Natürl. Grösse. Vis- '-■ Ein kleiner Theil dieses Schilfrohres lÜOmal vergrössert. Es stellt sich als vliviHrfo ßüpper^i heraus: a dichteres, b lockeres Kinnenijarenchym ; c innerer an die Lufthöhle stossender Theil ; dd einzelne Gcfässbündel, an welchen die zarten Cambiumzellen grösstentlieils /erstört sind. Fig. 3. Querschnitt aus dem gleichen Theile von Arundo Donax L. mit 3 Geliissbündel. Fig. 4. Ein Spiralgefäss, aus diesem Gefässbiindcl in IGöraaliger Vergrösserung. Fig. 5. Ein netzförmiges Gefäss von Anmdo Vonax von Innen gesehen. Vergrösserueg 590mal Fig. (). Ein eben solches Gefäss von aussen mit daran befindlichen auf dasselbe senkrecht stehenden Zelhviinden der nachbarlichen Zellen. Vergrösserung 590mal. Fig. 7. Ebenfalls ein Gefäss von daher. Vergrösserung 590mal. Fig. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18. Spiralgefässe aus einer Braunkohle mit Planorhen von Rein bei Grätz, in SOOinaliger Ver- grösserung. Gehören höchst wahrscheinlich Arundo GSpperii an. Fig. 15, 16. Aus derselben Braunkohle. Fig. 19, 20. Aus einer Braunkohle mit Planorben von der Mantscha hei Strassgang. Vermuthlich auch Arundo Göpperti. Vergrösse- rung 2ö0mal. Fig. 21. .\us der Braimkohle von Mantscha. Fig. 22, 23. Aus der Braunkohle von Rein. .411e drei ein nicht bestimmbares Nailelliolz. Fig. 24, 25. Aus einer Faserkohle und Fig. 26. aus einer Glanzkohle von Pols in Steiermark. Unbestimmbares Nadelholz. Vergrösserung l.'iOmal Fig. 27. Querschnitt einer dichten Braunkohle von Voitsberg. Man erkennt noch die dickwandigeren deii Sclüuss dreier Jahresringe bildender Zellen: ii Harzgang. TAFEL m. Fig. 1. 2, 3. Thuioxylon hltnikiamim Ung. 1 . Querschnitt durch einen Jahresring geführt. 2. Längenschnitt parallel der Rinde mit einem Harzgang. 3. Längenschnitt parallel den Markstrahlen. P"ig. 4, ö. iJe<M^»j«()/»^amieKse Ung. Quer- und tangentaler Längenschnitt. Fig. 6, 7. Beiulinium stagnigenum Ung., von Tuchorzic in Böhmen. Beide Schnitte äludicli den früheren. Fig. .S, 9. 10. Ä/jpjpstoM!» met^MHam Ung., vom Thale bei Gratz. 8. Querschnitt des Stammes. 9. Längenschnitt parallel der Rinde. 10. Längenschnitt parallel den Markstrahien. TAFEL rV. Fig. 1 — 3. Peuce minor Ung., aus dem Kaisersteinbruche des Leithagebirges. 1. Querschnitt. 2. Längenschnitt parallel der Rinde. 3. Längenschnitt par.illel den Markstrahlen. Fig. 4, 5. iZaMen'a «^«naea Ung., aus dem Kaisersteinbruch des Leithagebirges. 4. Qiicrsclinitt. 5. Längenschnitt parallel der Rinde. Fig. 6. 7. Hauaria americana Ung., aus Papantla in Mexico. 6. Querschnitt des Stammes. 7 Längenschnitt parallel der Rinde. 38 Franz Unger. Beiträge zur näheren Kenntniss des Leithakalkes. TAFEL V. Fig. 1. Lithothamnium bijssoides Philip pi, von der Küste Norwegens in natürlicher Grösse. Fig. 2. Ein Ästchen derselben in Gfacher Vergrösserung. Fig. 3. Querschnitt desselben Astes bei gleicher Vergrösserung. Man erkennt, obgleich nicht sehr deutlich, eine gröbere Schichtung der Substanz, während die feinere Schichtung erst bei einer lOOmaligen Vergrösserung, welche in Fig. 4. dargestellt ist, sichtlich wird. Fig. 5. Die Oberfläche der Pflanze bei 360maliger Vergrösserung. Fig. 6. Querschnitt etwas tiefer bei gleicher Vergrösserung. Die zwischen den Zellen befindliche Substanz ist hier deutlieh von den Zellenräumen zu unterscheiden. Fig. 7. Ein Längenschnitt parallel der Axe des Astes. Vergrösserung 360mal. Die Glieder-Röhren sind durch seitliche Anastomosen sparsam mit einander verbunden. Fig. S. Eine kleine Partie dieser Röhren noch stärker (590mal) vergrössert, um den Inhalt des Amylums deutlich zu machen. Fig. 9. Lithothamnium crassum Philippi, in natürlicher Grösse. Aus dem k. k. Hof - Natui'alien - Cabinete. Wahrscheinlich \om Mittelmeere. Fig. 10. Längen- und Querschnitt einer warzenförmigen Protuberanz derselben Pflanze 2mal vergrössert. Man unterscheidet daran eine dxmklere Rinde und eine lichtere Marksubstanz und in beiden eine zarte Schichtung. Fig. 11. Ein durchsichtig dünn geschliffenes Plättchen von daher, bei lOOmaliger Vergrösserung. Es werden Längen- und Querreihen deutlich. Fig. 12. Dieselben treten erst bei 360maliger Vergrösserung in ihrer wahren Beschaffenheit hervor, der Art, dass jene von den neben einander liegenden Glieder-Röhren, diese durch die Einschmierungen derselben und den nächst diesen vorhandenen Anhäufun- gen von Amylum gebildet werden. Fig. 13. Eine einzelne dieser Glieder-Röhren noch stärker vergrössert. Fig. 14. Lithothamnium tophiforme U n g., in natürlicher Grösse von Grönland. Fig. 15. Ein Stück Yon Lilhothamniuvi KotschijanutnVng. Auf Heteropora prolifera Ehrb. aufsitzend, vom persischen Meerbusen. In natürlicher Grösse. Fig. 16. Die dieses Lithothamnium zusammensetzenden Glieder-Röhren mit ihrem Anastomosen- und Amylum-Inhalt .i90mal vergrössert. Fig. 17. Nullipora rhodica Uug. Aus der Pliocenforraation der Insel Rhodus, vom k. k. Hof- Naturalien -Cabinet. Fig. IS u. 19. Zwei Aststücke von Nullipora ramosissima Reuss in Sfacher Vergrösserung. Gesammelt bei Lebring in Steiermark. Fig. 20. Ein sehr dünner Längenschnitt durch den Ast dieser Nullipora in lOOmaliger Vergrösserung. Die Längen- und Querstreifung wie bei 4 und 11. Fig. 21. Die Oberfläche eben dieser Nullipora mit derselben Anordnung der Zellen wie bei Lithothamnium bijssoidea Fig. 5. Fig. 22. Querschnitt eines Nulliporenkalkes mit zwei neben einander liegenden Nulliporen von Wildon in natürlicher Grösse: a. eine von der Nullipora ramosissima eingeschlossene Cellepora globularis ; b. ein unbestimmbares Muschelfragment. TAFEL VI Ansicht des Steinbruches an der Süd.seite des W'ildoner Berges in Steiermark. I' n 5*' r. S li l's w n ä» o r fo rmation. Tiif I. LitK u ^i;li 3 kl^ Hof u ütSAts drucke i-ei Dt'üksrliriflni tlrr k .\kitil ii V isscitsi-li ni.Tllii'rn ii.'ilurw. ClAIVUd IH.m rnaer Süfswasserformif ioTi Tarn. 4^ /,.', <t ^(/Arillll/nfrVp/irrtiNriT. ^/,Zi^?6. Prnr( / ?i,?:>-2i. /'eilif tn-rroxti l'lli/. Denkschriflen il.k.Aknd.d.Wi?5i'n*rlrmalIicm.naturw.('|.XI\'. Bd. 185(. .-li J>A V.if.-i. StuUlrail«! r II «<"<'>• s iir,s'.v.irsi'rr(iriii,iiiiiii ' ' •.■i|ll:-;-,W ■■;' mm 11] iii-:^:^^- ;il'.--.;vnfi: fr. i|.:>-M':-.;.-.;:ii: ///^Pit/M^ kKof-.;. G'o^'.^drurkrifL l)fMUs('4irit'tcii der k Ak.uhl U'isscnsrli malli.in ii.iiniu tlMVili! laji. l'iniiT .Siil'.vw.issi'rriiriMiittiiii Tiif II- ,,.... -..., ^*'M/ Sil U¥- Dcilksiliriflfii link .\k>id ilWlssrii.srIi.iii.illi ii.ilnnv (l.VlV.lt,! IH.h im'cr. iSiiInwiI Isn rniiii.ilion r.i r \- './ tu. \.^^ 4- f>K LitK.TL^ei-Li k.k.}{ü£u-Staatslruck^«i "Denkscliriften d.k.Akad.d.WisÄfnJcJi.niatJieni iiahirw Tl XR'Bd.lSSl. S 1 1- i II li r II I- ii II 111 H' i 1 il 0 II (• r - B r r » r ?u k«rliillli» ilk AUaililh'i.ieiiirll. iiiiilhiialiirivriM hj lÄj, 39 ÜBER DEN AMPHIBIENKREISLAUF AMPHIPNOUS UND MONOPTEEUS. VON PROF. JOSEPH HYRTL, •.VIRKLICHEM MiTGLIKDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. DVilt 1 5a,feE. VORGELEGT IN DEK SITZUNG DER MATIIEMATISCH-NATUHWISSENSCHAFTLICHEN ULASSE AM 26. MÄRZ 1867 I. AMPHIPNOUS CUCHIA MÜLL. Fig. 1, 2. J o Im Taylor lieferte 1831 die erste anatomische Untersuchung der Cuchia^), welchem Fische er, der merkwürdigen Einrichtung seiner Athmungs- und Kreislaufsorgane und des Mangels aller Flossen Avegen, eine mittlere Stellung zwischen Amphibien und Fischen einnehmen liess"). Hamilton hatte diesen Fisch in Lac^pede's unetymologisch benannte Gattung: üni- branchiapertura [Synbranchus Bloch) eingereiht, da das an der Kehle befindliche einfache Kiemenloch sich wie bei allen Synbranchus-Arten verhalt. J. Müller wies ihm, unter der Benennung Amphipnous Cucliia, die Stellung einer selbstständigen Gattung an, die er durch den Besitz besonderer häutiger Athmungssäcke, welche allen übrigen Gattungen der Synbranchus- Familie fehlen, mit vollem Recht behauptet. Taylor's sehr kurze Angaben über Skelet und Eingeweide der Cuchia fand ich an zwei von mir kürzlich untersuchten Exemplaren bestätigt ^). Dagegen ist das Verhalten der zu- und abführenden Blutgefässe der Kiemensäcke ein anderes, als von diesem Autor angegeben wurde. Ja es kommt noch eine ganz besondere, bisher nicht beschriebene Verästlungsweise des Truncus communis arteriarum branclüalium vor, welche von Taylor übersehen wurde, und im Folgenden geschildert werden soll. Vorerst mögen in Kürze ') The Edinburgh Journal of Science, Vol V. -) Lib. cit. pag. 42. '■'•) Ich verdanlie dieselben, so wie den Besitz luelircrer anderer iclithyologiseher Seltenheiten, der mich so hoch erfreuenden und ehrenden GefiiUiglieit des hochverdienten Ichthyologen, Herrn Doctor P. Bleeker, Präsident der Gesellschaft der Wissenschaften in Batavia. 40 Joseph Tlyrtl. die anatomischen Verhältnisse der Kiemenbogen, und der beiden Athmnngssäck« aufgefülirt werden, da die Verästlungen des Kiemen -Schlagaderstammes sich nach diesen vorzugs- weise richten. 1. KIEMENCtERÜSTE. Fig. 1. Das knöcherne Gerüste der Kiemen ist von jenem der Synhranchus nicht wesentlich verschieden. Zahl der Bogen und ihrer Segmente ist dieselbe. Kiemenspalten finden sich jedoch nur drei, indem jene, welche zwischen Zungenbein und ersten Kiemenbogen klaffen sollte, fehlt. Die Schleimhaut der Mundhöhle einerseits und jene der Kiemenhöhle anderer- seits geht über sie hinweg, und verschliesst sie. Die drei Kiemenspalten entsprechen nicht der ganzen Länge der Kiemenbogen. Sie sind vielmehr durch eine ihre obere und untere Commissur einnehmende fibröse Membran, und die mit dieser innig verwachsene Mund- schleimhaut in senlcrechter Eichtung so sehr verkürzt, dass die erste, bei einem 1 Schuh 5 Zoll langen Exemplare, nur anderhalb Linien Länge hat, die zweite zwei, die dritte grösste, nicht ganz vier Linien misst. An einem zweiten, 2 Schuh 2 Zoll langen Exemplare '), fand ich beiderseits vier Kiemenspalten, indem auch eine vor dem ersten Kiemenbogen befind- liche, 2 Linien lange Spalte aus der Kiemenhöhle in die Mundhöhle führte. Die zweite und di'itte Kiemenspalte war nicht grösser als an dem kleineren Thiere; die vierte dagegen fast y, Zoll lang. Diese kurzen Spalten entsprechen der Mitte der Länge der knöchernen Kiemen- bogen. Der erste und vierte Kiemenbogen werden von den Muskeln des Kiemengerüstes so verdeckt, dass sie gar keine Kiemenblättchen tragen. Der dritte Bogen, dessen oberes und unteres Drittel gleichfalls durch häutige und musculöse Auflagen dem Anblick von der Kiemenhöhle aus entzogen ist, trägt nur an seinem mittleren, nicht im Fleisch verborgenen, sondern freien Theile, einen dicken, härtlichen Sehleimhautwulst, welcher in eine scharfe, etwas gezähnelte Kante ausläuft, und an ein ähnliches Verhalten der Schleimhaut am vierten Kiemenbogen bei Opliiocephalus erinnert, welchem entlang der von mir jüngst beschriebene ' Aortenbogen verläuft (Über das Labyrinth und die Aortenbogen der Gattung Opliiocephalus, Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, 1853, Febr.). Nur der zweite Kiemenbogen trägt wahre Kiemenblättchen, jedoch nur an einem 3 Linien langen Segmente seines Mittelstüekes. Ich zählte nur 27, au ihrer Basis mit einander verwachsene, an ihren Spitzen gespaltene Kiemenblättchen an dieser kurzen Strecke des zweiten Kiemenbogens. Das Skelet der Kiemenbogen (Fig. 1) weicht in sofern von dem allgemeinen Typus der Synbranchen ab , als nur das dritte Bogenpaar, lit. (/, eine Copula besitzt, lit. (j\ und selbst diese scheint mir, da sie aus zwei dicht neben einander gelegenen und innig verbundenen Scitenhälften besteht, eigentlich den unteren Segmenten des beiderseitigen dritten Kiemen- bogens zu entsprechen. Bei Si/nbranchus marmoratus und immaculatus ist eine aus drei hinter einander liegenden, stabförmigen Stücken bestehende Copula vorhanden. — Der erste Kie- menbogen von Amjjhfpnoics hat nur zwei Segmente, lit. ee. Das vordere (untere) articulirt mit einem unpaaren säulenförmigen Knochenstab, lit. d, welcher eine nach hinten gerichtete Ver- längerung des Os entoglossum darstellt, jedoch mit ihm nicht so vollkommen verschmolzen ') Nach Hamilton sind 2 Schuli das Maximurii .Icr I.iinKC. welches die Cuchia erreicht. tjber den AmjjJubienJi-reislaitf von Amphipnous und MonojJterus. 41 ist. (lass er iiiclit auch als Copula der beiden ersten Kiemenbog-en angeselien werden könnte. Das hintere (obere) ist rundlich, säulenförmig, ungefurcht, und erreicht die Schädelbasis nicht. Der zweite und dritte Kiemenbogen (lit._^, lit.gg)^ bestehen aus drei Segmenten (wenn man die paarige Copula des dritten als unteres Bogensegment desselben gelten lassen will). Der vierte Kiemenbogen (lit. h) , besteht wieder aus zwei Segmenten, von welchen das untere sehr lang und knieförmig gebogen erscheint. Das obere Segment des dritten und vierten Kiemen- boi'ons sind mit einem zahntragenden Os pharyngeum superius in Verbindung (lit. k). VfieOssa jiharyngea inferiora (lit. /) wie bei Synbranclms bezahnt. — Der Zungenbeinkiel von Am- ])hipnous ist sehr kurz, herzförmig, — jener von Synhranchus klingenförmig langgezogen. 2. ATHMÜNGSSÄCKE. Die Athmungssäcke des grösseren Exemplares von Cuchia sind zwei stumpf-kegelförmige Ausstülpungen der Mundschleimhaut, von 1 Zoll Länge und 6 Linien Basis (Fig. 2, lit. oo). Am kleineren Thiere sind sie bedeutend kürzer und enger, und flachen Divertikeln des Rachens ähnlich. Sie stehen somit den so ausgezeichnet langen respiratorischen Säcken des Saccobranclius singio an Entwickelung sehr auffallend nach, und bilden, zugleich mit den unvollkommen entwickelten Kiemen, einen für die Grösse des Thieres nicht eben flächenreich zu nennenden Athmimgsapparat. Sie erstrecken sich an den Seiten der Wirbelsäule und über den oberen Enden der Kiemenbogen hin bis zum Sehultergürtel. Sie werden theils durch die Haut des Nackens, theils (welter unten) durch ein sehr dünnes, aber breites Operculum, an welches sie wie angelöthet sind, bedeckt. Der hintere Rand des Operculum ist mit einer flbrösen Membran verwachsen, welche von der sehr mächtigen Scheide der Rückenmuskeln stammt. Die Eingangsöfiuung in die Athmungsblasen liegt im oberen, seitlichen Theile des Rachens, über der ersten Kiemenspalte. Sie ist oval, glatti-andig und ohne Schliessmuskel. Taylor scheint die gewöhnlichen Muskeln der oberen Kiemenbogen-Segmente für einen Con- strictor dieser Öffnung, w^elche er einer Stimmritze^) vergleicht, angesehen zu haben. Die innere Oberfläche der Säcke ist bei dem kleinen Exemplare in zahlreiche niedrige und scharf- kantige Falten gelegt, welche in jene des Schlundes und Gaumens fortlaufen, — bei dem grösseren dagegen ganz glatt. Unter der Schleimhaut findet sieh eine aus quergestreiften Fasern zusammengesetzte, eontinuirliche Muskelschichte. — Es ist schwer zu sagen, ob die Säcke zur Luft- oder Wasserathmung dienen. Ich ver- muthe letzteres , da der in Nichts von anderen Aalen abweichende Mechanismus des Kiemen- und Mundhöhlenskelets den Vorgang einer Luftathmnng nicht zu gestatten scheint. Taylor sagt zwar, dass die Säcke, wenn sie am lebenden Thiere mit Luft gefüllt sind, als rundliehe Wülste äusserlich Sichtbarwerden. Es wurde jedoch nicht zugleich gesagt, ob dieses zu sehen ist, so lange der Fisch sich im Wasser befindet, oder nur wenn er herausgenommen wird. Wenn ferner Taylor angibt, dass einige Exemplare, welche er wilhrend der Regenzeit durch zwei Monate in Wasser hielt, in einem fast empfindungslosen Zustande auf dem Boden des Gefässes lagen, keine Nahrung nahmen, sich selten bewegten, und nur manchmal an die Oberfläche kamen um Luft einzuathmen, so ist dagegen zu bemerken, dass auch andere ') Das Gezische, welches der Fisch nach Taylor beim gewaltsamen Austreiben der Luft aus den Blasen hören liisst . ist wob nur von der vorgefassten Meinung, eine Halbschlange vor sich zu haben, vernommen worden. 6 Denkschrjflcu der iDathfm.-iiaturw. CI. XIV. Bd. 42 Joseph Hyrtl. Fische, -welche keine Athmungssäcke besitzen, öfters an die Oberfläche des Wassers auftauchen, wahrscheinlich nur um ein an atmosphärischer Luft reicheres Wasser einzunehmen. Man sieht ja bei diesem sogenannten Luftschöpfen der Fische im Wasser niemals Luftblasen durch die Kiemenspalte ausgetrieben werden. Zwei luftgefüllte Blasen am Nacken eines Fisches wären für die Statik desselben in seinem Elemente etwas sehr Unzweckmässiges, während, wenn der Fisch ins Trockene gebracht wird, das auch bei anderen Fischen zu beobachtende Luft- schlucken (Einziehen durch den Mund und Austreiben durch die Kiemenöffnung) die beiden Säcke mit atmosphärischer Luft anfüllen kann, wenn gleichzeitig die ohnedies sehr engen Kiemenspalten durch Adduction der Kiemenbogen geschlossen werden. 3. VERASTLUNG DES KIEMENAETEIIIENSTAMMES. Fig. 2. Was nun das Verhalten der Kiemenarterien zu den Kiemen, zu den Luftsäcken und zu den anderen Weichtheilen des Kopfes anbelangt, so kann ich hierüber Folgendes aus zwei vorliegenden, glücklich gelungenen Injeetions-Präparaten angeben. Das Herz des Amplii'pnous ist kein Venenherz, wie das aller übrigen Fische, sondern ein Gor arterioso-venosum , wie jenes der Amphibien. Der Trimcus communis arteriarum brancJiialium lit, a hat eine Länge von 3 Zoll, und im injicirten Zustande einen Durchmesser von zwei Linien. Eine bulbusartige Anschwellung an seiner Abgangsstelle vom Herzventrikel ist nicht bemerkbar. Eine scheidenähnliche Fort- setzung des Herzbeutels begleitet ihn bis zu den unteren Schlundknochen. Am unteren Ende des vierten Kiemenbogens gibt er rechts und links einen mächtigen Aortenbogen ab (lit. 6), welcher zwischen dem vierten Kiemenbogen und dem unteren Os phm-yngeum den Schlund umgreift, sich an die untere Fläche der Wirbelsäule lagert, und erst zwischen dem neunten und zehnten Wirbel mit dem der anderen Seite zur Aorteiiwurzel zusammenmündet. Während er der Richtung des vierten Kiemenbogens folgt, gibt er einen sehr feinen Ast ab, welcher die diesen Bogen verdeckenden Weichtheile mit spärlichen nutritiven Zweigchen versieht. Die Aorta wird nur durcli diese beiden Bogen gebildet. Kein Kiemenbogen sendet ihr, wie es bei den übrigen Fischen geschieht, eine Wurzel zu. Dicht vor der Abgangsstelle der Aortenwurzel aus dem Truncus hrancTiialis communis^ und auf der linken Seite fast mit ihr verschmelzend^), geht eine zweite, paarige, ungleich schwächere Arterie aus dem Hauptstamme der Kiemenarterie ab (lit. c). Sie legt sieb an den convexen Eand des mittleren Theiles des dritten Kiemenbogens, sendet ein zartes Ästchen für die Muskeln gegen die Medianlinie der unteren Sehlundwand hin (lit. rf), wird von dem gekerbten Schleimhautwulste des dritten Kiemenbogens überwachsen, ohne mehr als zwei sehr feine, fast capillare Astchen in ihn eintreten zu lassen, und geht am oberen Ende des Bogens' in die dorsale Wand des Schlundes über, wo sie sich baumförmig verästelt (lit. e). Der dritte Kiemenbogen respirirt sonach gewiss nicht. Seine gefässarme, weisse, mit dicker Epidermis überzogene Schleimhaut enthält nur nutritive Blutgefässe. ') Interessant als Übergang von den getheilten Ursprüngen der dritten und viertenKiemonbogcn-Arterie der Aale zum Entstehep der- selben aus einem gemeinschaftlicben Stamme bei den übrigen Knochenfischen. tJber den Amphibienkreislauf von Amphip>nous tind Monopterus. 43 Das dritte Arterienpaar aus dem Tnmcus branchicdis communis (lit.y) gclit zum zweiten Kiemenbogenpaare. Es ist mit dem zweiten von gleicher Stärke, verläuft der kiementragenden Strecke des zweiten Iviemenbogens entlang, sendet ein nicht unansehnliches Zweigchen gegen die Mittellinie der unteren Ilachenwand, welches sich in dem Zurüekzieher des Kiemen- gerüstes und dem zum Unterkiefer gehenden Depressor maxillae verliert, dann einen Kamm von 27 feinen Astchen in die Kiemenblättchcn, und erreicht wie das zweite Paar der Kiemeuarterien seine Eudauflösung in der oberen Wand des Schlundes. Nun theilt sich am hinteren Ende der mit dem Os entoglossum verwachsenen vordersten Oopula der Hauptstamm der Kiemenarterien in zwei Gabelzweige, deren jeder die Hauptschlag- ader des Athmungssackes erzeugt. Diese (lit. g) zieht dem vorderen Rande des ersten Kiemen- bogens nach. Sie sendet keine Astchen zur Kehle, wie das 2. und 3. Arterienpaar, und über- trifft jene an Grösse in höchst auffallender Weise. Der erste Kiemenbogen ist blattlos, nicht respirirend, und die an ihm verlaufende Schlagader somit un verästelt. Am oberen Ende des unteren Gelenkstückes des ersten Kiemenbogens angelangt, geht sie in die Athmungssäcke über, und verläuft an deren äusseren Wand in der Nähe ihres unteren Eandes. Ihre gröberen Verästlungen, welche sich mehr der äusseren, vom Kiemendeckel bedeck- ten Wand entlang erstrecken, sind nicht sehr zahlreich. Das Capillargefässnetz zu füllen, gelang nur an einem kleinen Bezirke in der Nähe des hinteren Endes des Sackes. Es stellt ein feines Maschennetz dar, mit weiten Interstitien, wie es der ganzen Rachenschleimhaut zukommt, und ganz unähnlich jenem einer Schlangenlunge, mit welcher Taylor die Säcke verglich. Mit diesen zu den Athmungssäcken ziehenden Gefässen, welche der ersten Kiemenarterie anderer Fische entsprechen, ist die Verästlung des Truncus brancliialis communis noch keines- wegs abgeschlossen. Jeder seiner beiden gabelförmigen Endäste schreitet über das untere Gelenkstück des ersten Kiemenbogens nach vorne, und gibt daselbst eine kleine Arterie ab (lit. h) , welche sich alsbald in zwei Zweige spaltet. Der vordere versorgt die Weichtheile zwischen dem grossen Zungenbeinhorn und dem ersten Kiemenbogen; — der liintere jene zwischen erstem und zweitem Kiemenbogen. Beide schicken unbedeutende Verlängerungen in die untere Wand des Athmungssackes. Hierauf gehen die noch immer sehr umfänglichen Fortsetzungen der beiden Theilungsäste (lit. 2) zum inneren unteren Ende der grossen Zungenbeinhörner, durch- bohren dasselbe von hinten nach vorne und von innen nach aussen, und spalten sieh am vor- deren Eande desselben in zwei fast gleichstarke Äste. Die Verzweigung- dieser Fortsetzungen an allen Weichtheilen in und auf dem Kopfe lässt mir ihnen den Namen Carotis geben. Der vordere Ast der Carotis (lit. h) verästelt sich zum Theil in den membranösen und musculösen Schichten, welche den Boden der Mundhöhle bilden, zwischen Unterkiefer und Zungenbein. Seine Verlängerung schlägt sich nach liinten und aussen um (lit. /, /), folgt eine Strecke lang der inneren Seite des Zungenbeinhornes, und zieht zwischen ihr und der seitlichen Rachen wand nach rück- und aufwärts, um zuletzt in das Anfangsstück des Athmungssackes überzugehen, an dessen äusserer Wand, nicht fern vom oberen Rande, sie sich verästelt. Bevor dieses Gefäss an den Athmungssack tritt, sendet es zum Gaumen einen bis zu den Gaumen- zähnen vordringenden Ast ab. — Der hintere, etwas stärkere x\st (lit. vi, m), steigt vor den Gelenken der sechs Kiemen- hautstrahlen am grossen Zungenbeinhorne hinauf, schickt in die Membrana branchiostega einen Nebenzweig , welcher sieh in so viele Äste theilt, als Zwischenräume zwischen den Kiemen- hautstrahlen existiren. und einen zweiten zum Integument des Scheitels, der sich bis in die 6» 44 Joseph Hyrtl. Nackeno-eo-encl ausbreitet, durehbolirt hierauf das obere Stück des Kaefersuspensoriums vor der Befestio-uno- des Os styloideum an dem Os temporale , und gelangt an die äussere Oberfläche des Kopfes, wo er theils die mächtigen Kaumuskeln, theils die Umgebungen des Augapfels ver- sorgt, theils auf dem Rücken der Schnauze bis zu den Nasengruben hin sich subcutan verästelt. Ein Zweifchen dieses Astes dringt in den Basilartheil des Keilbeines ein, anastomosirt mit einem o-leichen Zweige der anderen Seite (dem vorderen Bogen des Circulus cephaliciis der übrigen Knochenfische analog), versorgt Gehirn und Auge , und geht auch eine Verbindung mit der aus der Arteria spinalis impar entsprungenen Arteria profunda cerebri ein. Diese Verhältnisse blieben Taylor unbekannt. Er liess das Ende der Hauj)t- Kiemenarterie sich nur in den Athmungssäcken auflösen. Vergleicht man die Kopfverästlungen des Kiemen-Arterienstammes von Ampliipnous mit den arteriellen Gefässverästkmgen am Kopfe anderer Fische , so stimmen erstere theils mit o-ewissen, aus dem Kopfkreise der Knochenfische entspringenden Arterien, theils mit venti-alen Verzweigungen der Kiemenvenen überein. Ich habe schon vor langer Zeit eines ringförmigen Gelasses Erwähnung gethan^), welches, an der Basis des Fischsehädels gelegen, eine hintere grössere und frei unter der Rachenschleimhaut befindliche, und eine vordere kleinere, in einer Höhle des Keilbeinkörpers eingeschlossene Hälfte zeigt. In dieses Einggefass entleeren sich die Kiemenvenen, und aus ihm entspringen die Kopf- und Stammarterien. Unter den Kopfarterien habe ich die grösste als hintere Carotis beschrieben"). Sie ist paarig, geht am Keilbein nach vorne, tritt in einen Canal am hinteren Rande des Os tym- jyanicum, und durch diesen zum Praeopercidum. Von da sehlägt sie die Richtung zum Griffel- knochen ein, nachdem sie Zweige zur Nebenkieme, zur Schleimhaut des Rachens und zur Musculatur am Kiefersuspensorium entsendete. Die Endverzweigungen gehören den häutigen Überzügen der Kiemendeckel, der Musculatur des Untei-kiefers , dem Gaumen und der Haut des vorderen Gesichtstheiles an. So verhält es sich bei Gadus, Silur us , Lucioperca, Cyprinus, Salmo u. m. a. Knochenfischen. Die ventrale Verästlung der ersten Kiemenvene betriffst bei Salmo liuclio und Acipenser sturio ein Gefäss^), welches, nachdem es am unteren Ende des ersten Kiemenbogens anlangte, Zweige zur Musculatur der Kiemen und des Bodens der Mundhöhle sendet, zur inneren Fläche des Zungenbeines geht, an jeden Radius branchiostegus einen Ast abschickt, und sich zuletzt in der Nebenkieme verästelt. Die Wiederholungen dieser beiden Gefässarten sind nun bei Ampliipnous auf die Arteria hranchialis übertragen, was um so leichter gescliehen konnte, als die Kiemenarterie, wie gleich gezeigt wird, nicht venöses Blut führt, wie bei den übrigen Fischen, sondern gemischtes. Da dem geschilderten Sachverhalte zufolge der Kiemenarterienstamm alle "Weichtheile des Kopfes (Musculatur des Unterkiefers und der Kiemenbogen, Mundhöhle, Kiemendeckel, Scheitel und Nacken, Gehirn, Auge und Schnauze) mit Blut versorgt, so ist schon hieraus zu entnehmen, dass das Herz nicht blos venöses Blut zugeführt erhalten kann, sondern, wie bei den Amphibien und den Dipnoi, arterielles Blut, Avelches aus den Athmungsorganen nicht zur Aorta, sondern zu einer Körpervene geleitet wird, aufnehmen muss. Taylor liess alles arterielle ') Beobachtungen aus dem Gebiete der vergl. Gefiisslehre. Österr. med. Jahrbücher. Neueste Folge, 15. Bd., I. Stück, pag. 70. ä) A. 0. O. 1. Stück, i,ag. 88. 3) A. 0. 0. p. 213. über den Amphibicnkreislauf von Amphipnotts vnd Monopterus. 45 Blut der Athmungssäcke nur in die Aorta gelangen. Dieses ist nicht der Fall. Teh finde aus der inneren, an die Wirbelsäule anliegenden Fläche eines jeden Athmungssackes eine Vene abgehen, welche ihrer bedeutenden Stärke wegen nicht für eine Vena hroncliialis gehalten werden kann. Sie ergiesst sieh nach kurzem Verlauf nach ein- und rückwärts in die Venajuqu- /aris ihrer Seite. Ihre ansehnlichen Verzweigungen auf der Innenfläche des Athmungssackes, welche für eine blosse Bronchialvene etwas ganz Unerhörtes wären, stellen sie mit einer gewöhnliehen Kiemenvene in eine Parallele, und es kann von Niemanden, der die Präparate und die beigegebene Abbildung eines näheren Blickes würdigt, bezweifelt werden, dass es sich hier um ganz ähnliche Verhältnisse handelt, wie bei den Amphibien, deren Herz ein venös-arteri- elles ist. — Die Venen des zweiten und dritten Kicmenbogcns ergiessen sich gleichfalls in die Vena jugularis ^ nicht in die Aorta, welche letztere, wie bei allen Amphibien, nur durch die Aortenbogen construirt wird. Die Verästlung der Aorta bietet keine besonderen Abweichungen von dem Typus der Aale dar. Nur verdient erwähnt zu werden , dass die mächtige Arteria coeliaca (lit. p) gleich hinter dem Zusammenflusse der beiden Aortenbogen, von der rechten Seite der Aorta abgeht, und dicht an ihr und mit ihr parallel bis zum 22. Wirbel, ohne Aste abzugeben, verläuft, und sich dann erst von ihr entfernt, um an die rechte Seite des Magens zu treten. Unmittelbar an der xVbgangsstelle der Coeliaca entspringen noch aus dem rechten Eande der Aorta zwei Ge- fässstämmchen (Jit. q), von denen das eine die untere Wand der Aorta umgreift, um auf die linke Seite zu kommen, wo es in die Subclavia und Vertebralis zerfällt, wie das auf der rechten Seite bleibende in die Subclavia und Vertebralis dextra. Die Subclavia ist, des Mangels der Brustflossen und ihrer Muskeln wegen, äusserst schwach. Die Vertehralis erscheint etwas stär- ker, und war nur bis zum zweiten Halswirbel zu verfolgen, wo sie in den Eückgratcanal ein- drang, um an der unteren Fläche der Medulla sjnjialis in ein unpaares Gefäss einzumünden, welches sich in die Schädelhöhle fortsetzte, und daselbst in zwei Aste zerfiel, welche als Arte- riae jprqfundae cerebri sich verzweigten. IL MONOPTERUS JAVANICUS C. V. Diese dem Amphipnous nahe stehende Gattung besitzt keine Athmungssäcke. Es muss desshalb um so auffallender erscheinen, dass der Hauptstamm der Kiemenarterie dieselben Theile des Kopfes wie bei Amjjhij^nous und dazu noch die Speiseröhre mit Blut versorgt. J. Müller') entdeckte die aus dem Kiemen-Arterienstamme längs des vierten, angewachsenen, d. i. mit dem Schultergürtel, ohne Zwischenspalte, durch Musculatur verbundenen kiemeulosen Kiemenbogens abgehenden Aortenbogen. Ich sehe an zwei injicirten Exemplaren, dass sie sich zur Aorta nicht so weit rückwärts verbinden, wie bei Amj^Jiipnoiis , sondern schon am siebenten Wirbel. Sie sind nicht gleich stark. Der linke übertrifft den rechten gut um das Dreifache. Während sie den Schlund umgreifen, geben sie schon kleine Aste (der linke selbst einen grösseren) in die Muskelschichte ab, welche den vierten Kiemenbogen mit dem Schul- tergürtel verbindet. Jenseits der Aortenbogen fand ich folgende Anordnung der Verästlung des Truncus brancliialis communis. Es folgt zunächst das Arterienpaar für die dritten Kiemen- ^) Vergleichende Anatomie der Myxinuiden, Gefüsssystem, pag. 27. 46 Jose'pli Myrtl. bogen. Aus jedem Seitenaste dieses Paares entspringt, bevor er die für ihn bestimmten Kiemen- boo-en erreicht, eine nicht unansehnliche Schlagader, welche gerade nach hinten läuft, sich mit dem Anfangsstück des Aortenbogens kreuzt, und, mit jenem der andern Seite jjarallel, an der unteren Wand des Oesophagus hinzieht, und bis in die Nähe des Magens sich verfolgen liess. — Während die dritte Kiemenarterie an ihrem Bogen verläuft, gibt sie nur äusserst feine und unbedeutende Ästchen an die diesen Bogen umhüllende Schleimhautdecke, welche ungefranst (ohne Iviemenblättcheu) erscheint, und sich am convexen so wäe am concaven Rande des Kie- menbogens in eine scharfrandige härtliche Falte erhebt, ähnlich jener, welche bei Amphipnous den dritten Kiemenbogen überzieht. Am oberen Ende des dritten Kiemenbogens angelangt, setzt sich die Arterie in die obere Wand des Schlundes fort. Sie ist, wie jene des zweiten Kie- menbogens, sehrschwach. Letztere verhält sich in ihrem Verlaufe genau so; nur gibt sie keinen Ast zum Oesophagus, dagegen aber 24 kammförmig gestellte, fast eapillare Zweigchen in die fadenförmigen, kurzen und spärlichen Kiemenblättchen, welche auf dem mittlem Drittel dieses Kiemenbogens aufsitzen. — Das Arterienpaar für den ersten Kiemenbogen ist das stärkste, da es, nebst dem Kiemenbogen auch die Weich theile des Kopfes zu ernähren hat. Jeder Seitenast dieses Paares zerfällt nämlich in zwei Zweio-e. Der eine davon ist die erste Kiemen- arterie, welche sich wie die zweite verhält, d. h. ärmliche Kiemenblättchen und zuletzt die obere Schlundwand versorgt. Der andere beschreibt in seinem Laufe nach vorne einen nach innen concaven Bogen, durchbohrt das imtere Ende des Zungenbeinhornes und verästelt sich, wie bei Amphipnous , im Boden der Mundhöhle, in der Zunge (wo die rechte und linke Zuu- genarterie am hinteren Ende des Os entoglossum bogenförmig anastomosireu) , im Gaumen, Ilacheneingang, Kiemendeckelgerüste, im Gehirn und Auge, und in den äusseren Weichth eilen des Schädels, somit am ganzen Kopfe. Da nun, ausser den höchst unvollkommenen Kiemen, bei Monopterus kein besonderes Athmungsorgan, welches oxydirtes Blut zumlierzen schicken könnte, vorkommt, so ist es kaum einzusehen , woher der Truncus hranchialis communis arterielles Blut erhält. Rein venös kann das Herzblut nicht sein, weil sonst die Kopfverästlungen des Kiemen- Arterienstammes etwas ganz Widersinniges wären. Die Jugularvenen verhalten sich an Grösse wie jene bei Amjjhip- nous. Sie nehmen nebst den Venen des ersten, zweiten und dritten Kiemenbogens , welche höchst unansehnlich sind, noch sehr stattliche Schlund- und Mundhöhlenvenen auf, und es bleibt nichts anderes übrig, als sieh zu denken, dass die Capillargefässe der Mund- und Schlundschleimhaut, vielleicht auch jene der äusseren Kopfhaut, den Herd eines respiratori- schen Vorganges bilden, welcher ja überall vorkommen kann, wo Capillargefässnetze mit atmosphärischer Luft in Wechselwirkung treten. Ist doch der respiratorische Sack der Cuclim auch nur ein Diverticulum des Rachens. Nur auf diese Weise käme arterielles Blut in den Strom der Kopfvenen, und die beschriebenen Ramificationen der Kiemenarterien extra hraii- chias verlieren dadurch ihr Paradoxes. Wenn man die aus dem ersten, zweiten und dritten Kie- menbogen,zu den Jugularvenen gehenden kleinen Kiemenvenen mit der Grösse des Thieres vergleicht, so erseheint es fast unmöglich, dass die durch diese Venen gelieferte, höchst geringe arterielle Blutmenge dem Ernährungsbedürfnisse des Thieres genüge. Da aber kein anderes Respirationsorgan in Bereitschaft gehalten wird, um die Kiemenathmung zu unterstützen, so nahm ich keinen Anstand, den Monopterus für den am unvollständigsten athmenden Fisch zu halten. Bei den verwandten Synbranchus (S. immaculatus^ S. marmoratus , und S. unicolor) habe ich kein ähnliches Verhalten der Kiomenarterien bemerkt. Letztere verästeln sich blos Vbcr den Am2'>hibienkreislmif von Amplupnous und Monopterus. 47 in den Kiemen, und es steht somit Amjjh/pnous, und nocli melir Monoptcrn.s, in der erwähnten Hinsicht gegen alle übrigen Fische ganz exceptionell da. Die Gattung Alabes, welche gleich- falls 7Ai den Löcheraalen gehört, habe ich nicht untersucht. Dass übrigens die Mund- und Eachenschleimhaut bei Fischen respiriren kann, wird da- durch bewiesen, dass bei den mit accessorischen Kiemenorganen versehenen Siluroiden (Ile- ferobranclius, Saccobranchus)^ vom Hauptstamme der Kiemenarterie ausnahmslos Zweige zur Wand der Kiemenhöhle, zur inneren Oberfläche des Kiemendeekels, und zur Schleimhaut des Eachens und des Gaumens gelangen. Die Mundhöhlenrespiration kann unter den Amphibien auch bei unseren Tritonen gut beobachtet werden. Ich wüsste nicht, welchen anderen Zweck jene ununtei'brochenen Bewegungen des Mundhöhlenbodens (selbst des Unterkiefers) haben sollten, welche man bei diesen Thieren, während sie ruhig am Boden eines mit Wasser gefüll- ten Gefässes liegen, bemerkt, und durch welche in gleichförmigem Wechsel Wasser in die ^lundhöhle eingesogen und wieder ausgestossen wird. — Die bei Monopterus aus dem Aorten- anfang abgehenden Aste sind dieselben wie bei Ampkipnous : eine Coeliaca, zwei Ve7'tebrales und zwei Subclaviae. Die Aorta selbst wird nur durch die beiden Aortenbogen gebildet. Ich bemerke noch schliesslich, dass an den beiden Fischen die Injection der Kiemen- arterien und des Aortensystems mit verschieden gefärbten Massen vorgenommen wurde, und dass die betreffenden Präparate, welche den Stoff zur vorliegenden Abhandlung lieferten, in meinem ichthyologischen Museum zur Einsicht und Prüfung aufgestellt wurden. 48 Joseph liyrtl. Über den Amphibienkreislauf von Amphipnous und Monopterus. ERKLÄRUNG DER ABBILDUNGEN. Fig. 1. Zungenbein-Kiemengerüste von Amphipnoiis Cuch/'a. von oben gesehen, und zweimal vergrössert. a. Os etitOfflossum. b. Grosses Zungenbeinhorn, mit der vorderen, zugleich oberen Mündung jenes Canals, ilurch welchen die Fortsetzung der Kiemenschlagader passirt. c. Os styloideum. d. Vordere Copula, mit dem Os enioglosaum verwachsen. e. e. Zweigliederiger erster Kiemenbogen. /', /. Dreigliederiger zweiter Kiemenbogen. g, g. Dritter dreigliederiger Kiemenbogen, mit y als dessen unteres Gelcnkstück. ti. Vierter zweigliederiger Kiemenbogen. i. Os pharyngeum inferius. k. Os jiharyngeum svperius. l, l. Bandstreifen, welcher die Copula vertritt. Das Zungenbein mit dem ersten Kiemenbogen erscheint stark nach vorn gezogen. Fig. 2. Veriistlung des Tnincus Jiranchialis comrintm's, von der Kehle aus gesehen, und zweimal vergrössert. Man unterscheidet genau alle in Fig. 1 angegebenen Bestandtheile des Zungenbein - Kiemengerüstes, und überdies das bei der oberen Ansicht nicht sichtbar gewesene herzförmige Urohyal (Zungenbeinkiel) lit x. a. Triincus branchialis communis. l. Aortenbogen. c. Dritte Kiemenarterie. d. Deren Ast in die untere Schlundwand. e. Deren Übertritt in die obere Schlundwand. /. Zweite Kiemenarterie, mit ähnlicher ventraler und dorsaler Veriistlung. g. Analogen der ersten Kiemenarterie, als Hauptschlagader des Athmungssackes, hervorgegangen aus dem Theilungsaste des Trimcus Iranchialis communis. Ii. Ast zu den Weiohtheilen zwischen Zungenbein und ersten Kiemenbogen, so wie zwischen ersten und zweiten Kiemenbogen. i. Die als Carotis bezeichnete Fortsetzung der beiden Spaltungsäste des Truncus hranckialis communis bei ihrem Eintritte in den Canal des inneren Endes des grossen Zungenbeinhorncs. k. Vorderer Ast der Carotis. /, /. Dessen nach hinten und aussen umgebogener Zweig, welcher vom Zungenbein zum Theile bedeckt (und an dieser Stelle durch eine punktirte Linie angedeutet), zuletzt zum Athmungssaok gelangt. m, m. Hinterer Ast der Carotis. «, n. Punktirte Linie, welche dem Unterkiefer entspricht. 0. 0. Contour der Athmungssäcke. p. Arteria coeiiaca. q. Beide SuMaviae, auf der rechten Seite der Aorta entspringend. Ilvril. l'i'lii'r ilcii Aiii|ilMlMrii Kn-isLiiil' von .\im|iIii|iihmi.s und .\I(inii|ilcrHS J^.ff.^. Litliu-^eiid.k.kHof-u. Staaisdructerei. üeilksclirirtrii ilrr K Akiul il WissfMisrh iii.ilhciii rt.iliirw ( lAIVIJd IJIJ?. 49 ÜBER DIE NERYATION DER BOMBACEEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER m DER VOEWELTLICHEN FLOEA EEPEÄSENTIETEN AETEN DIESEE FAMILIE. Von PROF. I)r CONSTANTIN kitter v ettingshausen, CORREtiP. MITGLIEDE DEK KÄISERUOHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN- VORGELEGT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCU-NATÜEWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 8. JÄNNER. 1857. Jjei der Untersuchung von Pflanzenfossilien aus mehreren Braunkohlenlagern Österreichs und deren Vergleichung mit den entsprechenden Pflanzenformen der gegenwärtigen Flora der Welt fand ich Blattreste, welche in allen Beziehungen, insbesondere der Nervation nach mit Fieder- blättchen der Bombaceen übereinstimmen. Die Blätter der meisten Arten dieser vorzugsweise in den tropischen Florengebieten Asien's, Afrika's und Amerika's vertretenen Familie sind band- förmig zusammengesetzt; einige, wie z. B. die Chorisia-, Adansonia- Blätter u. a. zeigen viele Ähnlichkeit mit denen der Hippocastanum-Arten. Die Fiederblättchen dieser Arten lösen sich sehr leicht von ihren Stielen ab , ein Umstand , welcher , falls analoge Bombaceen - Arten zur Tertiärzeit in unseren Gegenden wuchsen, für die mögliche vollkommenere Erhaltung ihrer Blatt- abfälle in den Gesteinsschichten der Tertiärformation spricht. Eine Aufgabe der vorliegenden Abhandlung ist es nun, die aufgefundenen Analogien aus der Familie der Bombaceen mit vorweltlichen Pflanzenformen anzugeben. Zugleich liefert dieselbe einen Beitrag zur Kenntniss der Nervation der blattartigen Organe dieser Familie, deren Gefässskelete durch den Naturselbstdruck zur Anschauung gebracht werden. Da ich die erwähnten , zu verschiedenen tertiären Localfloren gehörenden Fossilien in besonderen Schriften bekannt zu machen und ausführlich zu besprechen beabsichtige , wobei auf die bereits festgestellten Nervationsverhältnisse der analogen jetzt lebenden Arten stets hingewiesen werden soll, so unterliess ich es , in dieser Abhandlung, welche nur als eine Vor- arbeit zur Bestimmung und Erklärung der vorweltlichen Pflanzenreste zu betrachten ist, weit- läufiger einzugehen. Denkschriften der matliein.-uaturw. Cl. XTV. Bd. ' 50 Constantiri v. Etting shaiise )i. Analytische Übersicht der typischen Arten. 1. Nervation mit einem einzigen Primärnerv. 2. — Nervation mit mehreren Primärnerven. 12. 2. Nervation randläufig. Mittlere Distanz der Secundärnerven '/g — y^. Ursprungswinkel der untersten Nerven 75 — 85», die der mittlem und obern 65- — 75». Hoheria popubiea. — Nervation schlingläufig. 3. — Nervation netzläufig. 8. — Nervation bogenläufig. 9. 3. Die untersten Secundärnerven unter auffallend spitzeren Winkeln entspringend als die übrigen. Mittlere Distanz derselben 1/5 — '/i. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 7 — 8 axenständige und 7 — 9 seiten- ständige Tertiärnerven. Sterculia inops. — Die untersten Secundärnerven entspringen nicht unter auffallend spitzeren Winkeln als die übrigen. Mittlere Distanz derselben kleiner als '/j. 4. 4. Die Secundärnerven nehmen gegen die Basis des Blattes zu allmählich an Grösse ab. 5. — Die Secundärnerven nehmen gegen die Basis zu nicht allmählich an Grösse ab. Die untersten sind nur unbedeutend kleiner als die übrigen und fast grundständig. Abgangswinkel derselben 50 — 60». Sterculia longifoiia. 5. Mittlere Distanz der Secundärnerven '/,3 — '/,,. Tertiärnerven verbindend, unter spitzen Winkeln entspringend. Bombax sp. Guatemala. — Mittlere Distanz der Secundärnerven grösser; Tertiärnerven nicht verbindend, netzläufig. 6. 6. Die Feinheit der quinternären Nerven erreicht 0-0005". Ursprungswinkel der Secundärnerven 75 — 85». Inhalt eines mittleren Secundärsegments 4 — 6 axenständige und 7 — 9 seitenständige Tertiärnerven. Pachira macrocarpa. — Die (|uinternären Nerven beträchtlich stärker. Ursprungswinkel der Secundärnerven meist spitzer. 7. 7. Mittlere Distanz der Secundärnerven % — %. Tertiärnerven unter rechtem Winkel entspringend. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 5 — 7 axenständige und 6 — -8 seitenständige Tertiärnerven. Bombax ßoribundum. — Mittlere Distanz der Secundärnerven </,o — 'A- Tertiärnerven unter spitzen Winkeln entspringend. Eriodendron sp. americ. — Mittlere Distanz der Secundärnerven % — %• Tertiärnerven unter rechtem Winkel entspringend. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 3 — 5 axenständige und 8 — 10 seitenständige Tertiärnerven. Bombax trifoliatum,. 8. Abscisse vom Secundärbogen = y^ der Länge des Primärnervs. Mittlere Distanz der Secundärnerven Vi 4 — •'/i«) Ursprungswinkel derselben 60 — 70». Bombax glaucescens. — Abscisse vom Secundärbogen = ^/^ — '/g der Länge des Primärnervs. Mittlere Distanz der Secundärnerven Vu — Vis! Ursprungswinkel derselben 75 — 90». Bombax Erianthos. — Abscisse vom Secundärbogen = y, — y^. Mittlere Distanz der Secundärnerven y^^ — y,;. Chofisia specioi<(i. 9. Die untersten Secundärnerven unter auffallend spitzeren Winkeln entspringend als die übrigen, fast strahlläufig angeordnet, mit hervortretenden Aussennerven versehen. Mittlere Distanz der Secundär- nerven '/c— 'A- Heritiera marropkylla. f. V. E«irig;slianseii. (iber die Ncrvation der Bumbaceen I Fig. ■>. Fig. 3. FiB- !■ l'aciiira 'ra macrocarpa. Bomhax gvandijlorum. Iluheria poptilnea. A n m e r k u n g. Die auf dieser Tabelle dargestellten Blätter sind von der oberen Blattfläche abgeprägt. Da das Blattnetz auf dieser Fläche weniger hervortritt, so musste beim Einprägen ein grösserer Druck ange- wendet werden, wesshalb die Blattstiele und die stärkeren Nerven etwas breitgedrückt erscheinen. Deiiksthrifteii der niatliem.-natiirw, C'l. XIV. H(l. 50 1. ^ 2. IS Is — N 3. E E st — E Ä 4. I i-i u 5. ^ e — IV 6. E I - E 7. I^ e — 1 e 8. A 1 — i» — / 9. I s n über die Nenmtion der Bombaceen. 51 --- Die untersten Secundärncrven entspringen nicht unter auftallcnd spitzeren Winkeln als die übrigen. Hervortretende Ausseunervcn derselben fehlend. 10. lü. Abgangswinkel der untersten Secundärncrven 90". Tertiärnerven netzläufig, unter spitzen Winkeln entspringend. Saimah'a insignin. — Abgangswinkcl der untersten Secundärncrven spitzer. Tertiärnerven verbindend. 11. II. Tcrtiäruerven unter spitzen Winkeln entspringend, meist querläufig. Mittlere Distanz der Secundär- ncrven '/,3 — '/,a; Ursprungswinkel derselben 65 — 80". Tiomhctx {jrandiflorUTn. — Tertiärnerven unter spitzen Winkeln entspringend, meist querläufig. Mittlere Distanz der Secundärncrven y,7 — '/,5; Ursprungswinkel derselben 50 — 60». Bombax ferrugineum. — Tertiärnerven unter stumpfen Winkeln entspringend, die untern längsläufig. Bombax Cimimingii. VI. Meist 3 Primärnerven; Ursprungswinkcl der Secundärncrven 50 — 65", mittlere Distanz derselben '/«— y.o- Stercidia hetero'phyUa. — Zahl der Primärnerven 5 — 7; Ursprungswinkel der Secundärncrven 40 — 50", mittlere Distanz derselben Helicteres guazumaefolia. Beschreibung der Nervation der Blätter. Bombax glaucescens Sw. Taf. II, Fig. 1 ; Tal'. IV, Fig. 2. B^.^silien. Nervation netzläutig, Typus von Salix fragüia. Priniärnerv gerade bis zur Spitze liervnr- tretend. Secundärnerven unter Winkeln von 60 — 70" entspringend, bogig, am Ende geschlän- gelt. Sinus des Bogens eines mittleren Nervs über V^ der Länge des Primärnervs abschneidend; mittlere Distanz der Secundärnerven 7^ — V,o. Seitenständige Tertiärnerven, unter spitzen Winkeln abgehend, genähert, hervortretend, meist querläufig; quaternäre Nerven unter rechtem Winkel abgehend, ein deutlich hervortretendes, aus im Umrisse rundlichen Maschen zusammengesetztes Netz darstellend, welches ein sehr feines, aber noch scharf hervortretendes (juinternäres Netz einschliesst. Inhalt eines mittleren, sichelförmig gekrümmten Secundärsegmentes 4 — 5 axenständige, meist unter Winkeln von 80 bis 90" entspringende Tertiärnerven, von denen 1 bis 2 auffallend verlängert, in Secundärnerven überzugehen scheinen, ferner 8 bis 10 meist verbindende seiten- ständige Nerven. Tertiärsegment länglich, 4 bis 5 Maschen, eine Tertiärmasche eben so viele' quaternäre, eine solche 5 bis 7 quintcruäre Maschen einschliesscnd. Die Blättchen dieser Bombacee sind mit einigen blattartigen Fossilien der Tertiärforma- tion zu vergleichen, welche sich im Wienerbecken bei Laa und in den Schichten von Sotzka und Radoboj vorfanden. Mit Blättern von Prunus darf man dieselben wohl nicht verwechseln. 52 Constantin ?'. EttingsJiausen. Bombax Erianthos Schott. Taf. IV, Fig. 3—5. Brasilien. Nervation netzläufig, Typus Yon Salix fragilü. Primärnerv gerade, bis zur Spitze hervor- tretend. Seeundärnerven unter Winkeln von 75 — 90" entspringend, etwas bogig, am Ende kaum geschlängelt. Sinus des Bogens eines mittleren Secundärnervs nur Yg — y, der Länge des Primärnervs abschneidend, mittlere Distanz derselben ^i^ — y^,. Axenständige Tertiär- nerven unter Winkeln von 80 — 90", seitenständige unter mehr spitzen Winkeln abgehend, meist verbindend, querläufig, ein feines, aus querovalen Maschen zusammengesetztes Netz bil- dend. Quaternäre Nerven zahlreich, Maschen des Netzes derselben von der Form der tertiären, ein sehr feines quinternäres umschliessend. Inhalt eines mittleren, sehwach bogig gekrümmten Seeundärsegmentes 6 — 7 axenständige, 4 — 5 verbindende und jederseits 7 — 10 netzläufige seitenständige Tertiärnerven. Tertiärsegment länglich, 4 bis 6 Maschen; eine Tertiärmasehe 7 — 9 quaternäre und letztere beiläufig eben so viele quiuternäre Maschen enthaltend. Ein in den Schichten von Sagor vorkommende Blattform zeigt mit den Blättchen dieser Bombax-Art in Form und Nervation viele Übereinstimmung. Bombax floribundum Schott. Taf. V, Fig. 1 ; Taf. VI, Fig. 7. Brasilien. Nervation schlingläufig, Typus von Prunus Padus. Primärnerv bis zur Spitze sehr stark hervortretend. Seeundärnerven unter Winkeln von 65 — 75" entspringend, wenig bogig oder etwas geschlängelt, in der mittleren Distanz '/g- — '/g. Schiingensegmente länglich, stumpf, nur die mittleren noch einmal so lang als breit; die oberen and unteren kürzer. Schlingenbogen, ziemlich stark gekrümmt, dem Rande bis auf V" genähert, ohne hervortretende Aussenschlin- gen; schlingenbildende Aste unter rechtem Winkel divergirend, Winkel der Schlingenaxen mit dem Primärnerv nahezu alle gleich. Tertiärnerven unter rechtem Winkel oder unter wenig spitzen entspringend meist netzläufig', nur die dem Schlingenbogen zu liegenden verbindend, ein lockeres, wenig hervortretendes, aus rundlichen Masehen zusammengesetztes Netz bildend, das von dem Netze der quaternären Nerven kaum scharf geschieden erscheint. Quiuternäre Nerven unvollkommen entwickelt. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 5 — 7 unter Winkeln von SO — 90° entsprin- gende axenständige Tertiärnerven, von denen 1 — 2 auffallend länger sind, und den Über- gang zu Seeundärnerven bilden ; ferner jederseits 6 — 8 seitenständige Tertiärnerven. Tertiär- und Quaternär-Segmente rundlicli. In den Abgangswinkeln der Seeundärnerven, der mittleren Distanz derselben, den Win- keln der Tertiärnerven, der Form der Schlingenbogen und der unvollkommenen Entwickelung des quaternären Netzes stimmt mit Bomhax floribundum eine mexicanische Art Taf VI, Fig. 4 überein, deren Tertiärnetz nur noch weniger hervortritt als bei erstgenannter Art , und welche sich durch die grössere Zahl der in einem Secundärsegmente enthaltenen Tertiärnerven, sowie durch mehr bogige Seeundärnerven von derselben unterscheidet. über die Nei-vation der Bombaceen. 53 Mit den Blättchen von Bomhax floribundum zeigen einige Blattfossilien der Tertiärforma- tion, worunter ich besonders, die bisher mit Terviinalia verglichenen, z. B. Terminedia mioce- nica der Flora von Radoboj hervorhebe, sowohl in der Form als Nervation die grösste Ähnlich- keit. Erwägt man überdies, dass die leicht abfälligen Blättchen der genannten Bombax-Art von auffallend derber, lederartiger Textur sind, eine Eigenschaft, welche auch z. B. die fossile Terminalia miocenica ganz deutlich verräth, wälu-end die Blätter der meisten Terminalien eine viel zartere Textur zeigen, so wird man wohl zur Ansicht geführt, dass diese Blattfossilien als Blättchen von Bombax zu bestimmen seien. Bomhax sp. 519. Friedrichsthal. Taf. IV, Fig. 1. Gnateiuala. Nervation schlingläufig, Typus eigenthümlich. Primärnerv gerade, bis zur Spitze mächtig hervortretend. Secundärnerven unter Winkeln von 65 — 75° entspringend, etwas bogig. Mitt- lere Distanz derselben '/i» — '/„. Schiingensegmente länglich, stumpf, schwach gekrümmt, die mittleren meist länger als das Doppelte der Breite beträgt, die oberen und unteren in der Kegel noch einmal so lang als breit. Schlingenbogen stark gekrümmt, mit einigen hervortre- tenden Aussenschlingen umgeben ; schlingenbildende Aste, meist unter spitzen Winkeln divergi- rend. Winkel der Sehlingenaxen mit dem Primärnerv nahezu gleich. Die seitenständigen Tertiärnerven unter spitzen Winkeln abgehend, theils netzläufig, theils verbindend, ein ziem- lich hervortretendes, aus im Umrisse rundlichen Maschen zusammengesetztes lockeres Netz bildend. Quaternäres Netz reichlieh entwickelt, vorwiegend aus querovalen Maschen beste- hend, ein sehr feines aber scharf ausgeprägtes, vollkommen ausgebildetes, rundmaschiges Quinternär-Netz umschliessend. Inhalt eines mittleren Secundärsegments : 3 — 5 grössere und 8 — 12 kleinere axenständige Tertiärnerven, alle unter nahezu rechtem Winkel entsprin- gend, ferner jederseits 5 — 8 grössere und beiläufig 15 — 20 kleinere seitenständige Tertiär- nerven. Tertiärsegmente von verschiedener Grösse und Form. Auf Taf. II ist in Fig. 3 ein Blättchen einer anderen von Friedrichsthal in C4uatemala gesammelten Bombax-Art dargestellt, welche im Typus der Nervation mit der beschriebenen übereinstimmt. Sehr ähnliche Blattformen zeigt die fossile Flora von Eadoboj in Croatien. Bonthax trifoliatntn Cav. Taf. V, Fig. 3. Brasilien. Nervation sehlingläufig, Typus von Prunus Padus. Primärnerv sehr mächtig, gegen die Spitze zu kaum beträchtlich verschmälert, an derselben selbst wie abgebrochen endigend. Secundärnerven unter Winkeln von 65 — 75" entspringend, wenig bogig; mittlere Distanz derselben % — Yg. Schlingsegmente länglich, stumpf, die mittleren noch einmal so lang als breit oder länger, die imteren und oberen kürzer. Schlingenbogen wenig bogig, dem Rande fast parallel und bis auf "/j"' genähert, ohne hervortretende Aussenschlingen. Schlingenbildende Äste unter stumpfen Winkeln divergirend. Winkel der unteren Schlingaxen etwas spitzer als 54 Constantin v. Etting sliausen. die der mittleren und oberen. Tertiärnerven unter rechtem Winkel entspringend, fein und wenio- hervortretend, durchaus netzläufig, ein feines, aus im Umrisse rundlichen Maschen beste- hendes Netz erzeugend, das von dem Verhältnis smässig schärfer hervortretenden quaternären Netze wenig deutlich geschieden erscheint. Ein mittleres Secundärsegment enthält 3 — 5 axenständige und jederseits 8 — 10 seiten- ständio-e Tertiärnerven. Tertiärsegmente rundlich nur vs^enige Quaternär -Maschen einschliessend. Eine analoge Art kommt in der Flora von Eadoboj vor. Bomhax gvantUflorum Cav. Taf. II, Fig. 4. Brasilien. Nervation bogenläufig, Typus eigenthümlich. Primärnerv stark hervortretend, gegen die Spitze zu nur wenig verschmälert. Seeundärnerven unter "Winkeln von 65 — 80" entspringend, scharf hervortretend. Sinus des Bogens eines mittleren Secundärnervs '/g — \4 der Länge des Primärnervs abschneidend. Mittlere Distanz der Seeundärnerven Yig — Yj,. Axenständige Ter- tiärnerven unter dem Winkel von 90°, seitenstäudige unter spitzen Winkeln abgehend; letztere meist verbindend, die obersten fast querläufig. Tertiärnetz scharf hervortretend, meist aus im Umrisse länglichen Maschen zusammengesetzt. Quaternäre Nerven von dem Tertiärnetz scharf geschieden, so wie die kaum dem unbewaffneten Auge erkennbaren quinternären ein aus rundlichen Maschen bestehendes Netz bildend. Ein mittleres Secundärsegment 7 — 9 axen- ständige, 6 — 7 verbindende und jederseits 12 — ^18 seitenständige Tertiärnerven enthaltend. Tertiärsegment 4 — 5 grössere und eben so viele kleinere Maschen, Quaternärsegment beiläufig 7 — 10 quinternäre Maschen einschliessend. Übereinstimmend mit der Nervation der oben bezeichneten Art sind die Blättchen einer noch unbestimmten amei'ikanischen Bombax-Art (Taf. II, Fig. 2) , weiche sich von derselben nur durch die verhältnissmässig grössere Distanz der Seeundärnerven, die Yi^ — Yg der Länge des Primärnervs beträgt, ferner die unter spitzeren Winkeln abgehenden Tertiärnerven unterscheidet. Endlich muss noch einer anderen Bombax-Art aus Brasilien (Taf. V, Fig. 7), Erwähnung geschehen, welche sich in der Nervation von beiden obigen Arten nur durch die spitzeren Abgangswinkel der auffallend feineren und fast querläufigen Tertiärnerven unterscheiden lässt. Ähnlichkeiten fanden sich in den fossilen Floren von Kadoboj und Sagor. Botnbax ferugineuni ('av. Taf. VI, Fig. 6. Brasilien. Nervation bogenläufig, Typus von Rhamnus Frangula. Primärnerv sehr stark hervortre- tend, gegen die Spitze zu zwar beträchtlich verschmälert, an derselben jedoch noch mächtig und wie abgebrochen endigend. Seeundärnerven sehr mächtig, unter Winkeln von 50 — 60" entspringend. Sinus des Secundärbogens Ys — Vi ^^^ Länge des Primärnervs abschneidend. Mittlere Distanz der Seeundärnerven Y- — Ys- Tertiärnerven scharf hervortretend, die axen- ständigen vorherrschend unter wenig spitzem oder unter rechtem Winkel, die seitenständigen unter ziemlich spitzen Winkeln abgehend, letztere meist verbindend, die oberen querläjifig. über die Nervalioii de?- Bomöaccoi. 55 Pas stark ausgeprägte Tertiärnetz aus im Umrisse ovalen oder längliclieu Masehen zusammen- gesetzt. Quaternäre Nerven vom Tertiärnetz scbarf geschieden, ein rundmasehiges Netz bildend. Quinternäre Nerven späi'licher entwickelt. Inhalt eines mittleren Secnndärsegments 7 — 8 axenständige und 15 — 20 verbindende seitenständige Tertiärnerven. Ein Tertiärsegment 12 — 17 quaternäre Masehen, eine Quaternär-Masche nur 4 — 5 quinternäre umfassend. Eine sehr ähnliche Nervation zeigt ein in der fossilen Flora von Radoboj selten vor- kommendes Blattfossil. Dasselbe lässt sieb nur noch mit Malpighiaceen- und Leguminosen- Hlättchen vergleichen. Bomhax CuminingU. Taf. V, Fig. 2. Philippinen-InscIn. Nervation bogenläufig, Typus eigenthümlich. Primärnerv gegen die Spitze zu allmählich, luiter derselben bis zur Dünne der Secundärnerven verfeinert. Secundärnerven unter Winkeln von 70 — 85" entspringend. Sinus eines ganzen Secundärbogens '/^ — 7^ der Länge des Primär- nervs abschneidend. Mittlere Distanz der Secundärnerven '/i^- — Vu- Tertiärnerven unter rechtem oder unter stumpfen Winkeln entspringend, sehr fein, wenig hervortretend, meist verbindend, die unteren fast längsläufig. Tertiärnetz locker, aus rundliehen und länglichen Maschen zusam- mengesetzt. Quaternäre Nerven vom Tertiärnetze wenig deutlich geschieden, die sehr feinen ein dem freien Auge noch wahrnehmbares, rundmasehiges Netz bildenden quinternären Nerven umschliessend. Ein mittleres Secundärsegment 5 — 6 axenständige und 7 — 9 verbindende Ter- tiärnerven enthaltend. Von den juglans-artigen Blattfossilien der Tertiärfloren dürften einige Formen zu den Bombaeeen gehören und mit der genannten Art zu vergleichen sein. • Salmalia insignis Schott et Endl. Taf. II. Fig. 5 ; Taf. III. Ost-Indien. Nervation bogenläufig. Typus von Bomhax grandiflorum. Primärnerv stark iiervortretend, gegen die Spitze zu nur wenig verschmälert. Secundärnerven mächtig, unter Winkeln von 70 — 80", die untersten unter 90° entspringend. Sinus eines mittleren Secundärbogens '/g — y^ der Länge des Primärnervs abschneidend. Mittlere Distanz der Secundärnerven y^., — Yg. Ter- tiärnerven stark hervortretend, die axenständigen unter nahe rechtem Winkel, die seitenstän- digen unter spitzen Winkeln entspringend, meist netzläufig, selten verbindend. Tertiärnetz scharf ausgeprägt , aus grossen, im Umrisse rundlichen Maschen bestehend, in das reichlieh entwickelte quaternäre Netz übergehend. Quinternäre Nerven zahlreich entwickelt, ein noch .scharf hervortretendes, rundmasehiges Netz erzeugend. Inhalt eines mittleren Secnndär- segments 5 — 6 axenständige und jederseits 12 — 15 hervortretende, scitenständige Tertiär- nerven. Mit dieser durch das scharf ausgeprägte Quinternärnetz und die unter rechtem Winkel abgehenden , grundständigen Basalnerven charakterisirten Form zeigt eine in der tertiären Flora von Radoboj vorkommende fossile Blattform viele Übereinstimmung. 56 Constantin von Ettingshausen. Pachira macrocarpa Cham, et Schlechte!. Taf. V, Fig. 4—6. Mexico. Nervation sehliugläufig , Typus eigentliümlich. Primärnerv mäclitig hervortretend, gegen die Spitze zu nur wenig verschmälert. Seeundärnerv unter Winkeln von 75 — 85° entspringend, wenig bogig oder fast gerade. Mittlere Distanz derselben Yj, — y^. Schiingensegment länglich, sehr stumpf, die Breite derselben übertrifft die Hälfte der Länge. Schlingenbogen wenig gekrümmt, dem Eande parallel laufend, von demselben bis auf l'/o'" entfernt, mit hervortre- tenden Aussenschlingen umgeben. Die Axen der untersten Schlingen bilden mit dem Primär- nerv stumpfere Winkel, als die der mittleren und oberen. Tertiärnerven fein aber scharf her- vortretend, die axenständigen unter dem Winkel von 90°, die seitenständigen unter ziemlich spitzen Winkeln entspringend , alle netzläufig. Tertiärnetz aus grossen rundlichen und quer- ovalen Maschen zusammengesetzt, ein sehr feines rundmaschiges , von demselben deutlich geschiedenes quaternäres Netz umschliessend. Quinternäres Netz äusserst fein, aus rund- lichen, dem unbewaffneten Auge kaum entdeckbaren Maschen bestehend. Inhalt eines mitt- leren Secundärsegments , 4 — 6 grössere und doppelt so viele kleinere axenstäudige, ferner jederseits 7 — 9 hervortretende und mehr als doj)pelt so viele feinere seitenständige Tertiär- nerven. Eine ähnliche Nervation zeigen auch die Blättchen einer amerikanischen Eriodendron- Art (Taf. VI, Fig. 5). Sie unterscheiden sich jedoch durch die mehr gekrümmten Secundär- segmente, die weniger scharf von dem Tertiärnetz geschiedenen quaternären und die spärlicher entwickelten quinternären Nerven. Mehr oder weniger in Form und Nervation mit der beschriebenen Pachira-Art überein- .stimmende Blattfossilicn finden sich in den Tertiärschichten vonPadoboj, Sotzka und Sagor vor. Sie wurden theils mit Ficus-, theils mit Malpighiaceen - Formen verwechselt. Es ist hier nicht der Ort, näher in die Begründung dieser Bestimmungen einzugehen; auch genügt schon die blosse Angabe der bezeichneten Analogie, da nun durch die beigegebenen Naturselbst- abdrücke Jedermann in die Lage versetzt ist, durch unmittelbare Anschauung und Vergleichung sein eigenes Urtheil hierüber zu fällen. ^ö^ Chofisia speciosa St. II iL Taf. I. Trop. Amerika. Nervation netzläufig. Typus von Salix frag als. Primärnerv von der Basis an bis zur Mitte stark hervortretend, gegen die Spitze zu allmählich verschmälert, unter derselben fast die Feinheit der Secundärnerven erreichend. Seeundärnerven etwas bogig und geschlängelt, unter Winkeln von 70 — 80" entspringend. Sinus eines mittleren Seeundärbogens y, — y« der Länge des Primärnervs abschneidend. Mittlere Distanz y^o — ^5. Tertiärnerven nur unbedeutend schwächer als die secundären hervortretend, die axenständigen unter nahezu rechtem Winkel, die seitenständigen unter spitzen Winkeln entspringend, letztere meist netzläufig, nur die oberen und äusseren hin und wieder verbindend und fast querläufig. Tertiärnetz aus zahlreichen, ziemlich gleichförmigen, meist querovalen Maschen zusannnengesetzt, ein reichlich entwickeltes, über die Nervation ihr Bombaceen. .') < aus nuulliclion Maschen gebildetes, von demselben zionilicli scliai-f abgeschiedenes (juater- näres Netz einsehliessend. Quinternäre Nerven spärlich entwickelt, oft abgebroclien und hakig umgebogen endigend, dem freien Auge nicht mehr wahrnehmbar. Inhalt eines mittleren Secun- därsegments 4 — 5 liervortretende und 5 — 7 feinere axenständige. forner jederseits 8 — 9 her- vortretende und beiläufig eben so viele feinere seitenständige 'rerriümerven. Auch mit dieser charakteristischen Blattforni sind einige fossile J^hvttreste der Tertiärlager- stätten zu vergleichen. Sterculia longifolia Roxli. Tnf. VII, Fig-. 1. Java. Nervation schlingläufig. Typus eigenthümlich. Pi-imärnerv an der Basis mächtig hervor- tretend, gegen die Spitze zu verschmälert, unter derselben fast feiner als die Secundärnerven. Diese entspringen unter Winkeln von 50 — 60", und sind etwas bogig. Mittlere Distanz der- selben Ys — Vt- Schlingensegnient schwach gekrümmt, stumpf, noch einmal so lang als breit: Schliugenbogen dem Rande fast parallel gestellt und bis auf '//" genähert, ohne hervortretende Aussenseidingen. Schlingenbildende Aste unter stumpfen Winkeln divergirend. Axen der untersten Schlingen mit dem Primärnerv einen etwas spitzeren Winkel bildend als die übrigen. Tertiärnerven stark hervortretend, die axenständigen unter rechtem Winkel, die unteren seiten- ständigen unter spitzen, die oberen unter rechten oder stumpfen Winkeln entspringend, die meisten grösseren verbindend. Tertiärnetz aus verschieden geformten grossen, hei-vortretenden Maschen bestehend. Quaternäres Netz vom tertiären scharf geschieden, aus rundlichen Maschen zusammengesetzt, ein sehr feines aber deutlieh ausgeprägtes quinternäres Netz einsehliessend. In- halt eines mittleren Secundätsegments 6 grössere und beiläufig eben so viele feinere axenständige, ferner 3 — 4 verbindende und jederseits 8 — 9 seitenständige Tertiärnerven. Ein mit dem beschriebenen Blatte der Nervation nach sehr ähnliches Blattfossil fand ich unter den Petrefaeten der Flora von Radoboj. Auch die im Typus der Nervation mit obiger Art übereinstimmende StercuUa nobilis (Taf. IX), ferner eine ostindische Stereulia-Art (Taf. X, Fig. 2) kann ich als Analogien vorweltlicher Formen, welche die Floren von Sagor und Rado- boj lieferten, angeben. StercuUa inops. Taf. VII, Fig. 3, 4. Caltivirt im kaiserlichen Hofgarten zn Scliönbrnnn. Nervation schlingläufig. Typus eigenthümlich. Primärnerv an dei- Basis stark hervor- tretend, gegen die Spitze zu alimählich verfeinert, unter derselben die Düiuie der Secundär- nerven übertreffend. Secundäi'nerven, wenigstens die unteren etwas bogig, die grundständigen unter Winkeln von 45 — 50", die übrigen unter 50 — 65" entspringend. Mittlere Distanz der- selben '/j — \\. Schiingensegmente meist etwas gekrümmt, sehr stumpf, die grundständigen und unteren noch einmal so lang, die mittleren und oberen kaum länger als breit. Schlingenbogen I'enkschriften d. mathem.-naturw. CI. XIV. Bd. S 58 Constantin v. Ettingshausen. der oberen und mittleren lang, dem Rande parallel, von demselben V/o — 27,'" entfernt, mit hervortretenden, oft ansehnlichen Aussenschlingen begrenzt. Axen der untersten Schlingen mit dem Primärnerv auffallend spitzere Winkel bildend als die der übrigen. Tertiärnerven verhältnissmässig wenig hervortretend, alle netzläufig, die axenständigen meist unter rechtem, die seitenständigen meist wenig unter spitzem Winkel abgehend, ein sehr lockeres, aus grossen, im Umrisse rundlichen Maschen zusammengesetztes Netz bildend. Quaternäres Netz aus rund- lichen Maschen bestehend, von dem tertiären nicht deutlich geschieden. Quinternäres Netz verhältnissmässig mächtig entwickelt, aus rundlichen, stark hervortretenden Maschen gebildet. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 7 — 8 stärkere und beiläufig doppelt so viele feinere axenständige , 7 — 9 seitenständige hervortretende Tertiärnerven. Den Blättern obiger Art und einer im Typus der Nervation übereinstimmenden ostindischen (Taf. X, Fig. 3) sehr ähnliche Blattfossilien fand ich bei Sagor in Krain. StercuUa diversifolia G. Don. Taf. XI. Neuholland. Nervation strahlläufig. Typus eigenthümlich. Der mittlere Primärnerv scharf hervortre- tend, noch unter der Spitze des Blattes stärker als die Secundärnerven. Die beiden seitlichen Primärnerven veränderlich, bald von der Stärke des mittleren, bald viel schwächer, manchmal wie bei Fig. 3 und 4 nur angedeutet oder auch fast fehlend. Secundärnerven zahlreich , scharf hervortretend , gabelspaltig-ästig, schlängelig gebogen, vom mittleren Primärnerv meist unter Winkeln von 50 — 65° in der Distanz '/o^ — '/jp entsprin- gend. Tertiärnerven zahlreich, unter verschiedenen spitzen und stumpfen Winkeln abgehend, fast so stark als die secundären, ein scharf hervoi'tretendes, aus verschieden geformten Maschen zusammengesetztes Netz bildend, das feinere weniger deutlich geschiedene quaternäre Netz einschliessend. Entspricht einer in der fossilen Flora von Sotzka in gleich mannigfaltigen Formen erscheinenden Art. Sterculia- Blätter mit strahlläufiger Nervation finden sich auch an mehreren miocenen Lagerstätten der Tertiärformation. Die früher zu Platanus gezählten Blätter der fossilen Flora von Radoboj werden passender dem Geschlechte Sterculia einverleibt. Eine dieser Blattformen kommt auch bei Altsattel vor. Die Sterculia macroj)hijlla , von welcher auf Taf. VIII ein Blatt dargestellt ist, und eine noch nicht beschriebene von Schott in Brasilien gesammelte Art (Taf. X, Fig. 1.) können nebst einigen anderen verwandten Arten als Analogien der Miocen- Sterculien betrachtet werden. Heriliera ntacrophylla. Taf. VII, Fig. 2. Coltivirt im kaiserlichen Hofgarten za SebönbrnnD. Nervation bogenläufig. Primärnerv bis zur Spitze des Blattes mächtig hervortretend. Secundärnerven ansehnlich, stark bogiir, die yiHindständigen strahlläufis: angeordnet, 'init Ubor die Nervation der Bovthareen. 59 hervortretenden Aussennervon versehen. Ursprungswinkel der mittleren und oberen Secundär- nerven 60 — 70°, die der beiden inneren grundständigen 30 — 40". Sinus eines mittleren Secundär- bogcns y^ — % von der Länge des Primärnervs abschneidend. Mittlere Distanz y^ — y^. Tertiär- nerven scharf hervortretend, verbindend; die axenständigcn unter dem Winkel von 90", die seiten- ständigen unter spitzen Winkeln abgehend, fast querläufig, ein aus länglichen oder querovalen Maschen zusammengesetztes Netz bildend. Quaternäre Nerven vom Tertiärnetz scharf geschie- den, ein noch ziemlich deutlich hervortretendes, aus rundlichen Maschen bestehendes Netz bildend, welches ein dem freien Auge kaum wahrnehmbares, rundmaschiges Quinternärnetz einschliesst. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 9 — 11 axenständiae und beiläufier eben so viele seitenständige Tertiärnerven. Ein Tertiärsegment 3 — 5 tertiäre Maschen; eine Tertiärmasche beiläufig 6 — 8 quaternäre und eine letztere 15 — 30 quinternäre Maschen einschliessend. Hoher ia populnea A. Cuiin. Taf. VI, Fig. 3. Nen-Secland. Nervation conibinirt randläufig. Primärnerv stark hervortretend, gegen die Spitze zu nur wenig verschmälert. Secundärnerven ansehnlich, gegen "die Basis zu allmählich genähert, die imtersten unter Winkeln von 75 — 85", die mittleren und oberen unter 65^ — 75" entspringend, die ersteren meist einfach, die letzteren wiederholt gabelspaltig-ästig. Äste theils randläufig, in den Spitzen der Zähne des Blattes endigend, theils Schlingen bildend. Mittlere Distanz der Secundärnerven y^ — y^. Die hervortretenden Secundärschlingen stumpf, abgerundet, in der Länge kaum die Breite übertreflend. Schlingenbogen dem Rande fast parallel, von demselben bis auf 2y!,"' entfernt , mit vielen hervortretenden Aussenschlingen umgeben. Tertiärnerven in der Stärke den secundären nur wenig nachstehend, die axenständigcn unter rechtem oder wenig spitzem Winkel , die seitenständigen unter verschiedenen spitzen und stumpfen Winkeln abgehend , verbindend und netzläufig , ein scharf hervortretendes , aus im Umrisse rundlichen Maschen zusammengesetztes Netz erzeugend, welches ein rundmaschiges quaternäres Netz ein- schliesst. Quinternärnetz vom quaternären nicht scharf geschieden, so wie letzteres dem unbe- waft'neten Auge leicht wahrnehmbar. Inhalt eines mittleren Secundärsegments 5 — 8 axenständige und 8 — 15 seitenständige Tertiärnerven. Helicteves guaxutnaefolia. Taf. VI, Fig. 1, 2. Cnitivirt im kaiserlichen Hofgarten zu Schünbrunn. Nervation strahlläufig. Primärnerven 5 — 7; der mittlere kaum stärker hervortretend als die beiden seitlichen, gegen die Spitze zu allmählich verfeinert und daselbst kaum mäch- tiger als die Secundärnerven. Divergenzwinkel der Primärnerven unter einander 15 — 20". Die Secundärnerven des mittleren Primärnervs unter Winkeln von 40 — 50° in der mittleren Distanz ^/^ entspringend, in schwach gekrümmten Bogen fast bis zum Blattrande verlaufend, vor 60 Constunfin v. Ettingshaunen. demselben verästelt; Aste meist in den Zähnen endigend. Seeundärnerven der seitlichen Basal- nerven aussenständig , im Bogen ebenfalls bis nahe an den Blattrand verlaufend, die Aste theils schling-, theils randläufig in den Zähnen endigend. Tertiärnerven aus den Primärnerven unter rechtem oder wenig spitzem Winkel, aus den secundären unter spitzen Winkeln abge- hend, querläufig, ein lockeres, aus im Umrisse länglichen Maschen zusammengesetztes Netz bildend. Quaternäres Netz vom tertiären nicht scharf geschieden , aus rechtläufigen Nerven gebildet; Maschen desselben viereckig. Quinternäres Netz unvollkommen entwickelt. Mit der Nervatiou dieser Art stimmt die einer neuen bis jetzt noch unbeschriebenen amerikanischen Helicteres-Art, von welcher auf Taf. VII in Fig. 5 ein Blatt dargestellt ist, überein. Die wenigen unterscheidenden Merkmale sind folgende: Die vom mittleren Primär- nerv abgehenden Seeundärnerven stehen in der Distanz y^ — y^; die zahlreichen hervortre- tenden Tertiärnerven sind auffallend genähert; auch das quaternäre Netz ist unvollkommen ausgebildet. Unter den Fossilien der Tertiärformation finden sich analoge Blattformen. über die Nervatioii der Botnbaceen. 6 1 \ ERZEK!HNIS8 DER TAFELN. TAFEL I. Fig. 1. Blatt \tm (Jhorixia -ipeeiosn. TAFEL IL Fig. 1. Nervation von Bombax glancescens aus Brasilien. Fig. 2. Nervation einer noch unbeschriebenen südamerikanischen Bombax-Art. Fig. 3. Nervation einer neuen Bomba.'c-Art aus Guatemala. Fig. ■' 4. Nervation von Bombax grandiflorum aus Brasilien. Fig. ö. Nervation von Salmalia insignis aus Brasilien. TAFEL III. Fig. 1 — 2. Nervatioii von Salmalia iiuignis aus Brasilien. TAFEL IV. Fig. 1 . Nervation einer neuen Bombax-Art aus Guatemala. Fig.'s 2. Nervation von Bomlax glaucescens aus Brasilien. Fig. .S — 5. Nervation von Bombax Erianthos aus Brasilien. TAFEL V. Fig. 1. Nervation von Bombax floribundum aus Brasilien. Fig. 2. Nervation einer neuen Bombax-Art von den Philippinen-Inseln. Fig. 3. Nervation von Bombax trifoliatum aus Brasilien. Fig. 4 — 6. Nervation von Pachira macrocarjm aus Mexiko. Fig. 7. Nervation einer noch unbeschriebenen amerikanischen Bombax-Art. TAFEL VL Fig. 1 — 2. Nervation von Helieleres guazumaefolia. Cultivirt im kais. Hofgarten zu Schönbrunn. Fig. 3. Nervation von Hoheria populnea aus Neu-Seeland. Fig. 4. Nervation einer noch unbestimmten amerikanischen Bombax-Art. Fig. 5. Nervation einer Eriodendron-Art aus Surinam. Fig. 6. Nervation von Bomhax ferrugineum aus Brasilien. Fig. 7. Nervation von Bombax floribundum aus Brasilien. TAFEL Vn. Fig. 1. Nervation von Sterculia longifolia aus Java. Fig. 2. Nervation von Heritiera macrophylla. Cultivirt im kais. Hofgarten zu Schönbrunn. Fig. 3 — 4. Nervation von Sterculia inops. Cultivirt im kais. Hofgarten zu Schönbrunn. Fig. ö. Nervation einer amerikanischen Helicteres-Art. \T'TT ^7^H. f. T. K(tin!;sliuuscii. Über die Nervation der Bombaceen Taf. I. Chorisia speciosa. Denkschrifteti der nuthem.-naturw. Cl. XIV. Dd. 1857. f. V. £ttingshausen. Über die Nervation der Bombaceen. T;if. II. Fig. 1. Bomlax glauceacena Fig. 3. Bombax sp. Quatemala. Fig. 2. Bombax sp. nov. amer. Fig. 4. Bombax grandiflorum. Fig. 5. Salmalia insignis. Denkschriften der matheui.-natnrw. Cl. XIV. Bil. 1857 C. T. Ettingshiiuscn. Über die Nervation der Bombaceen. Taf. III. Salmalia insignis. Denkschriften der niathera.-naturw. Cl. XIV. Rd. 1857. ). T. EUiugshansen. Über die Nervation der Bombaceen. Taf. IV. Fig. 1. Homlax sp. Guatemala. Fig. 2. Bomhax glauccscens. Fig. 3-5. Bombax Erianthos. Denkschriften dei- malhem.-natiirw. Gl. XIV. Bd. 1857. C. T. Kttiiisslianscn. Ober die Nervation der Bombaceen. 'i'af. V. Fig. 1. Bomla.i: florihundum, Fig- 2. Bomhax Cummingii. Fig. 3. lioinbax trifoliatuiu. Fig. 4— 6. l'a<:li.ira macrocarim. Fig. 7. Bninliar sp. amprir. Denkschriften der iiialhem.-naturw, l.'l. .\l\. liil. 1»57. f. T. Ettingsliausen. Über die Nervation der Bombaccen. Taf. Vr. Fig. 1 u. 2. Ilelicterea guazumaefolia. Fig. 4. Bomhax sp. mexican. Fig. 6. liombax ferrugineum. Fig. 3. Hoherla populacea. Fig. ö. Eriudendron sp. americ. Fig. 7. Bombax floribiindum. Denkschriften der iiiatlieiii.-naiurw. Gl. XIV. Bd. Iö57. f. V. Eftiiissliauscn. Über die Nervation der Bombaceen. Taf. VII. Fig. 1. StercuUa longifolia. Fig. 3 u. 4. S/erculia inops. Fig. 2. Heriliera macropliylla. Fig. 5. Ileücteres sp. aiueric. Denkschriften der mathem.-natunv. Cl. XIV. lid. 1857. C. T. Ettinzshaascn. Über die Nervation der Bombaceen. Taf. VIII. Sterculia macrophylla. Denkschriften der mathein.-naturw. Cl. XIV. Bd. 1857. C. T. Ettiugshauscn. Über die Nervatlon der Bombaceen. Taf. IX. Stcrculia nohilis. Denkschriften der iiiiithem.-naturw. Cl. XIV. Bd. 1857. f. T. EttingsliauMMi. Über die Nervation der Bombaceen. Taf. X. Fig. 1. SterciUia sp. aniericana. Fig. 2. .Slerculia sp. Oslind. Fig. 3. StercuUa sp. nov. Denkschriften der matlicm.-iia(urw. Cl. XIV, Bd. 1857. C. T. Ettingslinuscil. Über die Nervation der Bombaceen. Taf. XI. Fig. 1 — 5. Stercnlia diversifolia. Denkschriften der mathera.-nalurw. Cl. XIV. Bd. 1857. 63 VIERZEHN ARTEN VON BDELLIDEEN. VON Dr. KARL MORITZ DIESING, WIRKLICHEM MITGLIGOE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. VORGELEGT IN DER SITZUNG UER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 5. FEBRUAR 1857. Die Egelwürmer (Bdellideen) sind Schmarotzer, welche immer oder zeitweilig auf anderen Thieren leben. Viele von ihnen wurden den Trematoden, welche aber nur innere Schmarotzer sind, andere den Anneliden von den meisten Systematikei"n einverleibt. Bereits Blainville hat im Jahre 1828 im Dict. des sc. nat. Vol. LVII. art. Vers, unter den trematodenartigen Thieren sämmtliche äussere Parasiten in der Ordnung Myzocefliales mit den Familien Monocotylair-es oder Bdellaires und Polycotylaires, und die inneren Parasiten in die Ordnung Porocephales vereinigt , ohne diese beiden Ordnungen aber in seinem Systeme einander zu nähern. Die Verwandtschaft beider Gruppen ist jedoch so gross, dass ich mich dadurch bewogen fand, dieselben als besondere Unterordnungen unter den Benennungen Trematoden und Bdellideen in der Oi-dnung der Myzhelminthen aufzustellen und eine über- sichtliche Vergleichung beider Unterordnungen mag diese Annahme rechtfertigen. Die Trematoden wie auch die Bdellideen sind Einzelthiere , nur bei Diplozoon entsteht unter den letzteren durch unvollkommene freiwillige Theilung am Vorder- und Hinterende ein Doppelthier. Der Körper beider Unterordnungen ist weich und parenchymatös, mehr oder weniger flach und niedergedrückt, seltener drehrund, ungeringelt pder geringelt, meist wehrlos oder mit Stacheln bewaffnet, bei den Trematoden meist farblos oder nur durch aufgenommene Nah- rung gefärbt, bei den Bdellideen aber nicht selten sogar zierlich gezeichnet. Die Farben der- selben werden durch Pigmentzellen und Pigmentnetze hervorgebracht. Die allgemeine Hautbedeckuug besteht sowohl bei den Trematoden wie bei den Bdellideen aus einem mehr oder weniger festen Corium und einer dünnen Epidermis ohne Flimmerorgane. Der Kopf beider Abtheilungen ist mit dem Körper gleichlaufend oder von demselben durch einen Hals geschieden. Der Mund liegt am Vorderende oder unterhalb desselben und hat meist die Form eines Saugnapfes. Bei vielen Egelwürmern ist die Schlundhöhle mit Längsfalten oder mit gezähnten Eaeferwülsten oder mit hornigen Kinnladen versehen. 64 Karl Moritz Diesing. Ein Saugnapf fehlt entweder den Trematoden oder sie besitzen ein oder mehrere meist kreisrunde auf der Bauch-, höchst selten auf der Eüekenseite liegende solche Anheftungs- organe. Dagegen haben alle Bdellideen am Leibe Anheftungswerkzeuge unter der Fori von Saugnäpfen, zu denen manchmal am Kopfe noch 2 Sauggruben oder kleinere Saugnäpfe kommen, oder von Gerüsten, deren kornartige oft gegliederte Stützen meist mittelst einer durchscheinenden Membran verbunden sind. Von diesen Organen liegen die letzteren stets am Hinterende, die ersteren entweder ebenfalls dort oder gegen die JMitte der Bauchseite zu. Sie sind ungestielt oder gestielt; die eigentlichen Saugnäpfe darunter einfach oder mit Strahlen versehen, unbewaffnet oder bewaffnet, nur in einem Falle doppelt^). Die Zahl der Anheftungs- organe des Leibes ist bei den Trematoden 1, 4, 6 oder sehr viele, bei den Bdellideen 1, 2, 6, 8 und nur selten viele. Ausser diesen Anheftungsorganen kommen in beiden Unterordnungen noch hakenförmige Hülfsorgane und unter den Trematoden paarige bewaffnete Bohrrüssel '^) vor. Beide Abtheilungen haben ein rnehr oder weniger ausgeprägtes Muskels ystem, dessen Primitivfasern nie quergestreift sind und in den meisten Fällen zu einem maschenförmigen Muskelgewebe, an welchem Längs- und Quermuskeln nicht von einander geschieden sind, verbunden, ein sehr contractiles Körperparenchym bilden. Bei der Mehrzahl der einnapfigen Bdellideen dagegen schliesst die sehr enge Leibeshöhle ein Hautmuskelschlauch ein, dessen äussere Schicht aus Ringmuskeln, die mittlere öfters fehlende aus schräge sich kreuzenden Fasern und die innere aus Längsmuskeln besteht. Die Trematoden besitzen einen afterlosen Speisecanal, der von der Mundöffnung an] in Gestalt einer gewöhnlich kurzen, oft S-förmig gebogenen, zuweilen in einen musculösen Schlundkopf kugelig angeschwollenen Speiseröhre nach rückwärts läuft und sich dort entweder in einen einfachen Darm verlängert oder meist sich in zwei Darmröhren spaltet, deren Enden entweder frei sind oder bogenförmig in einander übergehen^). Diese Darmröhren sind entwe- der unverästelt oder vielfach verästelt.^ Die Bdellideen haben ebenfalls eine Speiseröhre, aus der bei der Gattung Clepsine ein fleischiger, aus der Mundöffnung hervorstreckbarer Saugrüssel heraufragt und entweder einen dem der Trematoden ähnlichen gespaltenen und dann blind endigenden Darmcanal, oder dieser ist einfach, oft mit vielen seitlichen Blindsäcken versehen und fast immer^) mit einem After endigend. Der After liegt meist auf der Rückenseite ober- halb dem Saugnapfe, nur bei Acantliobdella^) im Centrum des Saugnapfes und bei Iclitliyobdella Geometra soll er an der Bauchseite des letzten Ringes dicht am Saugnapf sich befinden '^j. Zu den Hilfs-Organen der Verdauung gehören noch bei den Trematoden die seitlich des Halses gelegenen, wahrscheinlich in die Mundhöhle mündenden Canäle von zelligem Ansehen, so wie bei den Bdellideen die von Siebold mit Bauchspeicheldrüsen verglichenen, bei Hirudo vor- kommenden runden Drüsenkörperchen unterhalb des Schlundes, deren Ausführungsgänge in den Speisecanal ausmünden , ferner das bei manchen Gattungen dieser Unterordnung den Darm- canal umgebende Gewebe, welches der genannte Zootom als Leberorgan anspricht '). ') Plagiopeltis duplicata, vergleiche diese Abhandlung Tafel I. Fig. 1 — 3. 2) lihopalojyhorus coronatus und Mh. horridus: Diesing in Denkschr. Aliad. Wien IX. Taf. I. Fig. 6-11 und 12 — 16. 3) So bei MonostomummutabüeunA.jlaFum, vergleiche Creplin, Nov. Obs. Fig. 10. 11 u. Siebold Lehrb. d. vergl. Aiiat. I.Abth. 129. *) Nur bei Diplozoon kommt ein afterloser, einfacher seitlich verästelter Darmcanal vor. *) Grube: in Middendorff'sSibir. Reise II. I.Annel.21. und derselbe in seinem Werke: Die Familien der Anneliden IS.'JI. 116 u. 150. «) Leo: in M ü 1 1 e r's .\reh. 1835.420. ') Lehrb. d. vergl. Anat. I. Abtheilung 207. Vicrxelni Arton rnu Pulollideen. 65 Was (las Circulation s syst(Mn botritVt. so I)ositz(Mi ^\\o Trematoden und \\Av TidoUideen ein duroll den ganzen Körper vieltach verbreitetes und contractiles, mit gesonderten Wandun- gen versehenes Gefässnetz mit 2 grossen seitlichen Läiigsstämmen. Die grosse Mehrzahl der einnajifigen Bdcllideen besitzt ausser den beiden Seitenstämmen noch ein contractiles Bauch- und Ivückengefäss, welche an den beiden Enden in einander übergehen: manche nur die beiden letzteren. Die zwei Mittelgefässe unter einander und . wo Seitensfämmo vorhanden sind, aucli diese, stehen durch Queranastomoscn in Verbindung. Aus diesen Hauptcanälen entspringen zahlreiche Capillargefassc. Die grossen Gefässe sind bei einigen Egelwürmern mit Klappen A-ersehen, während sie bei anderen derselben entbehren'). Das Aussonderungsorgan der Trematoden liegt meistens in der Mitte des Hinter- leibes und besteht aus einem einfachen, gabelförmig gespaltenen oder vieliach verästelten Schlauche, der manchmal weit nach vorne i-eicht. daselbst blind endigt, nach rückwärts aber oberhalb, oder an der Schwanzspitze als sogenanntes Foramen caudale ausmündet. Der Inhalt desselben besteht meist aus einer farblosen Flüssigkeit mit Körnchen und Bläschen und wird öfters nach aussen entleert. Ein ähnliches Aussonderungsorgan besitzen nur jene Bdellideen. welclien ein After fehlt, dagegen haben die afterführenden oft einfache in der Haut versenkte Drüsenbälge, welche nach aussen münden und Schleim absondern. Äussere Ath mungsorgane fehlen den Trematoden: bei den Bdellideen sind sie nur bei Brajichiobdella') und Ozohranchus^) vorhanden, dagegen werden die bei den ersteren auf der inneren Fläche der Gefässwände angebrachten Flimmerläppchen, so Avie ganz ähnliche bei einigen Egelwürmern, und ausserdem noch das in der Bauchhöhle vieler einnapfiger Bdelli- deen enthaltene bisweilen mit Flimmerepithelium versehene auf der Bauchseite nach aussen mündende Wassergefasssystem von der Mehrzahl der Zootomen als zur Respiration gehörig betrachtef*). Brandt hingegen neigt sich der Ansicht zu, dass diese von ihm bei Tlinido untersuchten Organe als Absonderungsorgane anzusehen seien ^). Die Trematoden sind meist vollkommene Zwitter und nur in wenigen Fällen '') getrennten Geschlechtes, die Bdellideen durchwegs vollkommene Zwitter'). Die männlichen Geschlechts- ') Vergleiche über Jas Circulationssystem noch ausführlicher Siebold, Lehrb. d. vergl. Anat. I. Ahtli. laä uml 211. -) Leydig, in Zeitschr. f. ■«•. Zool. III (ISöl), 315 und Quatrefages in Annal. d. sc. nat. 3. ser. XVIII. (1S52),279 — 325 cum tab. 8) Quatrefages a. a. O. 325. *) Siebold a. a. 0. 215. 5) Brandt u. Ratzeb urg, Medicin. Zool. II. 251. Taf. XXIX. A. 55— 58. ß) Distominn Okeni Kölliker in Ber. zootom. Anst. z. Würzburg. II. Ber. 1S49. 55 — 57. Taf. II. 7 (1, 2, ih. c Weibchen, 3 und ia Manchen) und D. Ilaematohium Bilharz in Zeitschr. f. wissensch. Zool. IV (1852), 59—62. 69, 71 — 76, 454, Taf. V. 11 — 15. XVII. a—k. ') Nach Slebold wird die Gattung Gijrodacti/his , deren beiile Arten G. elegans und G. aiiricv!a/vs auf den Kiemen mehrerer Süsswasserfische leben, als geschlechtslos und als Ammenzustand betrachtet und es findet ihre Vermehrung nach seinen Beobach- tungen (Zeitsch. f. wissensch. Zool. I. 347 — 359) entweder durch Keimkörper oder durch Keimkapseln innerhalb oder ausserhalb der Mutterthiere Statt. Bei Oyrodaclyhia elegans entwickelt sich der ICeimkörper innerhalb des Mutterthieres zu einem mit diesem übereinstimmenden Jungen, innerhalb welchem sich oft noch eine dritte solche Generation bildet, so dass eigentlich Mutter-, Toch- ter- und Enkelthier in einander gleichsam eingeschachtelt sind, wogegen bei Gyrodaciylus auriculatus die weitere Entwickelung der Keimkapseln zu einem dem Mutterthiere gleichen Jungen nicht innerhalb sondern ausserhalb dieses stattfindet. Dagegen spricht sich Wedl in einein am 23. Juli 1857 in der kais. Akademie gehaltenen Vortrage für die geschlechtliclie Fortpflanzung des Gyrodactylns aus. Die von ihm gemachte Anatomie dieses Helminthen hat gelehrt, dass diese Thiere auch einer geschlechtlichen Reife entgegen- gehen, indem er einerseits den Dotterstock deutlich nachzuweisen vermochte, andererseits die männlichen Geschlechtswerkzeuge. Es erfahrt somit die Allgemeinheit des v. Sieb old'schen Ausspruches, dass Gijrodactylns ein ammenartiges Wesen sei, d. h. ohne Geschlechtsorgane zur Entwickelung von ähnlichen Wesen im Inneren seines Leibes diene, eine Einschränkung. Auszug in der österr. k. Wiener Ztg. 1857, Nr. 184. vom 13. August, S. 2311. Deukschriftea der mathem.-naturw. Cl. XIV. Bd. ** 66 Karl Mori'iz Diesing. Organe bestehen in beiden Abtheilungen aus dem Hoden, den Samenleitern (vasis deferen- libusj, den Samen bläsclien, dem ausführenden Samengefässe (ducta ejacidatoi-io) und dem Penis, welche letztere Organe in vielen Fällen von dem sogenannten Cirrus- beutel umgeben sind; die weiblichen hingegen aus Keim und Dotterstocken, ihren Ausführungsgängen, der Gebärmutter und ihrer Scheide, welche Organe nach Form, Zahl und Lage grosse Verschiedenheiten zeigen. Die Geschlechtsöffnungen liegen auf der Bauchseite entweder neben oder hinter einander, wodurch entweder eine Selbstbefruchtung durch Selbstbegattung möglich, oder eine gegenseitige Begattung und Befruchtung bedingt Avird. l)ie Eier sind melir oder weniger rund, bei vielen Trematoden an einem Ende mittelst eines Deckels aufspringend; in wenigen Fällen mit einem langen spiralförmigen Faden an einem Ende oder mit einem Knötchen an jedem Ende, welche sodann zu langen sehr spitzen Anhängen auswachsen, versehen. Die Eier werden entweder frei gelegt, oder wie bei Tchthyo- bdella einzeln, oder wie bei Nephelis zu mehreren in einen hornartigen, am Mutterthiere durch Ausschwitzung entstandenen, dann abgestreiften und vermöge seiner Elasticität zu einer Kapsel geschlossenen Gürtel abgesetzt ^). Bei Ilirudo werden die ebenso gebildeten Kapseln von einer spongiösen Masse, welche nach Wedeke") in Form von Schaum aus dem Munde abgesondert werden, nach Ebrard^) hingegen ein Product der Schleimdrüschen (anses muci- pai'es) sein soll, umgeben und bei (Jlepsine die Eier in einer sehr zarten sackförmigen selbst erzeugten Hülle unter dem Bauche herumgetragen*), und gegen Gefahren durch Einrollung des Leibes wie mit einem Schilde bedeckt. Die Jungen der Trematoden erreichen ihre Entwickelung entweder direct und ohne Eintritt wesentlicher Umgestaltungen, oder mittelst des Generationswechsels durch geschlechtslose Mittelformen, wie dies bei Diplodiscns, dann bei Arten der Gattungen Monostomum und Distomum bekannt ist"). Bei den Bdellideen findet nach den bisherigen Beobachtungen weder Metamorphose noch Generationswechsel Statt. Von Sinnes Werkzeugen besitzen die Trematoden nur Tastorgane in der Form von mehreren Tastknötchen, oder paarigen Tastläppchen, oder Tastfäden. Alle diese Organe sind ausstülpbar und liegen um den Mund. Einige wenige jedoch zeigen in ihrem geschlechts- 1 1) Vergleiche Rayer in Annal. des sc. nat. IV (lS-24) Taf. X. 1—6 und Jloquin Tandon nimdin. nouv. edit.306. Tal'. III. 2-2^31. über Nephelis und Leo in Mfiller's .\rch. 1835, lüö. Taf. XI. 6, sowie Briglitwell in Ann. nat. bist. IX (1842), 11 über Idiihyobdella. -) Froriep's Xeue Notizen XXI (184-2). 183. Yergl. auch Ray er a. a. 0. Tal'. X. 10 und Moquin Tandon a. a. 0.2. edit. 334. Taf. XI. 13—18. 3) In Compt. rend. XLIII (1856), 1012. 1) Grube, Untersuch, über die Entwiclielung d. Annel. 1844, 1. ■') Für die Geschichte des Generationswechsels dürfte eine bereits von Rudo Iplii goniaclite, jedoch nicht weiter verfolgte und seitlier nicht weiter berücksichtigte Beobachtung über den Geburtsact bei Amphistomum {Ilulostonmmj con««?«;« des Regenpfeifers nicht ohne Interesse sein. Derselbe bemerkt hierüber in der Entoz. bist. I. 314, II. 343. Tab. V. 4 — 6: Corporis nimirtim prope orificium poslicum glohulua fiiterua?J conspiciebatur, mox eel adscendens vel descendens; in/ra eiindem autem cornn ej;serebatnr ex poro diclo satis loyigum motu aummo agitatnm, donec prope corpus abrupt um discederet, quo facto globulus ille magis magisque commotns, ut interdiim ex poro qua partem prolruderetitr, et in/ra eundem oini/a aliquot, saepe duo triava se excipinndo, foras emitte- rentur. Jlorae quarta parte fere elapsa, aliud iterum cornu seu oeiductus pars altera prodibat, quo pari ratione abrupto ovula longa sed inlarrupta serie edebantur. Jlora tandem fere integra elapsa, cornu tertium prioribus ornnino simile eniissum, sed brevi post dis- paruit , ani mal que tarn motu quam eita prioatum conspiciebatur. ünicum inter Entozoa, quod sciam, partus praeter ovula aensim qji'jque oriductus cdenlis exemplam, et maxime memorabile; cornua enim illa vix pro alia quam ovariorum parte haberi possunt , et Ovaria integra cum ovulis eliminari posse Cestoidea docebuni. Ipse nunquam in ovulis embryones conspexi, sed semper materia quasi grumosa repleta, et plerumqzce elliptica versus iitrnm- que finem angustiorem pellucida vidi. Vt'cr~e!i)/ Arten mi/ BUcllidi'oi. (\~ loson oilor Larveiizustande 2 — 3 Aiiyon. \\v\ dou ]>deUi(Jeei/ sind als Tastnrn-an(> die Sclicilio. des sauguapfförmigon Muiulos oder die Muiullippen zu betTaditcii. I5ci ilmen iVliIon entweder Augen, oder sie besitzen deren 2 — 10 mit einer Inu-nliautartigen Wölbung und einer seliwarzen rigmentschiclit. Ein Nervensystem besitzen mehrere y)-emafoife)i, bei -welclien an den Seiten der Speiseröhre zwei durch einen quer über dieselbe laufenden Nervenf'aden verbundene Ganglien liegen. Zwei der aus ihnen entspringenden Kervenäste laufen als Ilauptäste an beiden Seiten des Leibes mit seitliehen Yerästluugen bis zum Ilinterende. Entwickelter und zusammengesetzter ist das Nervensystem unter den Bdellideen, bei der Mehrzahl der Jlaploco- fi/h'eit. Passelbe besteht aus 2 ober und unter der Speiseröhre gelegenen, beiderseits durch Nerveufäden zu einem Ringe verbundenen Ganglien und einer von dem unteren derselben begin- nenden und durch die ganze Körperlänge auf der Bauchseite sich hinabziehenden Kette von durch einfache oder doppelte Nervenstränge mit einander in Verbindung stehenden Ganglien. "\ on diesen letzteren, selten von den Verbinduugsfäden, werden Nervenäste ausgesendet, welche zu den Sinnesorganen, zur Haut, den Muskeln und endlich zu dem hiiueren Saugnapf führen. Das Eins-e weide -Nervensvstem endlich besteht aus drei mit dem Schlundrinae durch Fäden in Verbindung stehenden Nervenknötchen, von welchen Nerven Äste an dielMundtheile treten und ein solcher unpaariger Faden unter dem Darmcanal hinläuft. Die Zahl der jetzt bekannten Gattungen der Trematoden betragt 20, jene der Bdellideen ib. Mit dieser Arbeit ist eine ununterbrochene Eeihenfolge von sechs Abhandlungen in den Denkschriften dieser Akademie abgeschlossen, in welchen 25 von mir neu begründete Gattun- gen mit 32 Arten und aus, von anderen Autoren aufgestellten, 24 Gattungen 67 neue Arten innerer und äusserer Schmarotzer aus der ünterclasse der borstenlosen Helminthen beschrieben und auf XXV Tafeln erläutert wurden. Von einigen dieser Darstellungen wurden mir die in früheren Jahren unter meiner Lei- tung angefertigten Originale, welche sich in der allerh. Privatbibliothek Seiner Majestät des Kaisers Ferdinand befinden, durch die allerhöchste Gnade Seiner Majestät auf das Huld- vollste zur Bekanntmachung erfolgt. Die meisten der übrigen Abbildungen wurden noch in meiner ämtlichen Stellung und bei vollem Gebrauche meines Augenlichtes unter meiner Aufsicht von Joseph Zehner ausgeführt und mir jetzt von meinem verehrten Freunde dem Vorsteher der k. k. zoologischen Sammlun- gen, Herrn Vincenz Kollar, zur Veröffentlichung auf das Zuvorkommendste überlassen. Endlieh fühle ich mich noch verpflichtet, meinem mir theuren Freunde August von Pel- zeln für seinen rastlosen Eifer, mit welchem er mich unterstützte und ohne dessen Beistand diese Arbeit, wie sie nun auch sein möge, hätte unterbleiben müssen, meinen wärmsten I^ank auszusprechen. 9* 68 Karl Moritz Die, fing. BDELLIDEA BLAINYILLE. An imalcula solitaria libera. rarissime duplicia (Diplozoon). Cor'pus molle 'parencliymato- siim,, planum, depressum v. teretiusculum, laeve vel annulatum, rarissime scutellato-tahulatum, ine7-me, rarissime armatum, liaud raro coloratum, imo eleganter 'pictimi, acetahulis aut replis instructum. Caput corpore continiiuvi vel discretum. Os terminale vel suhterminale , utpluri- mum acetabidiforme vel lahiatum , simplex, intus nudum v. jiUcis aut maxillis internis, vel liaustello protractili instructum. Acetahulum nunc unum hasilare aut suhhasilare ventrale, Simplex, laeve v. intus radiatum, inerme v. armatum, nunc plura ejusdem indolis simplicia rarissime duplicata nee non acetahula minora 2 — o, aut bothria 2 capiti inserta. Repla (Acetabula auct.): fulcra Cornea, interdum membrana inter se juncta. Ocelli nulli vel 2 — 10. Tr actus i ntestinalis uni- aut bicruris coecus , aut unicruris ano stipatus ; ano supra acetabiduni, vel in acetabuli centro sito. Porus excretorius dorsalis in postica corporis parte in Ulis ano destitutis. Gryptae mucosae excretoriae subcutaneae poris ventralibus utplurimum in Ulis ano instructis. Si/stema vasorum Immore limpido vel colorato scatens. Organa respir ator ia interna rarius externa et tunc brancliiae simplices vel ramosae. — Androgyna. apertiu'is gcnitalibus ventralibus juxtapositis vel postpositis. Penis ßlifo7'mis. Ovipara rarius vivipara. — In Eubdellideis nonnullis ovula sin- gula aut plura (10 — 16) involucro subcorneo e corporis superficie exsudato, demum exuto, primum tubuloso, ovulis depositis subgloboso, utrinque clauso excepta. Systema nervorum in longeplurimis llaplocotyleis distinctissimum. — Bdellidea sunt animalium aquati- lium praecipue vertebratoruTn ectoparasita , quae satiata interdum deserunt et tunc in aqua marina, aut dulci, vel supra terram luunidam libere vagant. I. BDELLIDEA APROCTA Diesing. Tractus intestinalis uni- aut bicruris, coecus. PLAGIOPELTIS Diesing. Corpus elongatum depressum. Caput corpore continuum. Us... Acetabula ventralia octo in corporis parte dilatata marginalia, serie simplici disposita, elliptica, planiuscula, marginata, singula acetabulum minus, transverse ellipticum, utroquemargine inßexum, centrale, includentia. Genitalia externa . . . Porus excretorius . . . Tractus intestinalis bicruris coecus. — Ovipara. — Piscium marinorum ectoparasita. Vierzehn Arten von BdeUideen. 69 JPlagioiteltis ditpUciita. Tab. I. Fig. 1—3. Corputi depressum lanceolatuvi , postice spathidaeforme dUatatam. Longit. corp. 4'": latit. medio I"; postice V/.l" • l'olysloma Tliyniü "La. Roche: in Nouv. Bull, de la soc. pliilom. 1811. Ü71. Tab. II. 3 a, b, c (mala). PolyStoma duplicatum liudo Iplii: Synops. 125 et 438. Tab. II. 6 (ic. La Rochii) — D ujardin Hist. nat. des Helminth. 318. Uexacotyla TAy»»!»' Blain ville: in Dlct. des sc. nat. LVII. 571. Tab. XXVII. 1 (mala). Jlexacotyle Tlujnni Nordmann: in Lamarck Hist. nat. des anim. s. verleb. 2. edit. III. 600. Plagiopelti$ duplicataTMes.: Syst. Helm. I. 417. Habitaculum: Thynnus hrachy pterus: ad superficiem hrancliiarum, ad insulas Balearicas (La Roche); eodentqiie loco in cjusdem speciei individuo spiritu vini servato^ Vindobonae (Kollar), Dieser Egel wurde zuerst von de La Roche zu ilajorca auf den Kiemen des Thunfisches entdcclvt und im Jahre 1811 in dem Nouveau Bulletin des sciences par la societe philomatifjue de Paris Vol. II (4. annee) beschrieben und nicht genügend abgebildet. Ein Exemplar in der kaiserlichen Sammlung, welches von meinem verehrten Freunde Kollar im Jahre 1836 an den Kiemen eines in Weingeist aufbewahrten Individuums der- selben Fischart gefunden wurde, gab mir Gelegenheit das Thier genauer zu untersuchen und die vorliegende genauere Abbildung davon zu veröffentlichen. PLECTANOCOTYLE Diesing. - charactere. emendato. Corpitn late cUipticum planum. Caput corpore continuum. Os terminale promimduvi. Repla sex in postico corporis margine, ventralia^ serie simpUci, bivalvia, valvulis convexiusculis op>positis, valvida singida fulcris duobiis unciformibus apice arcuatim conniventibus et teftio intermedia breviore recto, articulatis, memhranainter sejunctis. Ac e tabula duo juxtaposita hemisphaerica infra os sita. Genitalium aperturae . . . Forus excretorius ... Tr ac- tus intestinalis bicruris coecus — Ovipara. — Piscium marinorum ectoparasita. Plectanocottßle ellipticn. Tab. I. Fig. 4—9. Longit. 2"'; latit. T". Plectanocotyle elliptica Dies.: Syst. Helm. I. 421. Habitaculum: Labrax mucronatus: ad branchia (Kollar). Auch diese neue Gattung wurde von meinem theuren Freunde Kollar im Jahre 1836 auf den Kiemen eines in Weingeist aufbewahrten Labrax mucronatus aus Amerika in einem Exemplare aufgefunden. ENCOTYLLABE Diesing. Corpus ellipticum planum^ antice truncatum,^ marginibus lateralibus inflexis. Caput corpore con- tinuum, bothriis duobus anticis conchaeformibus plicatis juxtapositis. Os rimaeforme subanti- cum infra bothria. Acetabulum campanulatum, limbo membranaceo angustoreflexo, haviti- lis duobus centralibus apicibus convergentibus, pedicello longo subbasilari ventrali affixum. Genitalium aperturae . . . Porus excretorius . . . Tr actus intestinalis bicruris, coecus — Ovipara. — Piscium viarinorum ectoparasita. 70 Karl Moritz Dicsnir/. Kncotyllahe Nordmaititi. Tab. I. Fig. 10—14. Longa, corp. l'/s"; lata. 7/'; longit. jpeäic. acet. V/". Tristoma exraratum Nordnianii in litt. . . . Encotyllahe Kordmaniii Dies.: Syst. Helm. I. 428. Ilahitaculitm: Brama Bayl: infauce (Nordmann). j Von dieser ausgezeichneten Gattung wurde mir ein Exemplar im Jahre 1840 von meinem geehrten j Freunde Alexander von Nordmann, der dasselbe im Rachen der Brama liai/i fand, gütigst mitgetheilt. CALICOTYLE Diesing.- charactere. aücto. Corpus planum late ohovatum. Caput corpore contrnuum. Os subterminale transverse ellipti- cum. Acetahulum basilare ventrale .,urceiforme^ septangulare^ intus dissepimentis septem e centro radiantibus, quinque inermihus^ duohus uncino valido vaginato retractili armatis. Aper- turae genitalium infra os oblique juxtap)ositae approximatae. Porus excretorius ... Tractus intestinalis bicruris coecus — Ovipara. — Pisciuvi marinorum ecto-vel endo- parasita. Oesophagus svhglolosus mvscnlosns. Tractus intestinalis hicruris crurilns divaricatis. coecus. — Ganglion cerehrale. (Hök). Genus corporis et acetahuli forma ac indole Tristo mo slinillimuni. liotiiriuruia tarnen alsentia abunde distinctum. Caticotyle liroyeri. Tab. I. Fig-. 1.5 — 19. Corj)'usj>osticeema?-ginatum, albo-flavum, transparens, ovariis ferrugineis limbum cingentibus^ interdum utraque extremitate involutum. Acetabulum viagnum album. Longit. corporis 2'/o" — S'/r; latit. 2—2'/:". Calicoiiße Kroi/eriT>ie&.: Syst. Helm. I. 431 et C51. — Hök: in Ofversigt af K. vet. AcaJ. Förhdl. l.SöC. ». G, 7 cum tab. et notit. anatom. — rcrsio germanica Creplinii in Halle Zeitschr. 1856. 507. llabitaculum: liaja radiata: in corporis superficie versus anum^ Kattcgat (Kroyer) — B. Batis: in ano et initio intestini recti specimimx 8, propre insidam Kloster, Julio (Hök). Dr. Krover fand diese durcli die Zierlichkeit des Saugnapfes so ausgezeichnete Art im Kattegat auf den Wciehtheilen des Körpers der Uaja radiata und theilte mir 2 Exemplare davon im Jahre 1844 für die kaiserliche Sammlung gefälligst mit. Später wurde dieselbe Art von Hök im Juli des Jahres 1856 in der Gegend von Strömstadt im After und selbst im Anfange des Mastdarmes einer bei der Insel Kloster gefangenen Raja Batis in 8 Exemplaren gefunden 'j. ') "Wir entnehmen seinen an lebenden Thiereu geraacliten Beobachtungen in Kürze Nachstehendes: Der Kiirper ist plattgedrückt und dünn, umgekehrt eiförmig, halbdurchsiohtig, von Farbe perlmutterweiss, die Seitenr.-inder jedoch oder der das Ovariura einschlicssende Theil hellgelb von den durchscheinenden Eiern; die obere Fläche convex, die untere eoncav oder plan. Der Kopf sitzt am schmalen Kürperende und ist ohne Hals, der Mund steht an der Bauchseite, nahe dem äusseren Rande, ist querelliptisch, gross, aber contractu. DieGesclilechtsöffnungen sitzen unterhalb des Mundes und nahe bei einander. Der röhrenför- mige Penis befindet sich zu oberst und gleich unter der Theilung desDarmcanales. Der Saugnapf sitzt an der Basis oder dem breiten Ende des Körpers auf dessen Unterseite unmittelbar an der Oberfläche (oline Stiel) ; sein äusserer Rand aber ist erhöht, wodurcli er, von der Seite angesehen, die Gestalt einer Schale zeigt. Von oben betrachtet zeigt er sich in der Form eines Rades mit^ieboii Speichen (Uadien), welche von einem siebenseitigen grossen Centralring ausgehen. Zwischen den Kadieii liegen dreiseitige Aus- Vierzehn Arten von Bdellkleen. 71 IL BDELLIDEA rL'OCTUCHA Diksing. Traetus intestinalis unicruris s. simplex, auo stipatus; anii.s siipra acctabulum aut in centro acetabuli situs. TRACHELOBDELLA Die sing. Corpus 'pyriforvie depressiusculum, ürinsverse rugosum. Caput liemisphaericiim centro affixum, collo teretiuäcido retractiU a corpore discretum. Os term/'nale centrale amplam. Ocelli nuUL Acetabulum basäare sessile, apertura circidari i-ecta. G enitalium aperturae. . . Traetus intestinal Is unicruris s. simplex, ano stipatus; anus dorsalis suhbasilaris. — - Ovipara. — - Viscium marinoruin ectoparasita. höhlungen, mit abgerundeten Ecken. Die Mitte des Saugnapfes bildet eine siebeneckige Aushöhlung. Dieser wird also aus 7 Kadien und 8 Aushöhlungen gebildet, von welchen letzteren 7 in der Peripherie und eine in der Mitte liegen. Auf jedem der zwei äusser- sten Radien sitzt ein liorniger Haken mit nach hinten (aussen) gerichteter Krümmung und von einer Hülse umgeben, in welche das Thier nach Gefallen die Spitze zurückziehen kann. Der Haken ist sehr gross, mit einer langen scharf zugespitzten Krümmung und mit starken Muskelfasern zu seinem Aus- und Einziehen versehen. Er scheint seine Ansatzstelle an der oberen oder Rückenseite des Saugnapfes zu haben. Die Farbe des letzteren ist weiss und sein Durchmesser beträgt 2 Mm. Mit seiner Saugscheibe heftet sich das Thier an die AVand des Mastdarmes, ist aber auf diesem Fusse ziemlich beweglich, d. h. hebt und senkt sich häufig auf und ab. Hat es sich los gemacht, so rollt es sich nach der Bauchseite von Ende zu Ende leicht zusammen und streckt sich darnach sogleich wieder gerade aus. welche Bewegungen schnell uu'l oft abwecliseln und dem Tliiere ein munteres und lebendiges Ansehen verleihen. Über den inneren Bau bemerkt Hök Folgendes: Auf den Mund folgt ein stark aufgetriebener, zwiebeiförmiger und rausculöser Oesophagus, an dessen unterem Ende sieh der Darmcanal unmittelbar in 2 Zweige theilt, welche weit von einander getrennt, einer an jeder Seite, bis unter den Saugnapf hinablaufen, wo sie bei einigen Exemplaren in einander überzugehen und sich in der Mittellinie des Körpers zu vereinigen schei- nen; bei anderen aber gehen die beiden Darmzweige nicht bis zum Saugnapf, sondern endigen eine Strecke weit oberhalb dessel- ben, wie es scheint, mit blinden Enden. Der Penis läuft von oben aus der Samenblase in seiner Scheide zu der uterusähnlichen Anschwellung lünab , welche gleich vor den Oviducten liegt. Der Verlauf der Samengefässe konnte nicht mit völliger Gewissheit ermittelt werden, sie scheinen indessen ihren Ursprung zwischen den Schlingen des Ovariums zu haben und sich von da so allmäh- lich in ein Vas deferens zu vereinigen, welches in eine Samenblase einmündet, aus der die AVurzel des Penis hervortritt. Die weib- liche Geschlechtsöifnung steht gleich unter der Samenblase, wo der Penis hervortritt, und geht von da in eine zieudich lange Vagina, welche sich mit einer starken Anschwellung oder einem Uterus mit seiner Öffnung und seinen 2 Hörnern, die zu den Ovarien führen, endigt. Die Ovarien nehmen längs der Peripherie des Körpers eine sehr lange und ziemlich breite Strecke ein und verzw^eigen sich an beiden Seiten des Körpers nach aussen von dem zweiarmigen Darmcanale. Ihre reichlichen Verzweigungen sammeln sich in 2 grosse und starke Oviducte, deren jeder von seiner Seite kommt und mit dem anderen in der Mittellinie des Kör- pers, gleich unter der uterusähnlichen Anschwellung zusammenläuft. Von den eingeschlossenen Eiern sind die Ovarien und die Oviducte hellgelb gefärbt. Die Gestalt und der Bau der Eier konnte nicht mit Sicherheit bestimmt werden. — Die Verzweigungen des Gefässsystemes sind schwer zu verfolgen; die vordere Hälfte des Körpers scheint besonders reich an denselben und von ihnen durchkreuzt zu sein. Ausgangspuncte oder Hauptstänime wahrzunehmen ist nicht gelungen. Derjenige Tlieil der Körperraitte, welchen die beiden Darmschlingen einschliessen und welcher unterhalb der aus den Ovarien zusammenlaufenden Oviducte liegt, ist ganz und gar voll von körnigen Anhäufungen , welche kleine symmetrische Felder einnehmen. Ob diese Häufchen eigenthümliche Drüsen oder nur Kalkgebilde sind, muss noch unerörtet gelassen werden. Vom inneren und unteren Theile des Körpers gehen strahlenförmig 3 starke Muskelbündel aus, deren convergirende Enden sich über (oder auf) dem Saugnapf anheften und deren Wir- kungen sicher darin bestehen, dass sie den Vordertheil des Körpers heben oder senken, wenn das Thier mit seinem Fusse oder mit der Scheibe des Saugnapfes angeheftet sitzt. Oberhalb der Mundöffnung liegt ein Nervenganglion, welches nacli beiden Seiten viele und starke Nervenzweige aussendet, deren Verlauf jedoch schwer zu verfolgen und zu bestimmen ist. Die beiden von Hök beobachteten Haken auf zwei Scheidewänden des Saugnapfes wurden bei wiederholter Untersuchung auch hier aufgefunden, obwohl sie weniger hervorstanden. 72 ' Karl Moritz Diesing 1. TruchelnhdelUi IfMüUeri. Tab. II. Fig. 1— G. Corpus albo-flavimij viarginibiis siihmtegris. Colin vi longum. Longit. cor'p. 4'"; lata. 4'"; longit. colli 3'"; hitit. %'"• TrachclohdeUa MiUIeri Dies.: Syst. Helm. I. 435. Hahitaculum: Gohiiis Caj)ito: ad branchia (Joannes Müller). Von dieser neuen Egelgattung theilte mir mein liocliverclirter Gönner der geheime Medicinalratli Job. Müller bei meinem Aufenthalte zu Berlin im Jahre 1847 einige Exemplare mit, die er auf den Kiemen des Gohius Capito gesammelt hatte. 2. Vrachelobdelta Miolltiri. Tab. II. Fig. 7—10. Corpus lacteum^ marginibus profunde crenatis. Collum breve. Longit. corjy. iVo — 4y/"; latit. %— iy/"; longit. colli %— Sy/",- latit. %—%'". TrachelohdeUa KoJlari Dies.: Syst. Helm. I. 436. Habitaculum: Pr iacanthus macrophthalmus, e Brasilia: ad branchia (Kollar). Im Jahre 1843 von Gustos Kollar auf den Kiemen des ausBrasilien siamm&n^&n Priacanthus macroph- tiialnms in 4 Individuen verschiedenen Alters gefunden. PODOBDELLA Diesing. Cor]) US ellipticum depressum^ supra convexum., subtus pilanum ^ dense annidato - plicatum. Caput liemispliaericum centro affixtim^ collo teretiuscido retractili brevi a corpore dis- cretum. Ocelli nidli. Acetahulum longe pedicellatum, oblique truncatum, pedicello tere- tiusculo hasilari. AjJertiira genitalis viascida . . .^feminea antrorsum sita ad annulum decimuvi. Tr actus intestinalis unicruris s. simplex ano stipatus- anus dorsalis ad hasin pedicelli. — Ovipara. — Piscium marinorum ectoparasita. PotloUtleUa M^tttlliclieri. Tab. II. Fig. 11 — 18. Corpus albo-flavum. Longit. corp. 4 — o'"; latit. 2'/l"; longit. colli "//'; latit. 1'"; longit. pedicelli 2'/:":, latit. %'". I'odol/della Endli'cheri D\e^.: Syst. llclm. I. 436. Habitaculum: Corvina oscula: ex America septentrionali : ad brancliia (Kollar). Auch diese ausgezeichnete Gattung wurde von meinem Freunde Kollar in 3 Exemplaren auf den Kie- men der nordamerikanischen Corvina oscula im Jahre 1843 gefunden. Vievzch» Aiiei» ran VtiliUitlanK PONTOBDELLA Leach Corpus eloiigatum cylindricum v. depressum, aiiitidatam r. /ticve. verruco.suhi v. nadum. Caput hemisphaericuvi exeentrice affixum, coipore continuum v. cnllo diacretum. (Js excentriciun inferum. Ocelli (I). Acetab nliim haülctre campanulatum centro affixum. )iudum, capife ut plurimum minus, renis ad colli hasin^ apertnra fcminea iufra peneni. Tractus intestinal is unicruris s. siinjjlex, ano .sfi/xifns: kihls dm'sali.s .sHp)-a. acef<d>idiun. Ov ipar(t. — Piscium marinorum ectoparasita. • PontohdeUa depressa. Tab. II. Fig. 19 — -26. Corpus depressum lange ellipticiim, annulatuvi, cinerco-ßnrum. rcrrucis di-pressis rimnsis. Col- lum lineare annulis S — Ö, alternatim papillosis. Caput aupra inacalis daabus tricaspidatis nigris juxtapositis. Acetahulum capite maj'us. Longa, cnrp. ultra 2'/^'; latlt. idtra 7'": longit. colli 4'"^ latit 2'/^" . I'on/ol/ilella depressa Kroyer in litteris. — Dies. : Syst. Helm. I. 438 (exci. synon.). II ah i tue ul um: In mare Indiae occidentcdis (Kroyer). Diese von Dr. Kroyer im wcstiiulisclicii Cicero gesammelte Art wurde mir oliiio niilicre Aiigalic ihres Aufeiitiialte.s zur Ansielit gefälligst mitgethcilt und die vorliegende Abbildung darnach angefertigt. Die von Li nne in der 12. Auflage seines Systems IL 1079 als Hii-udo üidica: depressa, fusca, striis tra/isrersis muricatis centum cliarakterisirte Art, welche sammt den hierauf ])egründetcn Synonymen im Systema Ilelnu'/itltuin i'vaglieh zw Ponto/jdeltd depressa gezogen wurde, muss , da von den gegebenen Charak- teren eigentlich nur corpus depressum auf die letztgenannte Art passt und Linne's Egel Ostindien, der von Krover gefundene, aber Westindien zum Vatcrlande iiat, als specifiscli verschieden betrachtet werden. ICHTHYOBDELLA Blainvillej Corpus elonqatu'in, teretiusculum r. dep>ressum, antrorsum parum angustatuin, obsolete annula- tum. Gap)ut disciforme, circulare v. subellipticum., parum excavatum, exeentrice affixum.. corpore continuum r. collo discretum. Os exiguum excentricum inferum. Ocelli 4 — 8 nigri. Acetabulum simplex, hasilare, sid)elUpticuvi ^ exeentrice affixum.. capite majus. Penis ad colli basin, ap)erfurafemi?iea infra penem. Tr actus intestinalis unicruris s. siniplex ano stipatus; an u s dorscdis supra acetabulum. Ovipara. — Piscium praeprimis fluvia- tilium ectoparasita, larvaritm geomeirarum in morem ingredientia. ') Die in dem im Jahre 1850 erschienenen I. Bande des Sijslema Heliiünthnm noch iii.;lit aulVeiiümmcneii, odi'r seitdem als neu beschriebenen Arten sind: 1. Ic/ithyobdeUa (EaemochaTls) agUis Quatrefages in Cuvier Kegn. anim. Kdit. :*. Anncl. Taf. XXIII. 3. (sine descript.). ■2. Ichlhijobdella sanguinea Oerstedt: De region. marin. IS4i. 8ü (solum nomen) cum tab. 3. Ichthijohdena (Piscicola) inarina Anarrhiehae Lupi in caco oris et hranchiarum Lcuclcart nee .lohnst., in Wieg- mann's Arch. 1849. 1. 155. Taf. III. 2 und Örube Farn. d. Annel. 1851. 112 u. 150. 4. IclUhijobdella (Piscicola) respirans üarbifluviatilis ad pinnasT vo&chel \n W iegman n' s Arch. IS.jü. I. 17— iMi. I'at. II. A — E (mit Anatom.). iJciikÄchriften der in.alliem.-natur\v. CI. XIV. lid. 74 Karl Moritz Diesing. Mchthyohdelta stellata, Tab. II. Fig. 27 — 30. Corpus depressum obsolete annulatum^ utroque margine papillosum , cinereo-album , punctis stel- latis nigris undique adspersum. Caput albo- einer eum^ nigro - pionctatuvi. Ocelli quatuor, supremi lineares, postici subrotundi minores. Collum subconicum, marginibus haud papillosis. Acetabulum albo-cinereum, nigro-punctatum, limbo stellis majoribus 8 — -10 cincfum. Longit. Gorp. 4 — 12'" ; latit. 1 — 5"'; longit. colli 1 — 5'",- latit. "/.s — l'/s"- Tchthyobdella stellata K o 1 1 ar in litteris c. icone. — Dies. Syst. Helm. I. 441. Habitaculatum: Cyprii'^rum species variae praeprimis Barbus communis, Febru- ario et Martio : in corporis superßcie. — Lota communis, Januar io : ad branchia, Vindobonae (Kollar). Auch diese durch die schwarzen .sternfVirmig'en rigmentzellen bezeichnete Art fand mein bewährter Freund Kollar im Jahre 1843, im ersten Frühling auf der Körperoberfläche mehrerer Karpfen-Arten des Wiener Fischmarktes, darunter vorzüglich auf der Barbe, sowie auch im Jänner an den Kiemen der Aalrutte. Die hier gegebene Abbildung wurde unter seiner Leitung ausgeführt. Ichthyohdella Cichlae. Tab. III. Fig. 1 — 3. 4—7? >). Co rp US teretiusculum, obsolete anmdatum, olivaceum. Cap u t ellipticum, corpore concolor. Ocelli... Collum conicum. Acetabulum ferrugineum. Longit. corp. 2'"; latit. ^/J"; longit. colli '/J". Jchthtjohdella üicldae Kroyer in litteris. — Dies. Syst. Helm. I. 442. Hab itaculuvi: Cichla brasiliensis: in corporis superficie, ad Bio de Janeiro (Kroyer). Dr. Kroyer fand von dieser Art einige Exemplare zu Rio de Janeiro auf der Cichla brasiliensis und theilte mir dieselben gefälligst zur Ansicht mit, nach welchen diese Abbildung gemacht wurde. Augen konnten nicht wahrgenommen werden. SRANCHIOBDELLA Rudolphi-) chakact. emendato. Corpus elongatum depressum, antrorsum angustatum, annulatuvi, idroque margine in branchias foliaceas per paria dispositas productum. Caput disciforme, parum excaratum, excentrice affixum. Os excentricum inferum. Ocelli 4 aut 8 nigri. Collum laeve v. anmdatum ebranchiatum. Acetabulum basilare orbiculare, excentrice affixum, capite majus. Benis ad colli basin , ap erturafeminea Tr actus int est i n a l i s unicruris s. simplex, ano stipatus ; anus dorsalis supra acetabulum. Ovipara. — Bis dum marinorum ectoparasita. Nach Lo)Mlig in Zeitsch. f. wissensch. Zool. III. 320 und Quatrefages in Annal. des sc. nat. 3. ser. XVIII. 279 sind die seitlichen Fortsätze der Leibesringe allerdings wirkliche Kiemen und es ist der Gattungscharakter darnach verändert worden. ') llinsiclitlich der an Fig. 4—7 bemerkbaren Unterseliiede vergloiclie die Erklärung der Abliildungen. ^) Als neue .Vrt wurde beschrieben : BrannliiobdcUa (Branchellion) orbiniensis Torpedinis Quatrefages: in Aiuial. des sc. nat. 3. siir. XVIII 283 cum icone et anatom. Vierzehn Arten von BdelUdeen. 75 BfanchiohfleUa Scolojtetulra, Tab. III. Fig. S— 13. Corpus fusco-cmmeimi , siibaeqiiale^ utrinque parum angustatum, anntd/'.s (li.stinctis 34 — 42, In-anchlifi remiformihus hreve pedicellatis integris, hyalinis gramdis adsp)ersis, marginibus in- feris inflcxis. Caput palUde flavesccns. Ocelli quatuor^ hiniin lineam transversam dispo- siti. Collum obovatum basi anguatatum, exannulatum, diaphanuni, capite concolor. Ace- tabuluvi palUdeflavescens intus granulosum. Longit. corp. 8 — 10'"; latii. 2'"; longit. brauch, yj"; longit. colli 2 — 3'"; laut, ultra 1" . Branchiobdella Scolopendra Dies.: Syst. Helm. I. 444. Hab itaculum: In superficie corporis eujusdam piscis, in Brasilia (Natterer). Die beiden Exemplare, aufweiche sich die Beschreibung; dieser Art gründet, winden von Joh. Natte- lus Brasilien mit mehreren anderen nat Angaben über das Vorkommen, eingesendet. ]-er aus Brasilien mit mehreren anderen naturhistorischen Gegenständen in Weingeist, ohne alle näheren CLEPSINE Savignyi). ! Corpus depressum dilatatum, annulatum, supra convexiusculum ., sidjtus planum v. excavatum. Caput subdiscretum v. corpore continuum. Os subterminale anticum, transverse ellipticum, bilabiatum., haustello brevi protractili. Oc eilt 2, 4, G aut S, utplurimum in lineas duas longitudinales dispositi, nigri. Acetabulum subbasilare ventrale., centro affixum. Aper- turae genitales inter 25. et 26., 27. et 28. corporis annidum. Tractus intestinalis unicruris s. simplex, ano stipatus ; anus dorsalis supra acetabulum. Ovipara aut vivipara, pidla ventri materno adhaerentia; larvarum geometrarum in morem ingredientia , nunquam natantia , in se7niglobum contracta ventri toto affixa utplurimum quiescentia. — Aquarum didcium incolae. Clepsine carinata, Tab. III. Fig. 14 — 17. Co rp u s subcartilaginosum, obovatum, plano-depressum, antrorsum angustätum, segmentis distmc- tis medianis octo, et totum corpus annulis angustis aequaliter dispositis ad 60 cinctum; supra convexiusculum , fusco - oUvaceuni , papillosum , carina longitudinali mediana distincta et utrinque duabus lateralibus minus distinctis provisum, subtus planum v. concavum, pallidum, haud papillosum. Caput corpore continuum. 0 c eil i 2 juxtapositi subterminales valde approximati. Acetabitlum orbiculare. Longit. 5 — 9"'; latit. 3 — 5'". Clepslne carinata Dies.: Syst. Helm. I. 450. JI ah itaculum: Clemmijs caspica: in corporis superficie, prope Aleppo (Kotschy). ') Nachzutragende Arten sind : 1. Clepsine verrucata V. Müller: De liinul. circa Berolin. observ. dissert. 1844. 23. u. Grube Fam. d. Anncl. 113 u. ISU. 2. Clepsine (Glossiphonia) eachana Thompson; in Ann. nat. bist. XVIII. (1846) 389; vergl. auch Siebold in Wiegmann's Arch. 1850. 2. 374. 10* 76 Karl Mm-itz Diesing. Die kaiserliche Sammluag besitzt mehrere Exemplare dieses Egels, welche der rühmlichst bekannte Reisende Theodor Kot sehr zu Aleppo auf der Körperoberfläche der (Jlemmys caspica sammelte und dem Museum im Jahre 1839 zusandte. PINACOBDELLA Diesing. charact. emendato. Corpus elongatum subcijlmdricum^ utrinque^ antrorsum insuper in coUum attenuatum, scutellato- tabulatum, scutellin s. tabuh's duriusculi'i semlcircularibus , dnrsalibus 17 et totidem ventralibiis, sutura utrinque marginali longitudmali sinuata sejunctis; cancdicido undidato dar sali et sulco ventrali recto, medianis aequilongis. Caput collo contitiuuni. Os terminale labio supero semicircidari tectum , labio infero brevissimo, viaxillis internis trihus cartilagineis pyramidali- bus triquetris . apicibus convergentibus. Ocelli nulli. Acetabulum simplex subbasilare. ventrale^ centro affixum, orbicidure. Aperturae genitalium. . . Tractus intestinalis unicriiris s. simplex, ano stijyatus: onus dorsalis supra acetabulum.. Ov ipar a. — In lacubu-s Georgiae. Pinucohdella Miolenatii. Tab. lil. Fig. 18—24. (Jnrpus scutellis dorsalibus et ventralibus ruhro-bruiineis, trausverse nigro-fuscn-i^triatis, granaln- tis. Collum aiDiulis ad 15 uj/gusfis cinctuni. Longit. corp. ad 10' "; crassit. medin 2": lungit, colli l'/.j"; crassit. y/". llirndo Gcoryianiis Kolenati in litteris. Pinacobdella Kolena/ü Dies, in Icoii. zoograpli. Feril. I. Imperatoris. — Syst. Helm. I. 4öS. 11 abit aculum. In lacu Sullü-gliöll (lacus Ilirndinnm) . in parte boreali prorinciae Karabagli (Kolenati). Diese Gattung, welche »ich durch die, eine Art Panzei- bildenden, tafelförmigen Schilder am Leibe aus- zeichnet, wurde von Professor Kolenati auf seiner meliriithrigon Heise im Kaukasus in dem Gebirgssee Sullü-ghöll (Blutegelsee) im nördlichen Karabagh entdeckt und davon nach seiner liückkehr im Jalirc 1847 ein Exemplar der kaiserlichen Sammlung überlassen. TYPHLOBDELLA Diesing. Corpus .mblanceolatum semiteres, annidis 61 — 93 laevibus. Caput corpore contimmm. Os ter- minale, labio sup>ero semielUptico , infero subnullo, viaxillis internis tribus .semicircularibu-s margine crenidatis, ■pli.ca longitudincdi sub .singula maxilla. Ocelli nulli. Acetabulum simplex subbasilare, ventrale, centro affixum, orbiculare. Penis in anuulo 25.: apertura femin ea inter annulum 29. et 30. Tractus intestinalis unicruris s. simplex, ano sti- p>atus: anus dorsalis supra acetabulum. Ov i pa r u. — In aquis dulcibus subterraneis. Genen Trochetae oinnimi affiiiin. ucdlonnii defecia iionnisi discn-pans. Vierzeh)! Arten von BdeUkleen. . 11 Vyithlobtlella Miovdtst. ■l'.ib. 111. i-'ig. -iö— :ii. Corpus antrorsiim in colli speciem atienuatum, supra convexum, nigro-olivaceum, subttis planum, cinereo-flarum. Longit. ad 2"; latit. anfrors. 2"; media 5'": diamet. acet. V'.l" . Tiiphlohdella A'oi'(i<s/ Di es. in Icon. zoograpli. Fcid. I. Iiniieiatoris. — Syst. Holm. I. l.')9. — Sclimidl in Sit/.iingsbericliten clor kais. .Vkail. XXII. (ISSti.) 2. Ueft. 092. Ifabitaculuin. hi aqnis tsuliterraneisspeluncaeAggtelekiensiainHungarialKoväts e.tScIi midi). DicscM- l-li^elwurui wurde zuerst von Dr. Koväts, ihn- mir davon ini.Jahrc 1847 di'ei Exemplare mitthcilte, in der ßarndla-IIolile bei Aggtelek im Gümiircr Comitate entdeckt. I)r. Selimidl. welcher im August des Jahres 1856 diese Höhle besuchte, fand denselben auf dem schlammigen weichen Grunde der entfernteren Lachen. Die Egel lagen meistens ganz i'uhig und bewegten sich erst, wenn die Hand ihnen näher kam, dann aber suchten sie rasch zu entfliehen. Sie kommen nicht gar zu selten vor und bei sorgfältigem Nachsuchen dürfte nicht leicht eine der grösseren Lachen, und selbst in ruhi- gen Buchten des eigentlichen Flussbettes, die dem ITfer nahen breiteren Stellen ohne ein oder mehrere Exem- plare getrotlen werden. Die mir durch Dr. Seh midi gefälligst mitgetheilten drei noch frisch erhaltenen Exemplare haben mich noch in die angenehme Lage versetzt, sowohl die genaue Färbung und Zeichnung ihres Leibes als auch die bestimmte Stellung der beiden Geschleclitsötfnungen angeben zu können. » 78 Karl Moritz Dieaiiig. ERKLÄEUNG DER ABBILDUNGEN. TAFEL I. Fig. 1 — 3. Plagiopeltis dupllcata Thyiini brachypferi. 1. Thier in natürlicher Grösse; 2. dasselbe 6mal vergrössert. Am Hinterrande des nach rückwärts spateiförmig verbreiterten Leibes liegen auf der Bauchseite die acht doppelten, in eine Reihe gestellten Saugnäpfe; 3. Einer dieser doppelten Saugnäpfe, 30mal Tergrössert. Der untere und grössere ist ziemlich flach, elliptisch und mit einem breiten Rande rersehen; der in der Mitte desselben liegende obere und kleinere ist querelliptisch mit ein- geschlagenen Rundern. Fig. 4 — 10. Plectanocotyle el/iptica Lalracis mucronaii. 4. Thier in natürlicher Grösse; o. dasselbe IGmal vergrössert. Auf der Bauchseite am Hinterrande sieht man die C in eine Reihe gestellten Klaramerorgane; G. Vorderende des Thieres. an 32mal vergrössert, von der Bauchseite mit den 2 neben einander stehenden halbkugelförmigen Saugnäpfen; 7. ein einzelnes Klammerorgan des Hinterrandes, von oben betrachtet mit den beiden entgegengesetzten halbkugeligen Klappen. Jede dieser Klappen besteht aus 2 hakenförmigen mit den Spitzen gegeneinander gebogenen und einer mittleren kürzeren geraden Stütze, welche durch eine Haut mit einander verbunden sind. Alle diese Stützen sind hornartig und gegliedert; 8. ein solches Klammerorgan theilweise und 9. beinahe ganz von der Seite gesehen; 10. eine der mittleren geraden Stützen. Fig. 7 — 10. 64mal vergrössert. Fig. 11 — 15. Encoiyllahe Nordmanni Bramae Bayi. 11. Natürliche Grösse des Thieres; 12. Thier von der Rücken- und 13. von der Bauchseite gesehen. Beide Figuren IGmal vergrössert. Die Seitenränder des flach elliptischen vorne abgestuzten Leibes sind gegen die Bauchseite eingeschlagen. Der glockenförmige Saugnapf sitzt auf einem ziemlich langen Stiele der fast am Grunde an der Bauchseite angeheftet ist; 14. Vorderende von der Bauchseite gesehen mit den beiden nebeneinanderliegendfen rauscheiförmigen, der Länge nach gefalteten Sauggruben und der darunter liegenden länglichen, den Sauggruben an Form nicht unähnlichen aber mehr gestreckten Slundöfi'nung; 15. der Saugnapf mit seinem schmalen zurückgebogenen häutigen Rande und den beiden kegelförmigen, an der Spitze stark gebogenen und sich nähernden Haken in seiner Mitte. Fig. 14 und 15, 32 mal vergrössert. Fig. IG— 20. Calicotyle Kroyeri Bajae radiatae. IC. Thier in natürlicher Grösse; 17. dasselbe von der Rücken- und 18. von der Bauchseite ; auf beiden Seiten des Körperrandes scheinen die rostfarbigen Eierbehälter durch. Die Bauchseite zeigt unter- halb des querelliptischen Mundes die schief neben einander gestellten Gesehlechtsöffnungen und den grossen Saugnapf, dessen innerer Raum durch sieben Scheidewände, welche vom Centrum nach der Peripherie laufen, in sieben Fächer getheilt ist, und die beiden Haken auf 2 Scheidewänden. Beide Figuren IGmal vergrössert; 19. ein Individuum mit eingeschlagenem Vorder- und Hinterrande in natürlicher Grösse; 20. dasselbe IGmal vergrössert. Der Saugnapf erscheint hier von der Seite und zeigt seine becherförmige Gestalt von sieben breiten abgerundeten Längsrippen umgeben. TAFEL IL Fig. 1 — G. Trachelobdella MiUleri Oolii Capitonis. 1. Thier in natürlicher Grösse; 2. dasselbe 4raal vergrössert. Der Kopf sitzt auf einem ziemlich langen drehrunden Hals; die Ränder des quergerunzelten Leibes sind fast ungekerbt; 3. der halbkugelige saugnaptahnliche Kopf, von der Seite; 4. der Kopf gegen die Mundöffnung hin gesehen. Fig. 3 und 4, 8mal vergrössert. 5. Schwanzende von der Rückenseite mit dem über dem Saugnapf gelegenen After; 6. Schwanzende von der Bauchseite mit dem kreisrund geöffneten Saugnapf. Fig. 5 und 6, 4iiial vergrössert. Fig. 7 — -10. Trachelohdella Kollari Priacanihi macroplithaliiü. 7. 8. 9. Individuen von verschiedener natürlicher Grösse; 10. das grösste derselben 4mal vergrössert. Der halbkugelige saugnapfähnliche Kopf sitzt auf einem kurzen Halse, die Ränder des quergerunzeltcn Leibes sind tief gekerbt. Fig. 11 — 18. PodohdeUa Endlicheri Corcinae osculae. fl. Thier von der Riickenseite mit eingezogenem Halse; 12. Thier von der Bauch- seite mit eingezogenem Halse, aber siclitbarem Kopf und Saugnapf; 13. Tliiervon der Bauchseite mit ausgestrecktem Halse. Vierzehn Arten von Bdellidecn. 79 Fig. n — 13 in natüiliclier Grösse. 14 und 1,"), Iinliviiluoii von ilcr Bauchseite gesellen. 3nial vorprü.-ispi-t, bei einem dcisel- ben ist der Hals ausgestreckt und die MiindiilVnung des liomisphärisclicn Kopfes in dii'seni Zustamlc iireist'iirnii"; das andere Exemplar hingegen zeigt den Hals zuriielvgezogen, wo dann die MundölVnung hallmiondlormig erscheint. Der Leib beider Individuen ist dicht von ringförmigen Falten umgeben, auf seiner Bauchseite am 10. Ringe liegt die weibliche Geschlechtsöffnung und am Hinterende der schief abgestuzte Saugnapf an seinem langen drehrunden Stiele. 16. Thier von der Seite gesehen, ebenfalls 3mal vergrössert. Auf der Riickenscite am Grunde des Stieles befindet sich der After; 17. Vorderende von der Bauchseite mit eingezogenem Halse und iler lialhmondförmigen MiiMdniVnung, 9mal vergrössert; 18. Hinterendc des Stieles mit dem Saugnapf, 9mal vergrössert. Fig. i;1 — id. Pontobdella depresaa. 19. Thier in natürlicher Grösse in halbgewendeter Stellung. Das Vorderende erscheint vom Rande gesehen, während das Hinterende mit der breiten Riickenfläche dem Beschauer zugewendet ist; 20. dasselbe Individuum in Randansieht, '21. von der Rücken- und 22. von der Bauchfläehe aus gesehen. Der flachgedrückte lang elliptische geringelte Leib ist mit Warzen besetzt. Der gleich breite Hals besteht aus 8 — 9 Ringeln, welche abwechselnd mit Wärzchen verschen sind. Der napfförmige Kopf trägt 2 schwarze Flecken. Der Saugnapf übertrifft den Kopf an Grösse. 23. Kopf von der Rückenseite gesehen, mit den beiden dreizackigen schwarzen Flecken; 24. Fragment des Halses mit einem warzigen Ringe 2ö. ein Leibesring mit den flachgedrückten, auf der Oberfläche rissigen Warzen, von der Rückenseite; 2G. ein solcher Ring von der Bauchseite mit kleinen gleichmässig vertheilten Warzen. Fig. 24 — 26, 2mal vergrössert. Fig. 27 — 30. IclithyobdeUa sielhifa Barbi communis. 27. Thier in natürlicher Grösse, ganz ausgestreckt; 28. dasselbe in der Stellung des Fortsehreitens; 29. dasselbe 8mal vergrössert. Der Leib ist flachgedrückt, undeutlich geringelt, an den Seitcni'ändern warzig mit schwarzen, sternförmigen, auf seiner Oberfläche zerstreuten Pigmentzellen. Der fast kegelförmige Hals ist ohne Warzen an seinen Rändern. Der Kopf trägt 4 paarweise gestellte Augen, von denen das vordere Paar linienförmig, das hintere aber fast kreisrund und kleiner ist. Der Saugnapf zeigt ausser den kleinen schwarzen Punkten, noch 8 — 10 grössere sternförmige schwarze Pigmentzellen, welche seinen Rand umgeben; 30. ein Theil der Körperoberfläche, 24mal vergrössert, um die sternförmigen Pigmentzellen deutlicher zu zeigen. TAFEL IIL Fig. 1 — 3, 4 — 7 ? IchthyobdeUa Cichlae brasüiensis. 1. Thier in natürl. Grösse ; 2. u. 3. Thier 12mal vergrössert in zusammengekrümmter und ausgestreckter Stellung, so dass Kopf und Saugnapf bei einer Figur von oben, bei der anderen von unten zu sehen sind. Ob der auf Fig. 4 — 7 dargestellte grössere Fischegel, der sich durch deutlichere Ringelung des Körpers, durch den im vorderen Theile des Leibes befindlichen, durch hervorstehende Ringe gebildeten Gürtel, innerhalb welchem eine Geschlechts- öffnung liegt, durch den gekerbten Rand des saugnapft'örmigen Kopfes und durch die gekörnte innere Fläche des Kopfes und Saugnapfes unterscheidet, nur als Altersverschiedenheit zu betrachten sei, oder eine besondere Art bilde, muss hier unentschieden bleiben. Fig. 4. in natürlicher Grösse; Fig. 5 und 6. 12mal, Fig. 7. 24mal vei'grössert. Fig. 8 — 13. Branchiobdella Scohpendra. 8. Ein grösseres Exemplar von der Rücken-, 9. ein kleineres von der Bauchseite gesehen, beide in natürlicher Grösse; 10. ein Exemplar 4mal vergrössert von der Rücken- und 11. dasselbe von der Bauchseite. Auf dem saugnapfförmigen Kopfe sieht man die 4 Augen, welche zu 2 Paaren in einer Querlinie stehen. Der Hals ist unge- ringelt, verkehrt eiförmig, am Grunde wieder verschmälert und durchscheinend. Der ziemlich gleichbreite, vorn und hinten etwas verschmächtigte geringelte Leib liat jederseits eine Reihe ruderförmiger kurz gestielter Kiemen. Der kreisförmige Saugnapf ist an seiner inneren Fläche gekörnt; 12. 3 Leibesringe mit den entsprechenden Kiemen, um deren Anheftung genauer zu zeigen, Ißmal vergrössert. Der untere Rand der Kiemen ist eingebogen, ihre Fläche ist mit Körnchen besetzt; 13. eine einzelne Kieme, ebenfalls 16mal vergrössert. Fig. 14 — 17. C'Iepsine carinata Clemmydis caspicae. 14. Thier von der Rückenseite in natürlicher Grösse; 15. dasselbe von der Rücken- und IG. von der Bauchseite, 3mal vergrössert. Der verkehrt eiförmige, vorn verschmächtigte flache Leib ist seiner ganzen Länge nach mit gegen CO schmalen, unter sich gleichen Ringen versehen und zeigt in seiner Mitte acht breite Segmente, deren jedes sich über mehrere Ringe erstreckt. Am Vorderende der Rückenseite liegen die 2 einander sehr genäherten Augen. Die convexe warzige Rückenfläche zeigt einen mittleren deutlichen Längskiel und jederseits zwei weniger deutliche Seitenkiele; die flache oder ooncave Bauchfläche hat keine Wärzchen; 17. Vorderende von der Bauchseite, Bmal vergrös- sert; der kurze einziehbare Saugrüssel ragt aus dem Munde hervor. Fig. 18 — 24. Pinacobdella Kolenaiii. 18. Thier in natürlicher Grösse, von der Rückenseite; 19. dasselbe von der Rüokenseite; 20. von der Randseite; 21. von der Bauchseite. Fig. 19 — 21. 2mal vergrössert. Der fast drehrunde, nach beiden Enden, nach vorne aber in eine Art von Hals, der ungefähr 15 schmale Ringe zeigt, verschmächtigte Leib ist von 17 halbkreisförmigen härt- lichen oder pergaraentartigen gekörnten Rücken- und Bauchschienen umgeben, zwischen welchen jederseits eine vf ellen- förmige Längsnath herabläuft. Die Rückenlinie wird von einem wellenförmigen Canale und die Bauchlinie von einer geraden Längsfurche, beide von gleicher Länge, durchzogen. Der etwas gegen die Bauchseite gewendete Saugnapf ist kreisrund; 22. Kopfende von der 'Bauchseite gesehen, 4mal vergrössert. Die Mundöffnung wird durch die halbkreisförmige grosse Oberlippe bedeckt, während die Unterlippe äusserst kurz ist; 23. das Innere der aufgeschnittenen Mundhöhle mit den 3 knorpeligen dreikantigen, mit ihren Enden einander genäherten Kinnladen 8mal vergrössert ; 24. Hinterende von der Bauchseite mit dem kreisrunden Saugnapfe , 4mal vergrössert. 80 Karl Moritz Diesing. Vierzehn Arten von Bdellideen. Fig. 25 — 31. Tijphlohilella Korafsi. •2.5. Tbier von der Kücken-, "20. dasselbe von der Bauoliscite gesehen, in natürliclier Grösse. Der fast lanzettföniiige diclitgeringelte Leib ist vorne in eine Art Hals verschmäcbtigt, oberhalb gewölbt, unterhalb flach. Der After liegt auf der Uiickenseite gegen das Hinterende zu. Die Geschleclitsöffnungen befinden sich in der vorderen Hälfte des Leibes auf der Bauchseite, die männliche, aus welcher der Penis hervorgestreckt ist, auf dem if>.. die weibliche zwischen dem "29. uiiil ."50, Leihesring. Der etwas gegen die Bauchfläche gewendete. Saugnapf ist kreisrund; 27. Kopfende gegen die Mundöft'nung zu und 28. dasselbe von der Seite gesehen, beide 4mal vergrössert; die obere Lippe ist halbelliptisch; die untere fast versclnvindend; 20. die 3 inneren halbkreisförmigen, am Rande gekerbten Kinnladen; 30. Kopfende der Länge nach aufge- schnitten mit den in dieser Lage neben einander ersclieiuenden Kinnladen und den Längsfalten, von welchen eine unter jeder Kinnlade herabläuft. Fig. 29. und 30. 8mal vergrössert; 31. ein Stück des Leibes von der Bauchseite gesehen mit den beiden Gesohlechtsöffnungen und dem hervorgestreckten Penis 4mal vergrössert. I Dirsine' l'fbcr Vier'/.elin Aiirii von HilellKlrrii TaM. i '7. M '^;^ ^.StiiwaTucieTa Jifiner del neiiksclmflen dfr k Akaid Wissensch mathem.nBHinv.CLXIVBd. 1851. Diesiiitj'. l'eber Viersfhn Arten von Udrilidrrn T.ir' ^^VJ '-J ff- f f /r f z/. zx. J/- ■!V .-■.■•*>•. "/-■ ^ .1 xs: 30 Dfnksi'Uriflfii rterk.AkaiLiVWis.snisrli iiiall'cm ii.ilnr«- (1 XIV Ud 1851 liihn 6-:.liä,lc.iHof-u.St3 iiidtucktr» Uirsiiiß l'ehfr \ ifrv.ehn Arlrii von lidpllidcrii . Taf. 111 '/. C3:> a zs. DeakschTiftfii ierk-AkaAd.\\'issensclL.matiifni ii.iiuni ri.XIV'U(l.l85i , -it dick Hof -i ."'.f' ;i.st!r';r,,-rr- Zweite Abtheilung. Abiiaiullungen a oii Nicht-Mitgliedern der Akademie. Mit 3 Tafeln. ÜBEK DIE AUFLÖSUNG EINES SYSTEMES VON MEHREREN UNBESTIMMTEN GLEICHUNGEN DES ERSTEN GRADES IN GANZEN ZAHLEN. Von Dk IGNAZ HEGER. VORGELEGT IN DEK SITZUNG DEK MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 24. JULI 1856. Vorbemerkung'. ± robleme der unbestimmten Analytik haben wohl bisher im Allgemeinen nur eine sehr untergeordnete Anwendung in der Analysis gefunden; von dem vorliegenden Probleme jedoch kann dies nicht mehr gesagt werden; dasselbe hat vielmehr für die verschiedensten Gebiete der Analysis eine nicht geringe, nur bisher wenig beachtete Wichtigkeit. Es lassen sich solche Fälle in grosser Anzahl aufführen. Hier mögen einige Beispiele genügen. In der Theorie der höheren Buchstabengleichungen handelt es sich sehr häufig um die Auflösung eines Systemes von binomischen Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbe- kannten, wie z. B. und diese lässt sich auf die Auflösung eines Systemes von zwei Gleichungen des ersten Grades: iß) m^ ^nrj = i , 2)^+qyj=j mit vier Unbekannten: |, rj, i,j in ganzen Zahlen zurückführen. In der That kann man die Genüge leistenden Werthe von x und 1/ darstellen, in der Form: wobei c und 3j reelle Zahlen bedeuten, die so zu wählen sind, dass die aus den Gleichungen (/?) gezogenen / und^ ganze Werthe erlangen. Solcher Werthe ^, t^ lassen sich unendlich viele auffinden; allein für die beabsichtigte Auflösung der Gleichungen («) sind nur jene von Wichtig- keit, die nicht um ganze Zahlen von einander differiren , weil nur diesen ^, :y stets andere und Jienksrhriften der matheni.-naturw. Gl. XIV. Bd. Ahhandl. v. Nichtmitgl. «1 2 Ignaz Heger. andere Werthe von x und y entsprechen. Um sich diese beschränkte Anzahl von Werthen |. yj zu verschaffen, hat man mit der Auflösung des Systemes (/?) in ganzen Zahlen nach den vier Unbekannten |, ^, i,j zu beginnen und findet so drei specielle Auflösungen: erstens: die unmittelbar ersichtliche: i ^o,j = o-. zweitens: die i^=n. j ^o, wo /i den numerisch klein- sten ganzen, von Null verschiedenen Werth von i bedeutet, dessen diese Unbekannte fähig ist, wennj = o gesetzt wird, und drittens: diej = y, wo y den numerisch kleinsten ganzen, von Null verschiedenen Werth bezeichnet, dessen ^ überhaupt fähig ist. Ertheilt man nun der Reihe nach der Grösse i die Werthe: 0, 1, 2, 3, . . . /i — 1, der anderen J hingegen die: 0, 1, 2, 3. ... . V — 1, und zwar in allen hier möglichen jiv Combinationen, sucht nun aus den Gleichungen (y9), die sich dadurch in bestimmte verwandeln, die Werthe von 6 und ;y, und substituirt endlich die gefundenen c, fj in die Gleichungen {y) ; so ergeben sieh alle von einander verschiedenen Werthe für x und ?/, welche das vorliegende System («) erfüllen. Mehr als diese /iv Auflösun- gen bestehen nicht. Diese Methode, ein System von zwei binomischen Gleichungen aufzulösen, lässt sich auch dann noch anwenden, wenn die Anzahl der Gleichungen und mit ihr jene der Unbekannten grösser ausfällt, nur liegt dann statt der zwei Gleichungen [ß) ein System von mehreren unbe- stimmten Gleichungen mit der doppelten Anzahl von Unbekannten zur Auflösung in ganzen Zahlen vor. Eine andere Anwendung, die sieh von der Auflösung eines Systemes von mehreren unbe- stimmten Gleichungen des ersten Grades machen lässt, findet sich bei der Darstellung viel- gliedriger Ausdrücke in symbolischer Form mit Hülfe des Summenzeichens, das man dem allgemeinen Gliede vorsetzt. Eine solche symbolische Darstellung von Polynomen erweist sich sehr oft als vortheilhaft. Ein Beispiel dieser Art und von der einfachsten Form ist die bekannte Polynomialformel : {a 4- a.x + a.,x- -\- -|- a^x'Y = S\ a^a.'^'a.r-. . .a;''.x'" + -'"+ ■■ + "''']. \ ' ' - / La/ «j/ «2' . . . «r/ ' J Hier bezieht sich die Summirung auf die Buchstaben o., //,, a.,. ...«,. und ist auf alle jene ganzen und positiven Werthe dieser Grössen auszudehnen, welche die Gleichung: ;?. = «-(- «1 -j- «o -|- .... -|- «^ erfüllen. Im gegenwärtigen Falle liegt nur eine einzige unbestimmte Gleichung vor, und sie wäre auf alle möglichen Weisen , in ganzen und positiven Zahlen aufzulösen , wenn man das symbolisch ausgedrückte Polynom entwickeln wollte. So wie hier eine einzige, können in anderen Fällen zwei und mehrere Bedingungs- gleichungen auftreten, um die Ausdehnung der Summe festzustellen. So z. B. ist in eben dieser Polynomialformel der Coefficient von x-'" gegeben durch : 8\ «"«,"'0./=. . .a/'-l La/ «,.' a^,/ . . . Ur.' " J und die Summirung ist hier auf alle jene ganzen und positiven Werthe von o., «,, o..,,. . . «^ auszudehnen, welche die zwei folgenden Bedingungsgleichungen gleichzeitig erfüllen: n = « -f «1 + a, -j-a., +. . . + o., m = '/, 4- 2 «. -j- 3 «3 -|- . . . 4- ra^. über die Auflösung e/'ues Si/s(emes von mehrereu nubentivirnten Gleichungen etc. 3 Almliclio Formeln mit einer, zweien und mehreren ßedingungsgleidningen lassen sieh in Unzahl aulV.ählen; man begegnet iluien in den verseliicdenstcn Bereichen der Analysis. Die Anwendungen des in Rede stehenden Problemes sind demnach sehr zahlreich , und das Gesagte dürfte zur Genüge beweisen, dass gerade dieses Problem der unbestimmten Ana- lytik eine nicht unbedeutende Wichtigkeit besitze, und jedenfalls viel öfter in Anwendung komme, als die unbestimmten Probleme höheren Grades. Es ist gewiss überraschend, dass gerade dieser Theil der Analytik bisher wenig gepflegt wurde, und keine allgemeine und zweckentsprechende Auflösungsmethode für solche Systeme von Gleichungen besteht. Die allgemeine Auflösung einer einzelnen, unbestimmten Gleichung des ersten Grades in ganzen Zahlen ist schon lange bekannt. Die hiezu dienliche Methode wurde zuerst von Euler angegeben; später gab Lagrange eine andere Ableitungsweise für diese Eegel, und zeigte den Zusammenhang dieses Problemes mit der Theorie der Kettenbrüche; zuletzt endlich wurde eben derselbe Gegenstand noch von Cauchy auf eine gänzlich verschiedene Art behandelt, die zunächst in theoretischer Hinsieht von Wichtigkeit ist. Hiemit war gewissermassen die Grundoperation für die unbestimmten Probleme des ersten Grades festgestellt. Die Behandlung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Gra- des mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekannten war aber, einige specielle Fälle aus- genommen, nicht ei'ledigt; sondern bestand mehr oder weniger nur in blossem Probiren, aber in keinem geregelten analytischen Verfahren. Der Weg, den man dabei einschlug, war stets den bekannten Auflösungsmethoden für bestimmte Gleichungen des ersten Grades nachgebildet. Nun eignet sieh von all' diesen verschiedenen Behandlungsweisen eines Systemes von mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Grades nur das Substitutionsverfahren für die Auflösung eines Systemes von unbestimmten Gleichungen. Dieses allein hatte einen Anspruch auf den Rang einer analytischen Methode. Alle übrigen für bestimmte Systeme bestehenden Auflösungsmethoden sind bei unbestimmten nicht anwendbar. Wenn aber schon bei den Systemen bestimmter Gleichungen die Substitutionsmethode nicht allen Anforderungen Genüge leistet, und andere Methoden von grösserer Durchsichtig- keit als ein Bedürfniss erscheinen; so stellt sich diese Mangelhaftigkeit bei unbestimmten Glei- chungen in einem noch weit höheren Grade dar. Sehr oft nämlich handelt es sich gar nicht um die wirkliche numerische Berechnung, sondern um die Aufstellung eines allgemeinen Ge- setzes. Ein Beispiel dieser Art ist der von Gramm er gegebene Lehrsatz für die Auflösung eines Systemes von mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Gi'ades, überhaupt die so fruchtbringende Lehre von der Determinante. Dieser Satz hat für die numerische Berechnung nur eine sehr untergeordnete Rolle, kommt aber in den verschiedensten Gebieten der Analysis in Anwendung und ist von unbestreitbarer Wichtigkeit. Ein ähnliches Bedürfniss stellt sich auch bei den unbestimmten Problemen des ersten Grades heraus, und von diesem Gesichtspunkte aus ist das in Rede stehende Problem bis jetzt als ungelöst zu betrachten. Gauss hat in seinem berühmten Werke: Disquisitiones arithmeticae pag. 26 — 30 ein ähnliches Problem behandelt, nämlich die Auflösung eines Systemes von mehreren Congru- enzen des ersten Grades mit einer gleich grossen Anzahl von Unbekannten und einem gemein- schaftlichen Modulus. Es gibt allerdings Fälle, in welchen ein System von unbestimmten Gleichungen sich darauf zurückführen lässt; allein dies ist keineswegs allgemein der Fall. Die 4 Ignaz Heger. daselbst ausgesprochene Behauptung: „Simili modo^ ut in aequationibus , perspicitur, etiam hie totidem congruentias liaheri dehere, quot sint incognitae determinandae^^ wird nicht erwiesen und ist in der That unrichtig. Es besteht im Gegentheile gar kein nothwendiger Zusammenhang zwischen der Anzahl der Unbekannten und jener der Congruenzen, ohne dass dadurch das Problem unmöglich würde. Eine einzige Congruenz kann genügen, um eine grosse Anzahl von Unbekannten zu bestimmen, und eine einzige Unbekannte kann mehrere verschiedene Congruenzen gleichzeitig erfüllen. Widersprüche, denen man dabei gelegentlich begegnet und die das Problem uumöglich machen, können sowohl bei einer einzigen Congruenz, wie bei mehreren solchen vorkommen, gleichviel, wie gross die Anzahl der darin erscheinenden Unbe- kannten sein mag; sie hängen von ganz anderen Umständen ab. Trotzdem, dass die erwähnte Behauptung sich als nicht stichhältig erweist, ist dennoch der von Gauss betretene Weg an das Bestehen der Gleichheit in der Anzahl der Congruenzen und der Unbekannten, als einer unerlässliehen Bedingung gebunden, und es dürfte sehr schwer halten, sein Verfahren für jene anderen FäUe anzupassen, wo diese beiden Anzahlen ungleich sind, weil es der bekannten Behandlungsweise eines Systemes bestimmter Gleichungen des ersten Grades vollkommen nachgebildet ist. Die in der vorliegenden Abhandlung niedergelegte Methode ist ganz allgemein. Sie eignet sich eben so gut für die einfachen, wie für die complicirtesten Fälle. Denjenigen Leser, welcher über die Hauptergebnisse dieser Abhandlung einen Überblick gewinnen will, ohne sie ganz zu durchlesen, verweisen wir auf §. 17. Sie stehen mit der Lehre der Determinante in einem innigen Zusammenhange. Die gewonnenen Sätze gewähren die grösste Durchsichtigkeit und erth eilen zugleich der numerischen Berechnung die grösstmögliche Einfachheit. §• 1. Wenn eine Gleichung des ersten Grades, oder ein System von mehreren solchen vorliegt, welche eine grössere Anzahl von Unbekannten in sich schliessen, als sie zu bestimmen im Stande sind, und nun unter der Unzahl von Auflösungen, die ihnen entsprechen, jene hervor- gehoben werden sollen, bei welchen alle Unbekannten ganze Zahlwerthe besitzen; so zerfällt diese Aufgabe in folgende drei Probleme: Erstens: Es soll angegeben werden , ob der vorgelegten Gleichung oder dem gegebe- nen Systeme durch ganze Werthe sämmtlicher Unbekannten Genüge geleistet werden könne. Diese Frage, deren Beantwortung nur in Ja oder Nein bestehen kann, lässt sich noch in einer allgemeineren Form, auf folgende Weise stellen: Es soll der kleinste mögliche Nenner angegeben werden, der einer Gruppe von zusammengehörigen Werthen sämmtlicher Unbe- kannten eigen ist, wenn man sie in Bruchform auf einerlei Benennung bringt. Die Beantwor- tuno- dieser verallgemeinerten Frage besteht immer in der Angabe einer bestimmten ganzen Zahl. Ist dieselbe zufällig Eins, so bestehen ganze Auflösungen, sonst aber nicht. Zweitens: Man soll von den bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen eine ein- zige und specielle angeben, z. B. jene, bei der gewisse Unbekannte die numerisch kleinsten Werthe besitzen. Drittens: Es sollen alle bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen durch eine Formel dargestellt werden. ( über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 5 Über die allgemeine Form der Auflösung eines Systemes unbestimmter G 1 c i cli u n g e n in ganzen Zahlen. §■ 2- Ein System von n Gleichungen des ersten Grades mit einer überwiegenden Anzahl w?-]-^* von Unbekannten lässt sich im Allgemeinen auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllen. Dies findet nicht nur dann Statt, wenn die Werthe der Unbekannten keiner weiteren Bedin- gung unterliegen, als der, das vorgelegte System von Gleichungen zu erfüllen; sondern auch wenn nur durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten dem Systeme Genüge geleistet werden soll. In beiden Fällen lassen sich all' diese unendlich vielen Auflösungen des Systemes zusam- menfassen in eine Formel, in der m unabhängigen Grössen erscheinen. Nimmt man keine Rück- sicht darauf, ob die Genüge leistenden Werthe der Unbekannten ganze oder gebrochene Zahlen sind; so können m Unbekannte, die meist nach Willkür erwählt werden dürfen, die Rolle der unabhängigen Veränderlichen übernehmen, und die übrigen n Unbekannten sind dann vollkommen bestimmte lineare Functionen derselben. Hat man aber nur jene Auflösungen im Auge, bei welchen sämmtliche Unbekannte ganze Zahlwerthe besitzen, falls dies überhaupt im Bereiche der Möglichkeit liegt, so kann im Allgemeinen keine der Unbekannten die Rolle einer unabhängigen Grösse übernehmen; sie sind im Gegentheile alle bestimmt, als lineare Functionen von m Grundgrössen, deren Wahl willkürlich bleibt, insofern man sie auf ganze Zahlen beschränkt. Ertheilt man nun einer jeden dieser m Grundgrössen nach der Reihe alle ganzen Zahlwerthe und zwar sowohl die positiven, so wie die negativen ; so liefern die bespro- chenen linearen Ausdrücke der Reihe nach und gruppenweise die Werthe der Unbekannten in ganzen Zahlen, welche das System von Gleichungen erfüllen. Diese allgemeine Form der Auflösungen in ganzen Zahlen bildet den Gegenstand der folgenden Untersuchungen. Wir betrachten das System: ll^l + 12^2 + Is^S + •••• + 1», -^'m + lm+l^m+1 +•■■• + Im+a'-^m+n ^=^ '' ^l"*^! "T -^2 -^2 + ^3 ^3 T" • • • ■ + -^m^m "T -m+1 ^'m+1 +•••■+ "m+n'^m + n =^ (1) Siar, + S^x, -f 83X3 + + 3„.x-„, -\- i,„+,x„,^, + + 3„,+„:r,„+„ — 0 n,x^ -\- «2X3 + WgX-ä + -t- n„,x„, -I- »,„+iX,„+i + + «,„+„A',„+„ — <» mit den Unbekannten cCj , Xo , . . . . a;,„_^„. Die Symbole 1, , l, , I3 , . . . . »,„+„ bedeuten die Coefficienten, die als bestimmte ganze Zahlen vorausgesetzt werden. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass dieses System durch ganze Werthe der Unbekannten erfüllt werden könne. Die Werthe: leisten Genüge. Es scheint, als ob durch das gleich Null Setzen der zweiten Theile dieser Glei- chungen die Allgemeinheit der Untersuchungen beeinträchtigt würde ; allein man überzeugt sich leicht vom Gegentheile. Das gleich Null Setzen der zweiten Theile gewährt den Vortheil, dass man von der Voruntersuchung, ob ganze Auflösungen wirklich bestehen, oder nicht, enthoben ist. Dem ersten Anscheine nach allgemeiner wäre die Betrachtung des Systemes von n Gleichungen des ersten Grades mit m-\-n Unbekannten: 6 Ignaz Heger. (2) Oi^Cj -|- OjX., -|- Og^Jg -|- 042;^ -j- . . . -|- C),„iC„, -\- O^ l^^'m+l T • • • H~ ^,„+K^ni4.>, = ^Ic ?l,X, + ??22-3 + ?«3-'^3 + ■"4a^4 + ■ • • + «»a^» + «™+ia^„, + l + • • • + «,„+„*■„,+,,=?*<. von dem es aber in Zweifel steht, ob es durch ganze Werthe sämmtlieher Unbekannten erfüllt werden könne oder nicht. Nicht so aber verhält es sich bei dem früher erwähnten Systeme: ll^^l -f" l2*'2 "]~ •'-a'^'a "I -'-•l'^'l ~r • • • "r ^m^m . ^M+l-^m+l + • • • "T ^m+n^'m+„^ ^i^* (3) OjCCi + o.,.T.j-j— 03CC3 -[- 04X4 -p . . . -|- o„, a'„-f- o„_|_i a;,„_|_i -j- . . . -j- -j ,„.)_„ 2?,„+„ ^=: "J^-^'t /ijCC] -|- n.2X.2 -\- n^Xo^ -f- ^i^x^ + ...-)- ;^„,.t,„ -|- w„,_|_i a;,„,^j -|- . . . -|- 'n,n^n-^m-\->i^^ '^a-^'* denn dieses ist stets durch ganze Werthe der Unbekannten x^, ccg, x^, ^„,+„, x^ erfüllbar. Findet sich nun unter all' den verschiedenen ganzen Werthen von Xj. auch zufällig der specielle Werth Eins vor, so wird auch das System (2) in ganzen Werthen aufgelöst werden können, im entgegengesetzten Falle aber ist dies eine Unmöglichkeit. Ja noch mehr, ist überhaupt N der numerisch kleinste , von Null verschiedene Werth, den x^ bei der Auflösung des Systemes (3) in ganzen Zahlen erhalten kann , so ist eben diese Zahl N der kleinste mögliche Nenner der gebrochenen Werthe, durch welche dem Systeme (2) Genüge geleistet werden kann. In der That, substituirt man in dem Systeme (2) anstatt der Unbekannten: andere : (^) was mit anderen Worten so viel heisst, als die Auflösungen desselben in Brüchen mit dem Nenner ^suchen; so geht nach dem Wegschaffen des Nenners A^gei'adezu das System (3) her- vor, mit dem Unterschiede, dass it'i, x-.j, X3, x^ x^, a;„+i, . . . x^_^^ durch die andere Bezeich- nung ^1 , jCa , ;C3 , ;£.! , . . . ;L',„ , ;L',„_,., .... ^,„+„, die Unbekannte er,, aber durch den bestimmten Werth N ersetzt kommt. Die Auflösung des Systemes (3) steht daher mit jener des anderen (2) im innigsten Zusammenhange. Der numerisch kleinste und von Null verschiedene Werth von x,. entscheidet über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, das System (2) in ganzen Zahlen aufzu- lösen, je nachdem derselbe gleich Eins, oder davon verschieden ist, und lehrt überhaupt den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner der in Bruchform gesuchten Auflösungen kennen. Die ganzen Zahl werthe der übrigen Unbekannten Xi, x.,, x«.... x;„^„ aber, welche dem speciellen Werthe x,=^\ entsprechen, sind zugleich die ganzen Werthe der dem Systeme (2) Genüge leistenden gleichnamigen Unbekannten , jene dem kleinsten von Null und Eins verschiedenen Werthe x, ^ N zugehörigen aber sind die Zähler der dann nur in Bruchform (4) bestehenden Werthe der" gleichnamigen Unbekannten in (2). Hiedurch ist zur Genüge dargethan, dass mit der Auflösung des Systemes (1) trotz des speciellen Falles: x. 1 -^2 7 '^3 : , X4 , . • • ^•» > *'m+l • • • • •^m+n II I2 I3 14 j:™ Xm+1 Xvt-\-n iV ' N ' K ' N ' ■ ' ' N ' N N über die Auflösung eines Systemes iion mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 7 1, = 2, = 3, = .... = », = () dor vollständigeu Allgemeinheit der Untersuchung keinerlei Eintrag geschieht. Wir wollen nun die allgemeine Form der Auflösungen in ganzen Zahlen ermitteln, d. h. einen Ausdruck. der in sich alle ganzen Auflösungen, keine einzige ausgenommen, enthält, seiner allgemeinen Gestalt nach bestimmen. Schon früher wurde bemerkt, dass iCj X'j Ifj : .... '■Vm-\-n - eine Auflösung in ganzen Zahlen des Systemes (1) sei. Wir werden nun noch die übrigen zu ermitteln haben, bei welchen einige oder alle Unbekannte von Null verschiedene ganze Werthe erhalten. Dass solche wirklich bestehen, lässt sich erweisen, wie alsogleich geschehen soll. Um aber den Beweis in der einfachsten Weise führen zu können, ohne uns in die Discussion ver- schiedener Ausnahmen einlassen zu müssen, die die Führung des Beweises keineswegs unmög- lich machen, sondern nur seine Gestalt verändern; wollen wir von den Voraussetzungen aus- gehen: erstens, dass das System (1) wirklich aus n von einander verschiedenen Gleichungen bestehe, d. h. dass keine derselben aus den übrigen durch Multiplication mit gewissen Zahlen und Addition hervorgehen könne, und zweitens, dass die n Unbekannten: •^m+i 5 •'^»1+2 ) . • • • -^m+n durch dieselben bestimmt werden können, wenn man die übrigen entweder mit beliebigen Zahl- werthen belegt, oder als unabhängige Veränderliche betrachtet. Es ist hinreichend bekannt, dass diese zwei gemachten Voraussetzungen nicht nothwendig immer erfüllt sind, und solche Aus- nahmsfälle gar nicht zu den Seltenheiten gehören, wo unter den n Gleichungen eines gege- benen Systemes, zwei oder mehrere von den übrigen nicht wesentlich verschieden sind; ferner, dass gewisse, der darin enthaltenen Unbekannten, in keinerlei Weise die Eolle der abhängigen Veränderlichen zu übernehmen im Stande sind; andererseits ist es aber auch einleuchtend, dass man bei der hier vorausgesetzten Form der Gleichungen (1) diesen beiden Bedingungen, durch Weglassen der von den übrigen nicht verschiedenen Gleichungen und durch ein entsprechen- des Ordnen der Unbekannten, stets Genüge leisten könne. Bei der allgemeineren Form (2) könnte dies ganz allgemein nicht behauptet werden, weil hier ein Widersprechen der Gleichun- gen im Bereiche der Möglichkeit liegt; und solchergestalt gewahren wir einen neuen Vorzug der hier getroffenen Wahl, in Bezug auf die Form der Gleichungen (1). Nach diesen Voraussetzungen lässt sich der Beweis, dass auch von Null verschiedene ganze Auflösungen des Systemes bestehen, ohne Schwierigkeit führen, so wie die allgemeine Form der vollständigen Auflösung in ganzen Zahlen ableiten. Man denke sich das System (1) auf bekannte Weise nach x,„^,, »;,„+.,, ••••««+„ aufgelöst, indem man die überschüssigen Grössen a-, , x, , x„, als unabhängige Veränderliche betrach- tet. Die Werthe dieser Unbekannten lassen sieh nach dem, was über Systeme linearer Glei- chungen bekannt ist, darstellen in Bruchform. Der gemeinschaftliche Nenner aller dieser Brüche ist eine bestimmte Zahl, die Zähler aber sind Polynome, welche die überschüssigen Grössen x,, x.,, ... x,„ enthalten in linearer Form, aber kein constantes Glied besitzen. Also im Allgemeinen sind es Brüche von der Form: 8 Ignaz Heger. ilfj, il£, -Mj, il/,„ und ^sind bestimmte ganze Zahlen. Den früher gemachten Voraus- setzungen zufolge ist ^jedenfalls von Null verschieden, da ein Verschwinden dieser Grösse nur in jenen zwei Ausnahmsfällen vorkommen kann, wo entweder nicht alle m Gleichungen von einander verschieden sind, oder doch wenigstens die w Grössen a:;,„^.i, a?„,+2, a:,„^„ nicht durch dieselben bestimmt werden. Hier unterliegt es nun keinem Zweifel mehr, dass man die Grössen a-j, x.^, «3 , . . . x^^ von Null verschieden, ganz und dermassen wählen könne, dass die Werthe aller dieser Brüche, oder was dasselbe ist, jene von x,„j^^ , x^,^^, x,„_^„ ganz ausfallen. In der That erfolgt dies sonder Zweifel, wenn man für x^, x^-, ajg , . . . a;,„ ganze Zahlen setzt, welche durch A^theilbar sind, und somit ist also erwiesen, dass das System (1) wirklich auch durch von Null verschiedene ganze Zahlwerthe sämmtlicher Grössen cCj, »2, a^a , . . . a?^+„, und zwar auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllt werden könne. Wir wollen jetzt durch eine allgemeine Formel alle diese unendlich vielen verschiedenen Auflösungen darzustellen versuchen. Es lässt sich zeigen, dass alle Werthe einer Unbekannten, welche den unendlich vielen ganzen Auflösungen entsprechen, die Glieder einer arithmetischen Reihe bilden. Bezeichnen wir mit x den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth von CC], der unter allen möglichen ganzen Auflösungen des vorliegenden Systemes vorkommt. Dass ein solcher wirk- lich existirt, kann wohl nicht mehr bezweifelt werden, nachdem gerade früher erwiesen wurde, dass von Null verschiedene Werthe der Unbekannten, also auch von a^j, den Gleichungen genü- gen. Die diesem kleinsten Werthe x-^ entsprechenden ganzen Werthe der Unbekannten, oder, Falls deren wieder mehrere verschiedene bestehen, eine specielle Zusammenstellung solcher, gleichgiltig, ob sie gleich Null, oder davon verschieden sind, seien: iCg , a^g , a;^ , . . . . a;,„ I „. Es ist nun eine unmittelbare Folge , dass auch dann die Producte dieser bestimmten Werthe mit einer völlig willkürlichen ganzen Zahl ^,, d. h. 111 I X] C] , x'2 Ci 1 a?3 Ci ..... aj„,^„ CT] den Gleichungen genügen werden. In der That unterscheiden sich die durch Substitution dieser Werthe hervorgehenden Substitutionsresultate von jenen der früheren Werthe nur in dem hin- zuo-etretenen Factor ?i und sind demnach gleichfalls Null, d. h. diese Werthe erfüllen die Gleichungen (1). Es bestehen demnach unzählig viele Werthe von x,,., die alle durch die Formel : 1 (■5) a?i = a;iCi vorgestellt werden, unter ^1 eine völlig willkürliche Zahl verstanden. Allein ausser diesen Werthen sind auch keine andern mehr möglich. Gesetzt nämlich, es bestünde noch ein anderer ganzer Werth von x^ , dem auch ganze Werthe der übrigen Unbekannten x\ , x'j , . . . '■f'm+n entsprechen , der sich nicht in der Form (5) darstellen lässt , mit andern Worten , der durch £Ci nicht theilbar ist; so könnte x', nicht der kleinste mögliche von Null verschiedene ganze Werth sein, dessen x, fällig ist. In der That sei x, dieser Werth, so liegt derselbe offenbar zwischen zwei zunächst an einander liegenden Werthen der Formel (5) z. B, 1 — — 1 — a;,e<Xi<x, (?+ 1) und es ist offenbar: — 1 — I U <a34 — x-,?<x, Über die AufllmuHj eiiie.i Si/atemc^s roi/ mchrcroi int/n\s/ii)niife7i Gleichungen etc. i) abor g'K'ii'lizeitig .r, — .r, c zufolge der liucarcii l'dnu der ( ■Icicliiingcii ein (uüiiige leisten- der ganzer Wertli , luul folglich wäre uielit .r, , t^ondern x\ — .r,c der kleinste unmerisehe Werth, dessen .r, fähig ist, was der früher gemachten Voi'aussetziing widerspräche. Es folgt hieraus, dass keine ganze Auflösung des Systemes (1) bestehen kiinne, in der a:, einen Werth besitzt, der durch die Formel ['■>] nicht darstellbar wäre. Noch eine wichtio-e Folgerung wollen wir hier ziehen. Es enthalten nämlich die Zahlen: III 1 Xy , .T.j , a'3 , . . . . .^■,„_(_„ keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich, denn wäre ein solcher vorhanden, so würden für f , statt ganzer Zahlen, auch Brüche mit eben diesem Factor im Nenner gesetzt wei-d(Mi können, ohne dass III I -t'i C| 7 ^"2^1 1 ^'.i ?! , • • • • •^',„-|.„Sl aufhören, ganze Werthe zu sein und die Gleichungen zu erfüllen, a?, aber würde kleinere 1 Werthe, als a*, annehmen können, Avas zu dem schon früher erwähnten Widerspruch führen würde, und demnach unstatthaft ist. Wenn auch hier bewiesen wurde, dass x^ in keiner andern Form, als in der (5) voi'kommen könne, so gilt dies doch keineswegs von den übrigen Unbekannten in Bezug auf die für die- selben hier gefundenen Werthe: < * ' .. ■ X.2<^\ , X^i;^ , . . . . .r„,_(_„ C| Es lässt sich im Gegentheile zeigen, dass ausser diesen unendlich vielen Auflösungen noch andere bestehen. In der That setzen wir in den Gleichungen (1) (\3j X^ == X, C| 1 X.2^=X.j^l;i -\- X 2 1 ^3 ^''^3^1 T -^ 3 5 • • • • ^m+n—- ■^»i+u^l I ■^' »i+i( unter x!^ ^ x\ , . . . x'„,^„ unbestimmte Zusätze verstanden, so erhält man neue Gleichungen, welche die neuen Unbekannten .r', , a^'3 , • • • a:^',„+„ hi sich schliessen und ihre W^erthe zu bestimmen haben. Diese Gleichungen unterscheiden sich von den (1), und lassen sich unmit- telbar daraus ableiten, wenn man: X^ U , X.^ X^2 ) "^'3 «^3 , ■ • • • Xj^^j^^, X ,^,_|_„ setzt. Sie sind folgende : %x'2 + %x',+ ... + %„,x'„, + 2,„^.,a;',„+, + . . . + 2„.+„a'',„+„ = (> (7) O2X2 + 33X3 + . . . + 3,,„a',„ -f 3„,+,x-',„+, + . . . + 3,„+„x-',„+„ = 0 /ZoX'o + n.;,x\-ir ... -I- n„,x'„ -h »,„+,a;'„,+, -f . . • -|- «,„+„<„+„ = <» Sie stellen gleichfalls ein System von unbestimmten Gleichungen dar, wenn überhaupt /M einen von Eins verschiedenen Werth besitzt, aber mit m — 1 überschüssigen Grössen, und verstatten gleichfalls unendlich viele verschiedene von Null diflferirende Auflösungen , Avie früher allgemein bewiesen worden. Wendet man hier die eben früher angewendeten Schluss- folgerungen an, so gelangt man zur Überzeugung, dass kein einziger Werth von x\_ bestehen könne, der nicht durch die Formel: Denkschriften der m.irhpiii.-naturw. CI. \IV. Ed. AblianclJ. v. Nichtmitgl. *' 10 . Ignaz Heger. { O ) ^2 ~~ -^2 ^"2 2 gegeben wäre, unter a:, eine bestimmte ganze Zahl verstanden, die den kleinsten von Null verschiedenen Werth angibt, dessen x-i fähig ist, um eine Auflösung des Systemes in ganzen Zahlen zu ermöglichen, und wo ^2 eine völlig willkürliche Zahl bedeutet. Die Werthe der übrigen Unbekannten sind, wohl nicht alle, aber doch einige, gegeben durch die Formel : 2 2 2 (yj X ^^^^Xr^q.;, , X ^^^Xj^<;.2 , . . . . 3J „,_|_„ ^= iC,„_j.„ 1^2 2 2 2 wo Xg , a?4 , ... a;,„^.„ ganze Zahlen vorstellen, die irgend einer speciellen Auflösung des 2 Systemes (7) entsprechen, wenn xj =x., gesetzt wird. Substituirt man diese Werthe (8) , (9) in die Gleichungen (6), so erhält man : I 12 12^ 12 (iUj Xf ^=: a'j C| 5 X^^^ Xi,qi -f" •'^2^2 5 -*'3^'^3^1 I *^'3 ^2 • • • ■ • •^m + n •^m+uCl I *^»i + h V) und es ist nunmehr keinem Zweifel unterworfen, dass die beiden ersten dieser Gleichungen (10) alle möglichen ganzen Werthe von er, und x., liefern, welche in den ganzen Auflösungen des Systemes (1) erscheinen können. Von den übrigen Werthen (10) gilt dies jedoch nicht mehr, im Gegentheile bedürfen dieselben alle noch einer Completirung, ausser wenn zufällig m=2 ist. Diese Vervollständigung der Werthe (10) lässt sich auf dieselbe Weise vollführen, wie jene der früheren Werthe so eben bewerkstelligt wurde. Sie führt zunächst zu folgenden drei completen Werthen: 1 •^1 — *^ 1 ^1 1 2 n 1^ ^2 = »'2?i + ^i^i \ ^ 12 3 CTg = X3 Ci -\- Xg C2 + ^3 ^3 3 und hier bedeutet fg eine willkürliche ganze Zahl, x^ aber den kleinsten möglichen, von Null verschiedenen Werth von a^g, welcher für aTj = 0 , £»,= 0 im Systeme (1) ganze Auflö- sungen ermöglicht. Dieses Verfahren der Completirung der gewonnenen Werthe ist so lange fortzusetzen, bis auch der Werth der letzten überschüssigen Unbekannten x-,„ vervollständigt worden. Ist aber dies geschehen, so sind dann auch die Werthe der übi-igen Unbekannten x^^^ , x„^2 , ■ ■ • ■ ^,„+n vollständig, da sie durch die vorliegenden 71 Gleichungen vollkommen bestimmt werden, sobald man über die überschüssigen Grössen x^ , x., , ■ ■ • ■ x„, verfügt hat. Man gelangt so zu den folgenden Werthen: 1 Xj Xj ^j 1 X.) ■ Xii ^j ~j~ Xo s 2 3 3 "^3 12 3 Xg ^= Xg C'j -j- Xg ^o + ^3 S; 12 3 m 12' X,n =^^,Jl + X,.S, + a?„.e3 + + ^.nl,. ) 2 3 . m '^■ni+l ^^ ■^ni + i f 1 T" ^m+l '?2 T~ ^m + \ ^3 "V ! *^m+l ^m ' » -'s. ^ '" f Diese Form schliesst in sich m willkürliche ganze Grössen ^, , Cj . fg , . • • $„„ so viele nämlich, als überschüssige Unbekannte in den Gleichungen (1) erscheinen, und diesem Vber die Aiißösio/g eines Siistomes von mehreren inihestimniten Uleichangeii etc. 11 Unistande ist es zuzuschreiben, dass wii-klich alle in;>L;li<'lien ganzen AuHfisungon des Systemes (1) aus diesen Formeln gewonnen werden künnen, indem mau den darin erseliei- nenden willkürlichen Grössen alle möglichen ganzen (sowohl positiven, wie negativen) Werthe ertheilt. Man bemerkt ferner, dass diese willkürlichen Grössen nicht in allen über- schüssigen Unbekannten vorkommen : .x\ enthält nur eine einzige derselben. näiuli<h Ci : a-., enthält deren zwei: Ci , ^o ; x^ deren drei: Ci < Co , I3 und nur die letzte derselben a'„, enthält alle m Grössen Ci , I2 , C3 . ■ • • c„, ii> sich, gerade so, wie alle übrigen abhängigen L'nbekannten : a-„,+, , x„,^., , . . . . a-„,_,_„. Die Grössen x^ , x\, , Xg , . . . x„, sind vollkommen bestimmte Zahlen: x^ ist nämlich der numerisch kleinste von Null verschiedene Werth, dessen x-^ überhaupt fähig ist, ohne irgend einer der übrigen Unbekannten einen gebrochenen Werth aufzunöthigen; x., ist ebenso der kleinste numerische, von Null verschiedene Werth von x.^. aber unter der Voraussetzung, dass x'i := 0 gesetzt worden; Xj ist der kleinste numerische von Null verschiedene Werth dessen .^•3 fähig ist, aber nicht überhaupt, sondern für x^=x.2 = 0 u. s. w. a'„, endlich der kleinste zulässige nicht verschwindende numerische Werth von cc,,,, wenn alle übrigen überschüssigen Unbekannten gleich Null gesetzt werden. Dessgleichen' sind auch die Grössen aj„,^i , a:„,^.2 , . . . . •^'ra+« vollkommen bestimmte Zahlen , denn sie gehen durch Auflösung der Gleichuiigen (1) hervor, wenn man über alle darin erscheinenden überschüssigen Unbekannten in folgender Weise verfügt hat: m ■^1 -^i •'-i •^m—\ " 1 •'^m ■*'?«• 112 Alle übrigen in den Formeln (12) erscheinenden Grössen a:;^ , cCg , Xg , . . . . unter- liegen noch immer einer gewissen Willkürlichkeit, die aber der Brauchbarkeit derselben keinerlei Eintrag' thut. Es ist nämlich klar, dass x, nm ein Vielfaches von .r.> nach Belieben geändert werden könne, ohne dass die für x.. bestehende Formel aufhören wird, alle möglichen ganzen Werthe dieser Unbekannten zu liefern. Gleiches gilt von allen übrigen Grössen x^ , 2 ig , . . . . Es besteht demnach nicht blos eine einzige Formel der erwähnten Art, sondern unendlich viele verschiedene, die aber alle in Bezug auf Brauchbarkeit gleichen Werth besitzen. Diese Willkürlichkeit lasst sich freilich wohl auch beheben, man dürfte nur z. B. die Bestim- mimg treffen, dass alle Grössen: 1 X., 1 •> Xo , Xi die numerisch kleinsten und positiven Werthe erhalten sollen, deren sie überhaupt fällig sind, so würde alsogleich jede Willkürlichkeit verschwinden. Die in diesen Formeln angenommene Ordnung der Unbekannten lässt sich in den meisten Italien durch jede beliebige andere ersetzen, allein in gewissen Ausnahmsfällen, die später zum Gegenstande einer genauen Erörterung werden gemacht werden, besteht auch in dieser Hinsicht eine gewisse Beschränkung, da sich bisweilen einige Unbekannte nicht dazu eignen, die Rolle der unabhängigen Veränderlichen zu übernehmen. Avas im Grunde hier <lle m über- schüssigen Unbekannten thun. 12 Ignaz Heger. Die hier aufgestellte Form der allgerueinen Auflösung unbestimmter Gleichungen des ersten Grades ist keineswegs die einzige mögliclie, denn es lassen sich auch andere, namentlich voll- kommen symmetrische Formen für dieselben finden, die sogar mehr als m willkürliche ganze Grössen in sich schliessen , und gleichfalls alle möglichen ganzen Auflösungen zu liefern im Stande sind, allein man ist dann genöthigt, die Werthe einiger der willkürlichen Grössen innerhalb bestimmter Grenzen einzuschliessen, wenn man nicht Gefahr laufen will , eine und dieselbe Auflösung zu widerholten Malen daraus zu erhalten. Die hier aufgestellte Form, die nicht symmetrisch ist, besitzt aber den Vortheil, dass sie alle Auflösungen liefert und keine einzige wiederholt, und dies ist der Grund, warum wir ihr vor allen übrigen den Vorzug unbedingt einräumen, wenn es sich um wirkliche Auflösung des Svstemes handelt. Die symmetrischen Formen hingegen eignen sich sehr gut, um vermittelst der Substitutionsmethode die Auflösungen eines Svstemes von Gleichungen zu bewerkstelligen und die für dieselben geltenden Eegeln abzuleiten. Wir fanden es aber zweckmässiger, von einer andern Methode Gebraucli zu machen. Die unmittelbare Betrachtung dieser allgemeinen Form der Auflösung des Systemes (1) in ganzen Zahlen verstattet nun unmittelbar, auch die allgemeine Form der Auflösungen des anderen Systemes (2) abzuleiten, welches im zweiten Theile der Gleichungen statt der Nulle, andere Zahlen: 1^ , 2^. , 3i. , . . . . aufweiset. Denkt man sich nämlich zuvörderst die allge- meine Form der Auflösungen für das System (3) gebildet, welches noch eine weitere Unbe- kannte x,. enthält, der wir den ersten Eang einräumen wollen , so gelangt man zur folgenden Formel : 0 s- X/. ^= Xj. ^,1 0 ^ 1 ^ 0 12^ 0 12 3 a*3 =»"3 Co +3^3 ^1 + a;3?2 + a^sCa (13) ; . . . k 0 12 3 m ^»l+l -— •^m+1 Co 1 -^«i + l ?'l . -^m+l Co ~r •^»i+l C3 + -p ^,„+lC,„ 11 1 2 3 m x,„-(-„ ^= •'^,„-(-». Co n "^ )«+)! Ci -r •^»j+ji C2 ~r •^m+n C3 ~r + -^m+n C,» Sie ist mit TO -f 1 willkürlichen ganzen Grössen versehen und liefert alle möglichen ganzen Auflösungen des Systemes (2). Gesetzt nun, es wäre zufällig: 0 Xf. = 1 also x^ = 1 ein möglicher Werth , der auch den übrigen Unbekannten Xi , x., , .... x,„^„ verstattet, ganz zu sein, so wird auch das System (2) in ganzen Zahlen aufgelöst werden können. Die vollständige Formel für die ganzen Auflösungen desselben geht aus den (13) hervor für x,^^l , also für f^ = 1. Sie ist folgende: 0 1 Xj — x^ -f- X^ Ci X., = x-._, 0" + 1 1 X. C2 3 X, X3 + a?3?l 1 X2 Co + X, ?3 über die Auflösung eines Systemcs ron mehreren nnbestimmten Gleichungen etc. 11^ U I 2 3 m 1+) ^« =3',,, +a'„,^, 4-a',,.'?.. +a;„.l3 + + a-,„ jf„, • 0 12 3 "' » •^M+1 ^^^ •'^'m+l 1 •^»1+1 Cl "T ^m+I So ~r ^m+I Cn + -(- ^^«i+lCm U 1 -2 :) //i Hier hcdeutct nun 0 u ü u ^w ,-y» lyt -y^ •*■ 1 • •'-i ' •*':! , . • • • ■*,„-(-„ rgeuil eine specielle Auflösung der Gleichungen (2) in ganzen Zahlen, die übrigen Glieder haben die bekannte Bedeutung. 0 Ist hingegen in (13) x^ von Eins verschieden, zum Beispiele gleich N, so verstattet offenbar das System (2) keine ganzen Auflösungen. Es wird aber die Auflöslichkeit des Systemes (2) in ganzen Zahlen allsogleich möglich, wenn man alle im zweiten Theile dieser Gleichungen erscheinenden Constanten 1^ , 2,. , .... n,. mit der Zahl ^multiplicirt. Dies geschieht aber geradezu, wenn man die Unbekannten in Bruchform (4) mit den Nenner N aufstellt; und die ganzen Auflösungen, gezogen aus den solchergestalt veränderten Glei- chungen, sind die Werthe der Zähler dieser Brüche. Es folgt hieraus, dass die mit dem kleinsten Nenner iV" versehenen Auflösungen des Systemes (3) gegeben sind durch die Formel: 1 u 1 X, = ~ (.T, + X, C, ) 10 12' X, z=--(x., + X.Ci + ^^2^2) N ^ ' 10 1 2 ä ^ \ J 0 1 2 3 '" ^ \ (15) x„, =-^ix„. + x„,^, + xj, ^x„J, + + x,„c,„) 1 " 1 2 3 ™ ;> \ X. 1 II 1 2 3 "* Über Systeme von zwei Gl eicliu ngen , mit mehr als zwei Unbekannten. §• 3. (16) a,x + b,7j + c,z -\- + d,u + e,v -4^g,w=k\ a,x + b.,i/ -\-c,z-\- + d.Ai -f e,r + g.,w =k, sei das gegebene System von zwei Gleichungen des ersten Grades mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekannten: x , y ^ i ^ .■•■<■", •y ■, w. 1. Erörterung derBedingung für das Vorhandensein ganzer Auflösungen. Die Frage, ob einem vorliegenden Systeme von zwei Gleichungen ganze Werthe der Unbekannten genügen können, oder nicht, lässt zwar in einem jeden speciellen Falle nur 1-i Ignaz Heger. immer eine einzige Beantwortung zu: Ja oder Nein; allein man kann auf sehr verschiedenen Wegen zu diesem Endresultate gelangen. Die Beantwortung dieser Frage kann nämlich nicht unmittelbar, durch blosses Ansehen der Gleichungen erfolgen, sondern erfordert immer eine Rechnung. Dieses Kechnungsverfahren kann jedoch auf sehr viele verschiedene Weisen einge- leitet werden, und alle diese verschiedenen Welsen führen zu demselben Endresultate; aber nicht alle sind von gleichem Werthe in Bezug auf Einfachheit und Übersicht. Ich bin durch eine sorgsame Prüfung all' der verschiedenen möglichen Methoden zu einer bestimmten Regel gelangt, welche vor allen übrigen einen unbestreitbaren Vorzug der Einfachheit und Allge- meinheit besitzt. Die Regel lautet folgendermassen : Man bilde aus den Coefficienten der beiden gegebenen Gleichungen:^ «1 , h .(-!,. .. d. ei j 9i «., , b. , ^3 , • . . d-i €, ' 9-2 die (j r ci 8 s e n , welche unserer B e z e i c h u u n g s w e i s e e n t s p r e c h e n d , d u r c h : (1^) («ie2) , [biei] , (Cje,,) (f?,e,) (Shg-d : (^.5'2) • {c,g.^ ..... [d,g.;) , (e.g.;) angedeutet werden, d. h. die Determinanten: [ciib.^ = a.b., — a.fi, , (a.c^)=aiC, — a.,c, , (^i<^ä) = ^iC2 — boC. u. s. w. und suche nun ihren grössten gemeinschaftliehen Theiler. Ist derselbe gleich Eins, so sind ganze Auflösungen des gegebenen Systemes wirklich vorhanden, und zwar für alle beliebigen ganzen Werthe von ki und k,. Ist hingegen dieser gr össte gemeinschaftlich e Theiler eine von Eins verschiedene Zahl, so bestehen im Allgemeinen keine ganzen Auflö- sungen und können nur ausnahmsweise, d. h. nur für specielle Werthe von kl undL, erscheinen. Bevor wir jedoch zum Beweise dieses Lehrsatzes schreiten können, müssen wir noch früher einige Hilfssätze vorausschicken und erweisen , welche denselben vorbereiten. §•4. 1. Wenn die dem Systeme (16) en tsprech e nden D ete r m inan ten (17) keinen von Eins vers chied e neu Factor gemein seh aftli ch besitzen, so ist der gr össte gemeinschaftliche Divisor von 9, und g., von jenem der mit 7 verkni'ipften Grössen: (1^) (^<(J) ■ (bg) , (cg) (dg) . (eg) nicht vers chieden. Bezeichnen wir mit {^^ den j^rössten gen)einschaftlichen Theiler der mit g verknüpften Grössen (18), hingegen mit c, jenen der von g freien: {a ()) [\9) [ar) . ((>c) [ae) , [he] . (c-e) [de). so ist umiiittelbar einleuolitend. dass ^'„ und ^'„ zwei relative Primzahlcu sind, denn jeder Factor, welcher diesen beiden Zahlen gemeinschaftlich zukäme . würde auch gleichzeitig in allen (irössen der Gruppe (18) und der andern (19), somit in allen Grössen (17) erscheinen, was der gemachten Voraussetzung widerspräche. Führen wir nun. um di(\se Faetoren ersichtlicli zu machen, die neuen Bezeichnungen ein: ((/ b) = (p^^ (a b ) , [ac) =f'„(aci . (^bc)='ip,,(\it) (20) (a e) = ^„ (a e) . (6 e) = ^-^(b c) . {ce)=(p„{Ct) {d e) =^ (f ,^{\i t) {ag) = cPM) • {bg)^4>^{h<^) , (c^r) .= ^^(cg) ,, . . • (c?^) = ^.(bg) , (o'.ry) = ^^, (e g) wobei : (ab) (21) (nc) , (bc) (rt c) , (b e) , (c e) , (b c) als eine Cruppe von Zahlen anzusehen ist, welche keinen von Eins vei'schiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen können, und für die andere Gruppe : (22) (ag) . (bg) , (cg) , (bg) , (cg) genau dasselbe gilt. Wir müssen hier die Relationen: (23) «1 (6 c) — b, [a c) -f c, (« b) = 0 a, (b c) — b, (a c) + c, {a b) = 0 vorausschicken, von deren identischem Erfülltsein man sicli unmittelbar überzeugen kann, wenn man die Grössen {ab) , (ac) , (bc) durch ihre binomischen Wertlie ersetzt und die dabei möglichen Reductionen durchführt. Solcher Relationen lassen sich hier so viele Paare auf- stellen, als die Grössen a , b , c , . . . . d , e , g Combinationen zu dreien zulassen. Sie lassen sich aus den (23) ableiten, wenn man die Grössen a , b , c beziehungsweise durch jene der andern Combination: a , b , d ; a , b , e ; . . . ersetzt. An ihrer Giltigkeit ist nicht zu zweifeln. Für unseren Zweck bedürfen wir jedoch nur jene Relationen, welche g m sich schliessen, also einer g enthaltenden Terne entsprechen. Ihre Anzahl kommt gleich der Anzahl Amben, welche die Grössen: a , b , c , . . . . d , e zulassen. Denkt man sich dieselben gebildet, dabei aber die neuen Bezeichnungen (20) eingeführt, so findet man: IG Ignaz Hege?-. <P, [« (l^i 92) — b (Ol 9-2 ) ] + 9, 9 ( 'ii ^"2) = <-» *p9 [« (Ci 92) — c (a, g;)] + ^,5r (a, c, 1 = 0 (24 1 4',^, [h (c, 93) — c (b, B,)] + cp,^,g (b, c) = 0 ■ <P-j [d (e> 92) — e (bi 9-i)] + f. <7 (b> £2) = 0 Jede dieser Gleichungen repräsentirt im Grunde zwei Gleichungen, indem man den ohne Stellenzeiger versehenen Coeffifienten: a,ft,c,....f/,e,^ soAvohl den Index 1 als den andern 2 beifügen kann. Multiplicirt man diese Gleichungen beziehungsweise mit Ö, . 0., , 0. und addirt sie alsdann; so erhält man eine neue Gleichung von der Form: (25 ) ^'„ A + <p,, .g [ia, b,) 6, 4- (0, c) e, + {{\ C,) ^3 + + (öl C2) Ö.] = <» in welcher A ein mehrgliedriger Ausdruck ist, dessen Gestalt uns aber nicht weiter interessirt. Wählt man nun die bisher unbestimmt gelassenen Multiplicatoren f)j ^ ß., , 0^ , . . . . ä„ der- massen, dass sie sämmtlich ganze Werthe erhalten und zugleich die Eelation: (26) (a, b,) 0, + ( a, c,) 0, + (b. c,) e,+ + (b, c,) ä„ = 1 erfüllen, was immer möglich ist, indem die Grössen (21) keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen und demnach diese unbestimmte Gleichung in ganzen Zahlen auf- löslich ist; so geht die Gleichung (25) über in: (27) ^.,A + ^^''.= <» und A bedeutet nunmehr, wie leicht einzusehen, eine ganze Zahl. Diese Gleichung zeigt unmittelbar, dass ^^ . g durch ^^ theilbar sein, und da ^^ und 4>,j relative Primzahlen sind, dass geradezu g den Factor ^^ in sieh schliessen müsse. Dies gilt sowohl für ^j , wie inv g.,, und man kann durch die neuen Bezeichnungen: diesen Factor ersichtlich maclien. Dieser Factor ist aber zugleich der grösste gemeinschaftliche Theiler von g^ und g.> d. h. i], und 130 sind relative Primzahlen. Dies kann auf folgende Weise eingesehen werden: Jeder in g^ und g., gemeinschaftlich ercheinende Factor muss nothwendig auch in allen mit (jT verknüpften Grössen (18) vorkommen, weil sie Binome sind, deren erstes Glied den Factor ^.,, das zweite g^ besitzt. Würde nun ausser 4)^ noch ein anderer Factor gleichzeitig in g^ und in g., erscheinen, so müsste auch in den Grössen (18) ausser ^^ noch dieser andere Factor vorhanden sein. Aber es wäre dann nicht jA^, sondern ein Vielfaches von ^^ der grösste gemeinschaftliche Divisor dieser Grössen, was den gemachten Bestimmungen widerspräche. Es kann somit ausser ^^^ kein anderer Factor gleichzeitig in g^ und g.^ erscheinen und ^^ ist ihr grösster gemeinschaftlicher Divisor d. h. fl, . i:|o sind relative Primzahlen. Demnach ist der obige Satz erwiesen. §. 5. ■ 2 . H i 1 f s s a t z. Leitet man aus den ursprünglich gegebenen zwei Gleichun- gen (10) zwei neue, ihnen gleichgeltende: (29) rt/ X -\- b; y -h <■; s -f . , . . . -j- r/,' 2( -f e/ w -^ g; iv = k; Tiber die Auflosung eines Systemes roii nielircrcu unbestimmtpii (llrirlntiiqon <tr. 17 (;^0 1 a^x -\- h.Uj + c/s -f -'- diu -\- e^v + glw=:k.J ah: H(i s i II (I (l io diesem neuen Systeme en tspredi cnd e n Oi'ös.«en: (31) (ö/e,') . [b; e:) , (c/e,') (c?/e;) (a/^r.;) . (^./^r;) . (c'g:) (d,' gl) . (e/^r,') (XV <) . (^i'6;) . (X/cV) [k,'d:) . (^ve3') . (kig.:) enen des ursprünglichen Systemes; («1 bo) (32) (a, e,) , (6,63) . (0,6,) (c^fea) 2; (ÄJi«,) . (k^bo) . (/^iC.,) (Xi(?a) • {k^e^) . [k^g.^) prop ortional. Das Verfahren, mittelst dessen man aus den ursprünglichen Gleichungen neue, ihnen gleichgeltende abzuleiten vermag, ist bekannt. Man multiplicirt nämlich die erste und die zweite mit irgend welchen Zahlen, die völlig willkürlich gewählt seiü können, und addirt sie alsdann, so erhält man eine neue Gleichung. Wiederholt man dasselbe Verfahren mit zwei anderen willkürlich gewählten Multiplicatoren, so erhält man eine zweite Gleichung. Diese zwei neuen Gleichungen sind dem ursprünglichen Systeme vollkommen gleichgeltend, wenn man bei der Wahl der Multiplicatoren eine einzige Vorsicht gebraucht hat, von der alsogleieh Erwähnung geschehen soll. Bezeichnen wir mit ^j, ^^ die beiden zuerst erwähnten Multipli- catoren und mit (29) die entsprechende Gleichung, mit /i^, /i^ die beiden anderen Multipli- catoren. welche zur zweiten neuen Gleichung (30) führen-; so sind, diese zwei Gleichungen für alle Werthe der Unbekannten erfüllt, welche dem ursprünglichen Systeme genügen, und noch überdies von einander verschieden, wenn die beiden Quotienten t^ und ■ — ungleich ausfallen, oder mit anderen Worten, wenn die Determinante X^/x.^ — Ao/ii von Null verschieden ist. Es ist auch leicht einzusehen, dass die hier erwähnte Ableitungsweise neuer Systeme aus dem alten die einzio- möa:liche sei , da bei allen übrigen erlaubten Transformationen und Combinationeu der Gleichungen die lineare Form derselben verloren ginge, abgesehen davon, dass neue Wurzeln eingeführt würden. Trotzdem lassen sich dennoch unendlich viele Systeme aufstellen, die alle dem ursprünglichen vollkommen äquivalent sind, weil die Multiplicatoren ^.1 , ^ , /jt] , /J..2 auf unendlich viele Arten gewählt werden können, ohne dass die beiden Quo- tienten — und — gleich werden. Wir übergehen es hier, diese Behauptungen zu erweisen und weiter zu erörtern, da dieselben als bekannt vorausgesetzt werden können , und schreiten nun zmn Beweise des obigen Satzes. Man hat unter den angegebenen Umständen: Denkschriften der mathem.-naturw. CK XIV. E<1. Abhandl. von Niciitmitgl. ^' 18 Ignaz Heger. (33) ciy = a^ki + a.,h , h^' --^b^A^ -\- b.,L , c/ = c-j >^j -)- Co 4 k^ = Icyk^ -|- k.,k, «.,' = Oj/ij -{- a.2iu , bj = bji^ + b.^/jL., , cV = Ci/ij -\- c^jio, , ^■2' ^= /w/x, -f A'o/i. eine Reihe von Gleichungen, die im Grunde nur die Ableitungsweise der neuen Gleichungen (57) und (58) feststellen. Aus ihnen folgt nun unmittelbar: also : (34) {<h;) = {a,h.;){K,j..;) und auf dieselbe Weise findet man für die übrio-en Grössen: («/ Co') = («1 Co) {ki /io) , (6/ Co') z= (61 Co) (>^, /io) (35) {a;g.;) = {a,g.^{k,n.^ ., {b; g.:) ={b,g.;){k,n.^ {< g-i) = {ßig-^iKlJ-^) {k;a.^):^{k,a,){k,iu) , (h'b.^) = ik,b.;){kji,) (h:g.^) = (k,g.;)(k,/x,). Aus diesen Gleichungen ersieht man, dass die Grössen (31) des neuen Systemes den Grössen (32) des ursprünglich gegebenen proportional sind, womit der obige Satz erwiesen ist, und zwar lassen sie sich durch Multiplication mit (kifi.,) =Xi/io — -/lo/ii aus ihnen ableiten. Dies ist der aus der Theorie der Determinanten bekannte Satz von der Multiplication der Determinanten. §• tJ- 3. Hilfssatz. Wenn bei einem Systeme von zwei Gleichungen die Deter- minanten (17) einen grössten gemeinschaftlichen Divisor ^ besitzen und derselbe auch in den Determinanten (36) {k,a,) . (Ä-,6o) , (^■,Co) (k,d.^ , (k,e.^ . [k,g.;) als Factor erscheint, so lässt sich ein anderes System von zwei Gleichungen (29) und (30) ableiten, das demselben vollkommen äquivalent ist, und bei welchem die Determinanten: («,;&,') (ß/cj') , {b;c.;) (37) «d') . {b;d:) . (c/d') («/<) , {b;e:) . (c/a/) (d:e^) K^/) , ib;g:) , {c;g:) {d;g:) , {e;g:) keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen, ohne dass die Coefficienten G!',6'.....e',(/'.Ä;'aufhören, ganze Zahlen zu sein. Die neuen Gleichungen werden abgeleitet durch Multiplication der ursprünglichen Glei- chungen mit schicklich gewählten Multiplicatoren und Addition , Avie dies im vorhergehenden Lehrsatze umständlicher besprochen wurde. Dies ist nämlich die einzig mögliche Weise, -'aus über die Atißömng eines Systemes von mehreren Hübest immten Glciclniugen etc. 19 einem Systeme vou /.wci Gleieliungeii ein anderes vollkommen glcichgeltendes abzuleiten und es ist demnach unmittelbar einleuclitend, dass nur durch eine geeignete Wald der Multipli- catoren /^ , L . /t, . /i, der gewünselite Z^veck erreicht werden könne, falls derselbe überhaupt im Bereiche der Möglichkeit liegt. Im vorhergehenden Lehrsatze wurde erwiesen , dass die Determinanten des neuen Systemes jenen des ursprünglich gegebenen proportional seien und namentlich durch Multiplication derselben mit (>^i/i.) hervorgehen. Hieraus folgt nun wieder, dass für ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren },i , X, , /i^ , /i , . wo dann auch (,^j fi.^ eine ganze Zahl bedeutet, die Grössen ausser dem Factor jj noch den anderen {Xji.^ , also im Ganzen den Factor ^ (X^ /x,) gemeinschaftlieh besitzen werden. Der gewünschte Zweck wird daher durch ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren X^ , X., , /x^ , /x, niemals erreicht, sondern nur durch gebrochene und namentlich mit dem Nenner ^ versehene solche, die so zu wählen sind, dass (38) f(^/A.) = l also a/i,)=7 ausfällt. Gelingt es, die Multiplicatoren .^i , X., , /ij , /x, dermassen zu wählen, ohne dass die Coeflficienten : a^ , 6,' , c/ , . . . f?/ , e/ , (// , k^' , aj , 6.,' , c.,' , . . . clj , ej , gj , LJ aufhören, ganze Zahlen zu sein, so ist der gewünschte Zweck erreicht, denn man hat dann: (39) («, 6,)=^_ , (a^c,) = — ^ , {b^c,)=^^ ,.. Es erübrigt nur noch, die Möglichkeit einer solchen Wahl darzuthun. Wir wollen hier die vollkommen analytische Behandlung dieses Problemes geben, weil sie für die späteren Probleme wichtige Aufschlüsse ertheilt. Die Bedingungen sind: (iO) (ii) 6, A, + b,x, = b; (12) 6,/ii + b,ii, = b: Xji, Kim - ^ «1 ^ -L ß, A, =zz Oj' b,X, + b,X, = b,' (12) e,/, + c,x, = c; Diese Gleichungen sollen erfüllt werden durch ganze Zahlwerthe von «/ , i/ , c/ , . . . '(! , 60' , c,,' , . . . und geeignete (ganze oder gebrochene) von X^ , X., , /i, , /io. Die Unbekann- ten zerfallen hier in zwei Gruppen, erstens in solche, deren Werthe die Bedingungen zu erfüllen haben, ganz zu sein, und zweitens in andere, die an eine solche Bedingung nicht gebunden sind. Die Anzahl der Unbekannten übersteigt jene der Gleichxmgen um drei und dies ist demnach voraussichtlich die Anzahl der ganzen willkürlichen Grössen, welche in der voll- ständigen Auflösung erscheinen werden. Eine dieser Gleichungen , nämlich die (40) ist nicht linear und solchergestalt ist das hier vorliegende Problem complicirter als dasjenige, welches zum Gegenstande der vorliegenden Abhandlung gewählt wurde. Nichts desto weniger lässt sich dieses Problem auf dieselbe Weise auflösen, ohne alle Schwierigkeit, weil in der nicht linearen Gleichung (40) nur die vier Unbekannten X^ , X.. , /ij ,7i.j ersclieinen, deren Werthe an die Bedingung, ganz zu sein, nicht gebunden sind. Wir werden hier, wie bei jedem anderen Probleme, wobei einige Unbekannte an die Bedingung, ganz zu sein, gebunden sind, die 20 Ignaz Heger. anderen aber nicht , die Letzteren durcti Elimination auf bekannte Weise herausschaffen und von den dabei erhaltenen Gleichungen, welche nur noch jetzt diejenigen Unbekannten in sich schliessen, deren Werthe ganze Zahlen sein sollen, zuerst allein Gebrauch maclien. Man ver- wandelt dadurch das Problem in ein anderes, welches nur die Unbekannten der einen Gattung enthält und nur durch ganze Werthe der darin erscheinenden Unbekannten erfüllt werden darf. Die zu eliminirenden Grössen sind hier die folgenden vier : k^ , X^ , /Xj , /x,. Allein selbst bei dieser Elimination wird man eine Vorsicht zu beobachten haben, wenn man die lineare Form der Gleichungen so weit als möglich zu erhalten wünscht. Da dies in unserer Absicht liegt, wollen wir in folgender Weise verfahren: Das System (41) enthält nur zwei Grössen, die eliminirt werden sollen, nämlich A, und X.^ und besteht aus lauter linearen Gleichungen. Eliminirt man aus ihnen X^ und X.^ , so erhält man eine Anzahl Gleichungen, die nur noch die übrigen Grössen a/ , 6/ , c/ , . . . . in sich schliessen. In ganz gleicher Weise lässt sich das System (42) durch Elimination von ji^ und /x> auf ein ähnliches System von Gleichungen brin- gen, in welchem weder /Xj noch /z^, sondern nur a/ , b.2 , c.^' . . . . . erscheinen. Es ist auch kein Zweifel, dass sich diese aus dem Systeme (42) gewonnenen Gleichungen von den früheren aus dem Systeme (41) abgeleiteten nur dadurch unterscheiden können, dass hier die Unbe- kannten aj , b.2 , Co' beziehungsweise an die Stelle der dortigen «/ , £/ , c/ . . . . treten, weil sich das System (42) von dem anderen (41) nur in den Unbekannten, aber keineswegs in den Coefficienten unterscheidet. Hat man also die Eliminationsgleichungen für das System (41) gebildet, so lassen sich auch gleichzeitig jene für das System (42) mit Leichtigkeit daraus ableiten, wenn man die Unbekannten: 5 durch die anderen ('■2 5 ^-2 1 (^1 ■ ersetzt. Wir wollen dieselben alsogleich bilden. Man denke sich aus den Gleichungen (41), z. B. die drei folgenden herausgehoben: «1 Ai -!- «o ^2 = a/ 6i ^1 -r b-, X2 --=^ h^ Cj /j -}- C, ^2 -— - ^'1 und aus ihnen die Grössen X^ und A, auf bekannte Weise eliminirt, so gelangt man zur Glei- chung : (43) < [b, C2) — bl (a, c.) -f c/ (a, 6.) = 0. Die Ableitung derselben unterliegt keiner Schwierigkeit; man hat nänilicli nur die drei Glei- chungen beziehungsweise mit den Multiplicatoren: (ijCä) , — («1C2) , {(^ib.,) zu -multipliciren und hierauf zu addiren, so erhält man unmittelbar die aufgestellte EHmiiia- tionsgleichung, wenn man auf die zwei identisch erfüllten Relationen: a, ( 61 c.,) — bi [cij c.,) -\- c, [11, b.,] -- U a., [bi Cj.') — 60 («, Co) -j- Co (a, b.,) = 0 über die Auflösimg eines Systcmes i-on mehreren rmhestimmten Gleichungen etc. 21 Rücksicht nimmt, deren Giltigkeit sich leicht erweisen lässt. In vollkommen ähnliclier Weise lassen sich alle übrigen Eliminatiousglcichungen ableiten. Man liat nämlich die beiden ersten C.leichungen in (41) mit allen späteren der Reihe nach zu combinircn. Die dabei hervor- gehenden Elimiuationsgleichungen werden sich von der (43) nur darin unterscheiden, dass der Buchstabe c durch die übrigen: d , e , g , der Reihe nach ersetzt ist. Sonach sind die durch Elimination von /■>, und L aus den (41) liervorgehenden Gleichungen folgende: «/ (6j Co) — &/ ((?! Ca) -1- c/ («i ^a) = 0 (44) < (bi d^) — i,' (ffli (?,) -f (?; («1 6o) = 0 «i' (6, e») — 6/ («le.,) -r e/ («, to) = 0 Ihre Anzahl ist um zwei kleiner als jene in (41). Es ist wohl überflüssig zu bemerken, dass man auch andere Gleichungen hätte erhalten können, wenn man bei der Combination der Gleichungen zu dreien in einer anderen Ordnung vorgegangen wäre. Diese Verschiedenheit wäre aber nur eine Formverschiedenheit gewesen, keine wesentliche. Dieses so eben erhaltene System (44) geht, wie eben früher bemerkt wurde, durch Ver- wandlung der Grössen: «/ , ^i' , c/ , 111 aö , bj , c,/ über in die durch Elimination von /ij und /x, aus den (42) hervorgehenden (lleichuugen. Sie sind folgende: cio (6i Co) --- b.! («1 c,,) ^- c/ («1 Äg) = 0 (45) «; (6i d) — b: (a^do) -'-■ d.{ {a, b,) ^ 0 aj (ij e-i) — bo {a^ e.^) -;- e.,' («i b.^) = ü Diir./h das hier eingeschlagene Verfahren ist die lineaie Form der Gleichungen bewahrt wor- den. Hätte man aber auch die (40) mit in die Elimination einbezogen, so hätte man die nicht linearen Gleichungen: («1 *2) «6;)=- 9 46) (cf c,)— . (ft, Co) = ia;d:)=^^^ . ib;d:)=^^^^ gefunden. Hier also ist zu den Gleichungen (44) und (45) noch die ( 10). oder, was dasselbe ist, eine der (16). z. B. die [ii) [^a,b,)r^-^^ hinzuzufügen. 22 Ignaz Heger. Der nächste Scliritt besteht mm in der Bestimmung der Auflösungen in ganzen Zahlen für die Gleichungen (44), (45), (47). Wir beginnen wieder mit der allgemeinen Auflösung des Systemes (44), denn mit ihr ist zugleich jene des anderen Systemes (45) bekannt, da nur die Unbelvaniiten andere Bezeichnungen tragen, die Coefficienten jedoch dieselben sind. Die allgemeine Auflösung des Systemes (44) enthält offenbar nur zwei willkürliche Grössen in sich, wir wollen sie mit li und :yi bezeichnen. In gleicher Weise erscheinen in der allge- meinen Auflösung des Systemes (45) wieder zwei willkürliche Grössen f, und tj^^. Substi- tuirt man nun die Werthe von «/ , a.^ , 6/ , b.! in die (47) , so geht eine Gleichung hervor, welche nur noch die vier Grössen ^^ , (f^ , 3y, , jy, enthält und in ganzen Zahlwerthen aufge- löst werden soll. Die dabei hervorgehenden Werthe von ^j , ^^ , tj^ , 3y., sind dann die wirklich brauchbaren. Man wird sie in die allgemeinen Werthe von «/ , i/ , c/ , r?,' , . . . . a.^ , 6./, c'„ . (1.2 , . . . . substituiren und besitzt dann die Werthe dieser Grössen und hiemit also die Coefficienten und Constanten der beiden gesuchten transformirten Gleichungen. Die allgemeine Auflösung des Systemes (44) mit zwei unabhängigen Grössen ist nach §. 2 in folgender Form vorhanden: (48) c'^a +C,^,+ C,7i, c/; = A + Ali + A'yi e/ = E„ + E^ ^, -4- E, 7ji Hier ist A„ , B^^ , C^ , D^, , E^, , eine speciel]e Auflösung in ganzen Zahlen. Eine solche begreift hier in sich lauter Nullwerthe, und es können demnach diese Grössen durch Null ersetzt werden. Hiedurch gewinnt die allgemeine Auflösung des Systemes die Form : (49) c/^ci, + a^, dl = i)i?i + A'?! cV = All + E.//}i wo Ai . B., , G.2 , D., bestimmte Zahlen bedeuten. Die anderen /?, , C, , Z), . . . . unter- liegen nocli einer Willkürliehkeit, die aber alsogleich behoben wird, wenn man B^ feststellt, z. B. den kleinsten numerischen Werth ertheilt oder dergl. Die Auflösung des Systemes (45) ist in ähnlicher Form vorhanden: (1-2 -^^ -^1 ?'2 b;=^B,^,^B^, (50) c/=ac, + a=7. e:=E,^,^E^, über die Auflösung eines S//stemes ton mehreren unbestimmtcv (llcichungcn otc. 23 nur mit anderen ^villkiirliellen Grössen 1, iiiul r^.,. Substituiren wir uiiii die Wertlie von a,', /;,' , rt./ , h-i in die (47), so gehl die Gleichung hei-vor. Alan erliält sie aueli ohne aller Eeehnung vermittelst der Ergebnisse von i?. l) , denn man hat dem zufolge: (a/ 6,;) = [A, 5,) (f , Tj.^ = .1, 1?, (I, :y,) , woraus mit Hilfe der (49) die (51) alsogleich hervorgeht. Diese Gleichung stellt die Be- dingungsgleiclmng für Ci •, Co . J^i . ^i vor. Sie ist nicht linear, aber es ist leicht einzusehen, dass sie durch ganze Werthe dieser Grössen erfüllt werden können nur daim. wenn "' ' eine ganze Zahl ist. Es ist nun A^ , i?, zu suchen und in die Gleichung zu setzen. Wir beginnen mit der Bestimmung von I?o. Hiezu dienen die nachfolgenden Gleichungen: (52) — B, {a, d^ + A («1 ^2) = (» — B., («1 e.,) + E„ {a.-. 5.) = 0 Der blosse Anblick dieser Gleichungen lehrt, dass die Grössen: (53) B, , C, , D, , E, ,.... den andern : (54) («i&a) , (ßiC.) , («id) , («16.) , proportional sind. Da ferner laut §. 2 die Grössen Bo , C, , D.^ , Eo , . . . keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen dürfen, so hat man nur die Grössen (54) durch ihren grössten gemeinschaftlichen Theiler zu dividiren, um alsogleich die Grössen (53) zu finden. Dieser grösste gemeinschaftliehe Theiler ist unserer Bezeichnungsvsreise zufolge: ^^^ und demnach erhält man: (o5) Bo = + — ; — , U = ± — - — , L>„ = ± — ; — , iio = ± — ; — , . . . . Es ist noch übrig, die anderen Grössen: A^ , B^ , C^ , D^ , E^ , .... zu suchen und zwar aus dem Systeme von Gleichungen: A, (b, c,) — B, (a, c.) 4- C, (a, 5,) = 0 (56) A,{b, d,) — B, {a, d) + A (% ^2) = 0 A, {b, e,) - A («, ^2) + ^1 («1 b,) = 0 Dieses System ist aufzulösen durch ganze Zahlenwerthe und dabei soll A^ den möglich kleinsten von Null verschiedenen Werth erlangen. Zuerst handelt es sich also darum , diesen Werth von A^ zu finden. Multipliciren wir diese Gleichungen beziehungsweise mit ganzen Grössen /' . (j . e so erhält man : (57) A,\ib,c.;)y -r {b,d._)d-X- (5,e,)£ + . . .] — A [(«iC,)r + {a,d,^rl^ {a,e.;)s-\- . . .] + + ichb.;)[c,r + D,ö + E,s + ...]=. 0 24 Ignaz Heger. Wenn ;-,<?,£, .... völlig willkiirliclie Grössen bedeuten, so ist diese Gleiclning dem Systeme (56) vollkommen äquivalent. Dies ist auch dann noch der Fall, wenn man für diese Multiplicatoren eine Bedingungsgleicliung aufstellt, die aber noch eine fernere Grösse ß in sich schliesst, denn eine solche Gleichung enthält in ihrer Auflösung, gleichgiltig ob sie in ganzen Zahlen geschieht oder nicht, gerade so viele willkürliche Grössen, als im Systeme Gleichungen vorhanden sind. Diese Bedingungsgleichung sei: (58) («, b.^ ß -L [a, c.,) ;- -l (a, d.^ d^ {a,e.^s^ . . . = (p<p,. Sie verstattet stets ganze Auflösungen. Die aus ihr hervorgehenden ganzen Werthe für ^? , /•- . ö , c . . . . in ihrer allgemeinen Form mit m willkürlichen Constanten, denke man sich in die Gleichung (57) gesetzt, so geht sie über in: (59) ■ A,[{b,c.;)r + {h,d.)d-V{b,e.;)e^...]-B,[<p<p^—{a,b.;)ß] + und ist noch immer dem Systeme (56) äquivalent. Um den kleinsten Werth von A^ zu finden, der einer ganzen Auflösung dieser Gleichung entspricht, schreibt die bekannte Eegel voi-, den grössten gemeinschaftlichen Divisor der Coefficienten: (60) (p4'„~(a,b.;)ß , («,i.,)Y , {a,b.;)d , {a,b.^s .... zu dividiren durch den grössten gemeinschaftlichen Divisor aller dieser Grössen und dei- (^ic,)r4 {b,d.^d^-{b,e.;)s+ Nun zeigt eine leichte Überlegung, dass wenn 0 den grössten gemeinschaftlichen Factor der Grössen ^ , <? , e , . . . . bezeichnet, die Coefficienten (60) höchstens (p(p,j als grössten gemeinschaftlichen Factor aufweisen können. In der That ist der grösste gemeinschaftliehe Factor von: {<^A)r ) («i^-..)«? , («1^2)^ , • • • gleich («1 62) 0. Sucht man nun den grössten gemeinschaftlichen Factor von : (61) <p(p„~{a,b.^ß und (fl,i.)^ so erscheint jedenfalls <p(p^ in beiden Grössen als Factor, weil {a^b^ diesen Factor enthält. Die ausser <p^„ noch in {a^b.^ erscheinenden Factoren kommen aber in f<p^ — (aj 63) /9 unmöglich vor, weil nur ein Theil diesen Factor enthält, der andere aber gewiss nicht. Folglich könnte nun höchstens noch ö, im Ganzen also <p^„d in beiden Grössen (61) erscheinen. Fasst man nun noch die Grösse : (b^ c.,) y + (ij tZ.,) d -\- ib^e.^s A^ ins Auge , so zeigt sich alsogleich, dass in ihr jedenfalls (pü als Factor erscheint; von (f>„ aber kann man weder das Erscheinen noch das Fehlen unmittelbar nachweisen. Es geht hieraus hervor, dass der kleiiiste Werth von Ai keinesfalls kleiner sein könne, als ^^. In der That bestünde ein kleinerer Werth z. B.yli= — so ginge die Gleichung (51) über in: oder: I über die Auflösung eines Sjistemes ron mehreren tiiilxstlmmtc)) Gleichungen rfc 2."» Diese Gleichuno- ist offenbar in i;;uiz('ii Werilieu autlüslidi, z. J>. für <?, ^ 1 , rj, =: p , ^, :y, :^0. Ilienuis folgt, dass jedenfalls zwei (Gleichungen bestehen, deren Coeffieicnten ganz sind, und deren Determinanten die oben verlangten Werthe: fff, />.,) (ajC.,) besitzen. Man hat hier (7/1=-^" , a_; = 0. Nun sollen «,' und a.,' den Faetor ^'„ gemeinschaft- lich besitzen, Aveil er in den mit c/ verknüpften Determinanten ei'sclieint. Dies ist aber iiui- l'üi- /> = 1 der Fall. Folglich ist: (63) -1, = (^'„ und die Bedingungsgleiehung (62) verwandelt sich in: m (c.r;.) = l. Nachdem nun ^j bekannt ist, unterliegt es keiner Schwierigkeit, auch J!^ . C\ , I)^ . ... zu finden. Substituiren wir yl, = f/i^ in die Gleichung (59), so finden wir: (65) ^^,[^7;,a,)/-+(^fyo^+(^:^.)s + .-.]-^.[^5^'.-K^.)A^J + Diese Gleichung lässt sich durch ^{/'„ abkürzen, und gewinnt dadurch die Form: (66) llh^y ^ h:!ilj ^ ^^^l^s+ . . .]-BAl^^ß]+ ' Die hier angezeigten Divisionen lassen sieh wirklich ausführen. Es ist dies eine unbe- stimmte Gleichung, wie für sich klar ist. Da es sich aber nun um irgend eine beliebige Auf- lösung derselben handelt, so können wir noch Verfügungen treffen, die nur ganze Auflösungen nicht unmöglich machen dürfen. Hier ist eine einzige Grösse willkürlich, folglich dai'f auch nur eine einzige Grösse zur willkürlichen Verfügung erwählt, oder, was dasselbe heisst, eine einziffe Bedino-unofsg'leichuno- aufo-estellt werden. Für unsere Zwecke ist die folgende: (67) B,ß+C,r + D,d-^E,s+....^0 die zweckdienlichste. Sie ist nämlich stets durch ganze Werthe auflöslich und verwandelt die (66) in die sehr einfache bestimmte Gleichung: (68) B, = ^[(b,c.^r + {b^d.^0^ + {b,e.^e + . . .J. Die entsprechenden Werthe von Ci ^ D, , E^ findet man unmittelbar aus den einzelnen Gleichungen des Systemes (56), Avenn man A^ und B^ durch ihre Werthe (63) und (68) ersetzt. Sie sind zufolge der (58): ^ ^ "' ~ ? («1 *2) l— {a,b.;)(b,c.;\ ß— (a, c,) (6, c,) ;- — (a, d) {b, c.) d— (a, e,) (b, c,) c + . . . . J und mit Rücksicht auf die identisch erfüllten Relationen : Iienkscbriften ik-r mathem.-naturw. Cl. XIV. Bd. Alihandl. v. Kichlmil;;!. 26 Ignaz Heger. («1 Ca) (hl cl^ — (ff, d.^ {h, c.,) = (o, 5,,) (c, d,) (»iCa) (6, e.,) — (a, eo) (6i c.) = («, 6.) (e, e.,) lassen sieb Reductionen ausführen und man erhält solchergestalt : (70) ^. = 7 [— (^. «^O /^ + (^1 ^^■-') «' + (^. '-^ ^ + ---] In vollkommen ähnlicher Weise eingeben sich die Werthe der übrigen Grössen D, , Ej , .... Im Folgenden haben wir die Werthe aller dieser Grössen zusammengestellt und eine blosse Anschauung gibt über das Gesetz ihrer Bildung Aufschluss : B, = 1 [{b, c,) r + (i. <.) r; + (b, e,) s + ...] (71) C, =^^[— (iic,) ß + (c, r/,) o^ + (c, e,) £ + . . .] 1 A = T[-(*>^^)/5-(">^^^)r + (fA^,)^-+ . • .] ¥> Die hier erscheinenden Grössen ß , j- , d , s . . . . sind ganze Zahlen , die dui'ch Auf- lösungen der Gleichung (58) gewonnen werden. Hiemit sind demnach sämmtliche Coefficienten der zwei transformirten Gleichungen bekannt: Man hat nämlich die gefundenen Werthe (55) und (71) nur in die Gleichungen (49) und (50) zu substituiren, für die Grössen fi , l> , y]i , 7^.> aber ganze Werthe zu wählen, welche die Gleichung (64) erfüllen; so sind sämmtliche Coefficienten der zwei gesuchten transformirten Gleichungen bekannt. Man kann sich leicht hinterher überzeugen, dass bei denselben die Determinanten sich von jenen des ursprünglichen Systemes nur im Fehlen des allen gemeinschaftlichen Factors ^ unterscheiden. Noch leichter geschieht dies aber, wenn mau den Wertli von (Aj n,) betrachtet. Wir wollen nun noch die Werthe von ^^i , L , /ij , /jl.> entwickeln. Zu ihrer Bestim- mung braucht man nur zwei der Gleichungen (-41) und zwei der (42) zu erwählen: z.B. 61 ^1 -\- b, 1, = b^' , /^i/i, -f b.,fx.^ = bj die Grössen a/ , i,' , 02' , bj durch ihre Werthe zu ersetzen : (73) < = <pj. , «;={^„e, Die Auflösung der Gleichungen (72) liefert zunächst: X, = [0/ b., — o.,A,' I , /i, = [«..,' b.^ — a, 6./1 und diese p-ehon diu'fh Einführunii' der Werthe über in: I XJbcr die Auflösung eines Systevies von melirercn nnbestimmten Gleichungen etc. 27 ^^ = kW t- (^' '^ - «' -^^') ^' + ''' ^-^ 'y-] (74) ,M = ^[(<f>A-a,B,)i,-a,B,yi.;\ Ersetzt mau hier ^„ , Bi , B., durch ihre Werthc, so erhält mau znuächst: 1 r /;, («, b.;) ß + l>,{a, a,) ;- + h, (ff, d.^ d + 6, (ff, e,) e + . . .i (0„O., ff,i>,)=:~ I ^L — ff.,(6,c,)r — a,(i:^/,)« — «2(^'.f^2)£+- .-l iiud mit Rücksicht auf die identischen Eelationeu: 6o (ffi Co) «2 (i, Co) =: C, («1 6o) ^2 («1 ^2) (^2 (^•'1^4) = (f-l (ö!i ^2) ^2 (ff 1 e2) — '^2 (^1 62) = ^2 (ö'i ^a) also: Hingegen : {(P„ b, — cu B,) = i^^i^ [6,/5 Jr c,r + d,d + e,s ^- . . .] (^,,i, — ff,A) = [ ^ (ff, Ö2) ß + ^. («: ^-2) r + ^i («1 f/2) o + /*, (ff, f>2) £ + — ff, (6, c.?j X — ff, (ö, d.^ d — ff, (6, 63) £ — oder mit Rücksicht auf die identischen Relationen : 6, (ffi C,) — ff, (^>, C.) = C, (ff, 6.) 6, (ff, c7._,) — ff, (/;, (/.) = (/, (ff, 6,,) 6, (ff, Co) — «, (i, e^) = e, (ff, /^j) folglicli : (^'„5,-ff, 7?,) =i^[i,y9+c,;- + fZ,ff^+ .,£ + ...] Durch diese Werthe erhält man aus den Gleichungen (74) ;, = ^[{h,ß+c,r^d,d+e,s + . . .)f, --^Jr;,] 1 ;., = - [{b,ß + c,r + d, ,; + ^, £ + . . .) f, — -1 ry,] /i, = -^ [ (7>,;? J^ c,r + d,d + e,e -Y . . .) e. — -^'; rj.^ ti.. = ^\(b,ß ^ cj + dj + e,B + . . .)l, — ^rj.^. * (p ' ' ya Die Grössen /9 , /- , 0% £ , ... sind durch Auflösung der unbestimmten Gleichung (58). jene von c, , c.. , rj^ , ^y.. aber aus der (64) zu suchen. 28 Ignaz Heger. Die Auflösung der Gleichung wiewolil sie schon der zweiten Ordnung angehört, lässt sich dennoch bewerkstelligen vermit- telst jener Vorschriften, die für eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades gelten. In der That kann man Cj und ifj vollkommen beliebig wählen , nur dürften sie keinen von Eins ver- schiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen. Sind die Werthe dieser zwei Grössen festgestellt, so verwandelt sich die Gleichung in eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung des ersten Grades und die Werthe von /ij und jx^ ergeben sich mit Leichtigkeit. Für unsere Zwecke ist nur eine sjjecielle Auflösung von Wichtigkeit, nämlich: C, rj.,— \ , i, rj, — 0 ^, = 1 , 3j2 ^= 1 1 ?j oder 3^j oder beide = 0. ;., = i [b,ß + ^3 r + d, d^e,s + ...] h = - Vhß + ^, r -f (h et + ^^ c + . . . j also: Dies liefert: Ih = Fassen wir nun alle bisherigen Ergebnisse zusammen, so geht folgende einfache Eegel liervor, um ein System von zwei Gleichungen: «1 ^' + ^hii 4- c, .3 ^- — -I- (h « + f 1 ^' -f g^ f^ = /"'i a.,x -\- li.,y -'r c.,z -\- . . . . + d.yu -j- e., r -{- g.,iD = k., dessen Determinanten : (« b) (a c) , (6 c) I [ad) . [bd] . ied) , [ae) , {be) , (c e) , {de) | (ag) , (bg) , (cg) , {dg) , {cg) einen gemeinschaftlichen Factor ^ besitzen, der auch in: (ka) , {Lb) , {kc) ..... {kd) , {ke) , (kg) erscheint, in zwei andere vollkommen gleichgeltende Gleichungen: < ^ 4- b,'i/ + c;z + — -t- fZ; u + e; v + g; w = k; cio X -^b^ly -|- c./ 3 -f . . . . -|- f/.,' H + f'l ?' + /Z-/ ''^ = ^^-1 zu transformiren, welche gleichfalls lauter ganze Zahlen zu Coefficienten besitzen und deren Determinanten von dem gemeinschaftlichen Factor (p befreit erscheinen: Man multlpliciro-- die über rh'e Auflüsung eines Systemes von mehreren unbestimmten Cileichungen etc. 20 beiden tUeieliungen zuvörilei-st mit bestimmten Zahlen >1, , i, und addire sie und erliält so cim- erste transformirte Gleichung; hierauf verfahre man mit zwei andern Multiplicatoren /i, und /i^ in vollkommen ähnlicher Weise und gewinnt so die zv^reite transformirte Gleichung. Die Werthc von ^1 . L , |L^ , /i, sind gegeben durch die Formeln: ^. = 7 \'>U^ + ^'-' r + d, o^ + c. s + g, rj\ L = —-{l),ß 4- r, y 4- d, r? + p, c + ,9, ^] <p<i><l /^2 = Hier bedeuten die Grössen ß . )■ , o ^ s , ... ganze Zahlen , welche die unbestimmte Gleichung : {ab)ß-\-{ac)r+ {ad)ö+ {ae)£ + {ag)rj = (p(l>„ erfüllen: <f<l\ ist der grösste gemeinschaftliche Divisor der mit a verknüpften Determinanten: {ah) , {ac) , {ad) , {ae) , {ag). Diese unbestimmte Hilfsgleichung hat man in einer speciellen Form aufzulösen in ganzen Zahlwerthen. Die Coefficienten der transformirten Gleichungen sind gegeben durch die Formeln: <=]:[ {ah)ß+{ac)r^-{ad)d-^{ae)s + {ag)iQ]= 4>, /V=^[ {hc)r ^{hd)d -^{be)s^{hg)ri\^ (bc)j' + (bbH+(&e)s+ (hg)^ r:=l-\-[hc)ß J^{cd)d^{ce)s^{cg)-q\=.-{hz)ß + (cb) (?+ (c e) £+ (cg)^ di^'-{-{bd)ß-{cd)r +(rfe)£ + (fZ<7):y] = -(b&)/9-(cb)r +(be)s+(bg)^ ^>'=^[-(*^)/^-(c^)r-(f?e)o^ +(e5r):y] = _(be);5--(cc)r-(be)o^ +(eg);y 9i=-{-{hg)ß-{cg)r-{dg)d^{eg)e ] = - (bg)y9- (cg) r- (b8)«-(e9)^- ÄV=:^[ {kb)ß\. {kc)r-^{kd)() + {ke)e-^{kg)vi]=^ (f 6)^ + (f c)^ + (f b).?+(f e) e+ (f gh a; = 0 , h: = {ab) , c: = (ac) , f7; = (ab) , e; = (ae) , i/,' = (ag) , k.: = {al). Die Determinanten des transformirten Systemes sind von dem gemeinschaftlichen Factor <p befreit, da (A/i) = 4;^[{ah)ß + {ac)r + {ad) d + {ae) s + (a^) 7^] = ^ ist. Ausser dieser Form der transformirten Gleichungen bestehen, wie sich von selbst ergibt, noch unendlich viele andere Formen. Sie sind durch die allgemeinen Formeln gegeben , zu denen wir gelangt sind. [a c) , {hc) [ad) , {hd) , {cd) {ae) , i^'^) , (^^) : , {de) («.'7) , [Wj) , (^5') : ^ i^9) 30 Ignaz Heger. §• -• Nach der Entwicklung dieser drei Hilfssätze können wir zum Beweise des im Eingange aufgestellten Satzes schreiten, der folgendermassen lautet: Wenn ein System von zwei Gleichungen mit beliebig vielen Ünbekann ten in allen D et erminanten, die aus den Cocfficienten gebildet werden, nämlich in: {ah) (75) {ae) , {he) , (ce) , {de) nur solche Fact o ren gemeinschaftlich aufweist, die auch in den Grössen: (76) {ka) , {kh) , {kc) , ikd) , {ke) , {kg) erscheinen ; so kann man demselben stets durch ganze Zahlw erthe sämmtlicher Unbekannten Genüge leisten. Der Beweis, den wir zu führen beabsichtigen, ist ein Inductionsbeweis. Wir werden nämlich zeigen, dass unter den angegebenen Umständen das vorgelegte System von zwei Gleichungen mit m Unbekannten sich zerlegen lasse in eine gewöhnliche unbestimmte Glei- chung mit nur zwei Unbekannten, welche immer ganze Auflösungen besitzt, und in ein System von zwei anderen Gleichungen mit nur m — 1 Unbekannten, bei welchem die aus den Cocffi- cienten gebildete Determinantengruppe keinen von Eins verschiedenen Factor besitzt. Diese gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten und das neue System von zwei Gleichungen sind dem ursprünglichen Systeme äquivalent. Diese Transformation lässt sich für jede beliebige Anzahl m von Unbekannten ausführen; selbst für ??j=:3, nur mit dem einzigen Unterschiede, dass in diesem Falle das neue System mit m — -1 Unbekannten kein unbestimmtes mehr ist, sondern ein bestimmtes, dem folglich nur eine einzige Determinante entspricht , welche aber gleich Eins Avird, so zwar dass die Auflös- lichkeit derselben in ganzen Zahlen ausser Zweifel ist. Durch eine m — 2 malige Anwendung dieses Verfahrens wird man das ursprüngliche System von zwei Gleichungen mit m Unbekannten verwandeln in m — 2 gewöhnliche unbe- stimmte Gleichungen mit je zwei Unbekannten und in ein System von zwei bestimmten Glei- chungen. Alle diese Gleichungen sind in ganzen Zahlen auflöslich, folglich auch das ilinen gleichgeltende System von zwei unbestimmten Gleichungen, von dem man ausging. Um die nachfolgenden Untersuchungen nicht unnützerweise zu compliciren, wollen wir von der Voraussetzung ausgehen, dass in den Determinanten (75) kein von Eins verschiedener Factor gemeinschaftlich vorkomme , wodurch die Allgemeinheit der Untersuchungen nicht im mindesten beeinträchtigt wird, da man sich den in den Grössen (75) und (76) gemeinschaftlich vorkommenden Factor stets durch die im vorhergehenden Paragraphe angegebene Transfor- mation weggeschafft denken kann. Unter dieser Voraussetzung wollen wir nun die ursprünglich gegebenen Gleichungen vermittelst gewisser Multiplicatoren ^j , L , ji^ , jx., in zAvei neue Gleichungen (29) und (30) transformircn, so zwar, dass die eine derselben, etwa die (29) von einer Unbekannten, z. -B. über die Auflösung eines Systemes vo7i mehreren anlicstlniDitcii < Ih'ii-Iinnfieit etc. 31 dor IC betreit ist. und die Uetermiiuinteii der neuen Gleiehungen, welche von 7 frei sind. nUmlieli : («7/) (77) [a c) , (b'c) (a'd) , (i>d) , [c (!') , {d e') , (1/ e') , (c e') , [d e) keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlicli besitzen. Der Nutzen einer solchen Transformation ist unschwer einzusehen. In der That sind dann die transformirten Gleichungen folgende : ßj' X -{- bi 1/ -\- Cj^ z -\- . . . . -\- dl u -\- e,' v = /c,' ajx -f bji/ + c/s +.... + <f./ «6 + e,,' r -f g,' w --:=k.J. Durch Einführen einer neuen Hilfsgrösse lo' vermittelst der Substitution: aj X -\- b.,' y -\- c.,' z -^ . . . . -\- dj u + ej r = w' verwandelt sich die zweite Gleichung in: io' -f g.> w = kj Diese Gleichung ist eine unbestimmte mit nur zwei Unbekannten : lo und 10'. Gesetzt, man hätte sie in ganzen Zahlen aufgelöst, was, wie später gezeigt werden soll, immer möglich ist, so kann man den gefundenen Werth von to' in die zweite der beiden folgenden Gleichungen : a/ a; -f 6/ ?/ + c/ ,s 4- . . . . + f// u + e/ r = l\ aj X + bjg -\- cj 2 + .... + fZ.' zf + e.,' v = w' setzen und hat nun zur Bestimmung der übrigen m — 1 Unbekannten eben diese zwei Gleichun- gen mit lauter ganzen Coefiieienten und Constanten, bei welchen dieDeterminantengruppe keinen gemeinschaftlichen Factor aufweist und folglich derselben Transformation abermals unter- worfen werden kann. Bei diesem Probleme handelt es sich zunächst um die Bestimmung der Multiplicatoren /i , ;.. , /ii , lu. Da die neuen Determinanten der ursprünglichen proportional sind und nament- lich durch Multiplication mit der Determinante (;./i) entstehen; so muss offenbar {X ß) gleich- kommen dem reciproken Werthe des grössten gemeinschaftlichen Factors aller von g freien Determinanten. [ab) (ac) , (bc) [udj , [bc) , {cd) , (ac) , (be) , (ce) , (de) des ursjH-ünglichen Systemes. Diesen grössten gemeinschaftlichen Factor wollen wir, emer schon früher gebrauchten Bezeichnung gemäss, mit ^^ andeuten. Ferner ist noch eine zweite 32 Ignaz Heger. Bedingung zu erfüllen, nämlich die gi = 0 und endlich noch eine dritte, welche besagt, dass alle Coefficienten und Constanten der transformirten Gleichungen mit Ausnahme von g.! und L! ganze Zahlwerthe erhalten sollen. Diesen Bedingungen ist Genüge zu leisten. §• -^- Wir wollen nun zeigen, wie diese Werthe der Multiplicatoren X^ , X., , /x, , ju durch ein analytisches Verfahren abgeleitet werden können. Die zu erfüllenden Bedingungen sind durch die nachfolgenden Gleichungen ausgesprochen: D 1 (78) X,n,—k,ii,= ± ("9) g.K^g,h = ^'^ (80) g^ih + g,!h=g^ fl] /, + «2 ^-1 = ^i' ('\!h + (l'ilh = f'ä' ^1 ■^'1 + ^i K ^= ^i' ^ilh + b-ilh = ^i C, Ai + C, X., = c/ C-,/X] + Co/X, = Co' (81) (7, /, + d, X, = '/; (82) d,ii, + fZ,/i, = cZ; Pi Ai -f e., 1, = e/ Gi/ii + e.,/i,, = €.{ k, X, + Ic, X, = /.•/ Diese Gleichungen sollen erfüllt werden für ganze Werthe von a,' , 6./ , c/ , . . . c// , e/ , /v/ , cu> , 6o' , Co' . . . cZo' , 6.2 und beliebige Werthe von X^ , 1, , /ij , ji., , g.,' gleich- gültig, ob sie ganz, oder gebrochen sind. Die Anzahl der hier vorliegenden Gleichungen ist 2?«-)- 2, jene der .Unbekannten aber 2???-|-4, also um zwei grösser. Das vorliegende Problem ist demnach ein unbestimmtes und enthält voraussichtlich zwei überschüssige Grössen. Um zu einer Auflösung dieser Gleichungen zu gelangen, wollen wir den folgenden Weg einschlagen. Wir heben zuvörderst die zwei Gleichuno-en : ö (83) /,/io— /o/ii= ±- , g,ih+ giih = gi heraus und eliminiren aus ihnen jx^ oder /io, z. B. /i,, so erhalten wir: igi K + g-i ^di^-2 = ± ^ + gj L und wenn man jetzt auf die Bedingungsgleichung (84) gJ^r+g,i, = ^^ Rücksicht nimmt, geht dieselbe über in: (85) + — + g.:X., = i) oder X. = + -^^ . Dies belehrt uns, dass die beiden Gleichungen (83) zur Bestimmung der zwei Grössen /i, und /io nicht, sondern nur zur Ermittlung einer dieser beiden benützt werden können , da eine Elimination einer dieser beiden Grössen gleichzeitig auch die andere herausschafft. -- tJber die Auflösuug eines S>/stemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 33 Substiriiirt man nun Jen W(>rtli (So) in tlic (84), so t'ol^-t: (86) <f'j9i Die drei Gleichungen: (87) K-- V'.>9-1 <Pii9-i treten also an die Stelle der früheren drei Bedingungsgleichungen (78) (79) (80). Wir substi- tuiren nun diese gefundenen Werthe von /^i und L in die Gleichungen (81), so verwandeln sie sich in andere, welche alle nur noch gj nebst den ganz sein sollenden Grössen a^' , b^ , c,', . . . . e/ , Ä;,' in sich schliessen. Sie sind folgende: «,' = ± b; = ± (88) c/ = ± ("lg2) 9992 (g] ffa) fo9-{ ei = ± ■-1 («1 9-i) 9'j9i (h 92) V'j9-2 Sie dienen dazu, den Werth von g.i festzustellen. In der That, sollen a/ , 6/ , c,' , ... fZ, e,' , ^'i ganze Werthe besitzen, so muss j5,, g.,' den ganzen Werth ^, erhalten, oder ein Bruch sein mit dem Zähler ^A, , aber einem völlig beliebigen Nenner'-'). Dies lässt sich auf folgende Weise einsehen. Multiplieiren wir diese Gleichungen beziehungsweise mit unbestimmt gelassenen ganzen Zahlen :«,/?, ^,...^,£,;f, und addiren sie hierauf, so geht eine neue Gleichung hervor : (89)«« + 6//?+ c/r+ • • ■ • + d;f)+ eia+k;x) = ± -^[{a,g,)a + {b,g.^ß+ {c,g.^r^ • • • + + (c?, g-2} ^ + (eig-i) £ + (h g-z) >f ]• Diese Gleichung ist dem Systeme von Gleichungen (88) vollkommen äquivalent, so lange </, y5 ,/-,...(?, c , X vollkommen willkürliche Grössen bedeuten. Hebt man aber die Willkür- lichkeit einer oder mehrerer dieser Grössen auf, so kann dies wohl nicht mehr behauptet werden, weil eine Verminderunff der Anzahl dieser willkürlichen Grössen denselben Effect hat, wie das Weglassen einer der Gleichungen im Systeme (88). In einem solchen Falle wird demnach nicht jede Auflösung der Gleichung (89) auch nothwendig dem Systeme (88) Genüge leisten, aber umgekehrt jede Auflösung des Systemes (88) die Gleichung (89) erfüllen. Lässt sich daher zeigen, dass unter gewissen Verhältnissen die Gleichung (89) keine ganzen Auflösungen nach *) ^^y bedeutet hier, einer früheren Bezeiehnungsweise gemäss, den grössten gemeinschaftlichen Factor der mit g behafteten Deter- minanten (ag) , (bg) , {cg) . . . . {dg) , (eg). Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XIV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. ®' 34 Ignaz Heger. ö/ 1 ^1 ) <^i 5 • • ^A' ) (^i 5 ^»-'i' besitzen könne, so gilt dies um so mehr von dem Systeme (88). Nehmen wir jetzt an, « , y5 , ^ , . . . o , £ , x seien der Bedingung: (90) {a,g.^ a + {hg;) ß + (c,^,) T + • • • • -^ {d,g.;) d + (e, r^,) £ + (^^572) ^ =S^, entsprechend gewählt, wo (p,^ der schon früher gewählten Bezeichnung gemäss den grössten gemeinschaftlichen Factor von g^ und g., und nach §. 4 auch aller mit g verknüpften Deter- minanten : {a,g.,) , {h^g.^ , {c,g.^ , (c^i^'.) , {e,g-^ darstellt, und auch in {k^g,) als Factor erscheint. Eine solche Wahl von «,y9,^,...<?,£,x ist immer möglich, ohne diesen Grössen andere, als ganze Werthe zu ertheilen, indem (p^ der grösste gemeinschaftliche Factor der in dieser unbestimmten Gleichung des ersten Grades vorkommenden Coefficienten ist, und so ist es klar, dass einerseits nur eine einzige Grösse ihrer Willkürlichkeit beraubt wird, andererseits aber, dass in denWerthen von a , y? , ^ ,...(?,£ , X kein von Eins verschiedener Factor gemeinschaftlich vorkommen könne. Es geht hiedurch die Gleichung (89) über in: (91) a;a + h;ß^c;r^----^-d;d^e;s + k;x=± ^''" V'j9-i und es unterliegt nun wohl keiner Schwierigkeit mehr, alsogleich auch einzusehen, dass diese Gleichung nur dann in ganzen Zahlen nach 0/ , l\ , e/ , . . . cZ/ , e/ , h^ aufgelöst werden könne, wenn — ^ eine ganze Zahl ist, also: 4'9 (92) g: <P.j: gesetzt wird, unter ^ eine willkürliche ganze Zahl verstanden. Also auch nur unter dieser Bedingung ist es möglich, keineswegs aber nothwendig, dass auch das System (88) in ganzen Zahlen aufgelöst werden kann. Um nun Gewissheit zu erhalten, ob für beliebige oder, nur für beschränkte Werthe von C das System (88) in ganzen Zahlen aufgelöst werden könne, substituiren wdr den gefundenen Werth von g! in die Gleichungen (88) und finden] sonach : (9o) ff, = ± -— , 61 = ± , C, = ± — , c/i = ± Da nun ^^ als Factor in allen Grössen: («i^o) , (&i f/o) ) i'^iff'!) ••• i^i g-i) > (^192) > (k^ g.;^ erscheint, so ist die hier angezeigte Division wirklich ausführbar und wir gelangen sonach zur Überzeugung, dass wirklich und für völlig willkürliche Werthe von C die Grössen a/ , 6/ , c/ , . . . dt , e/ , k; ganze Zahl werthe erhalten. Die Wahl des Werthes von g^' in (92) ist demnach hinreichend, aber auch erforderlich, um a/ , 6/ , c/ , ... fZ/ , e/ , ^\' ganz aus- fallen zu machen. Es erübrigt aber auch noch, zu untersuchen, ob auch aj , 6.,' , c.,' . . . . d.,' , 63' ganze Werthe erlangen können und für welche Werthe von .f". tJber die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 35 Zu diesem Zwecke ist es aber notliwendig, auch aus dem Systeme (82) die Grössen //, . /jo herauszuschaffen und dafür ^2' einzuführen. Dies lässt sich auf verscliiedene Weise bewerk- stelligen, so z. B. könnte man aus der Gleichung (80) und je zwei Gleichungen des Systemes (82) /ij und/x, eliminiren und solchergestalt alsogleich zu Gleichungen gelangen, in denen /i, und /i, durch ^/o' ersetzt ist. Es besteht aber noch ein viel kürzerer Weg, Avir wollen diesem hier einschlagen. Aus dem in §. 5 entwickelten Satze folgt nämlich, dass hier, wo die Multiplicatoren- Determinante (kij) den Werth — besitzt, zwischen den Determinanten des neuen Systemes und jenen des ursprünglichen folgende Eelationen bestehen: («,^-o) = ^„(ffi'i,;) , {a^c,) = (p^{a;c:) , {a,d.^ = (p^{a;di) , («1 c.) = {^, («/ e.,') (9i) {h.c.;) = <f.^{h;c.:) , {hd.^ = <p,{h;d:) , (6,a,)=^^(^*;e,') (cj f/,) = j£>^ (c/ d.^) , (cj e.) — (p^ (c/ e/) und da nun fi^ geradezu der grösste gemeinschaftliche Factor ist, der in allen hier aufgezählten von g und k freien Determinanten des ursprünglichen Systemes erscheint, so werden nothwendig: {al 60') (95) «c,') . , {ald.:) , {alc:) {hie:) , , (bid.;) . , {b;e:) {cid:) , (die:) keinen von Eins verschiedenen Factor mehr gemeinschaftlich besitzen können. Das ist aber so lange unmöglich, als in a/ , 6/ , c/ , cZ/ , e/ ein Factor gemeinschaftlich vorkommt, der von Eins verschieden ist. Wendet man nun einen Blick auf die Werthe (93) ; so zeigt sich alsogleich, dass C der grösste gemeinschaftliche Factor dieser Grössen ist, da («1?2) {^192) i'^lff-i) (<^1?2) («1S2) tpp 'Ps 4''j 'Pg 4>} keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen ; und man gelangt sonach zur Überzeugung, dass C= + 1, d. h. (96) 3.=± — zu setzen sei, w^enn 0.,' , 6.,' , c^' , . . . d: , e: ganze Zahlwerthe erhalten sollen. Ob aber eine solche Wahl diesen gew^ünschten Zweck wirklich herbeiführt, oder nicht, ob die gestellte For- derung überhaupt im Bereiche der Möglichkeit liegt, soll die nachfolgende Untersuchung entscheiden. Zunächst gehen die Werthe (93) in die folgenden über: (97)<=± <Pg , bi = + ^'^'-^ , c; ^ i^,92) ~ 'Pg ,7, , W]?2) „/ , («1.92) 4'g Vg 36 Ignaz Heger. die Gleichungen (87) aber gewinnen die Form: (98) ^'>=±f- ' ^2=±f V<7 V'J Es erübrigt also noch , die WertLe von /ij , /z, und von a.{ , 6./ , c^' rfo' , e..' zu bestimmen, wobei die zuletzt aufgezählten Grössen ganze Zahlwerthe erlangen sollen. Die hiezu dienlichen Gleichungen sind: (99) ^,/,,+5r,/z,= ±^ cij/i^ + a.2ii2 = ('2 ^iPi -\~ ^2lh =^ ^2' (100) Ci /ii + C.2JJL2 = c,' 61/^1 + Po /J3 = e,;. Die Anzahl der Unbekannten übersteigt hier jene der Gleichungen um Eins und demnach ist das hier vorliegende Problem ein unbestimmtes , dessen complete Auflösung eine willkür- liche ganze Grösse in sich schliessen wird. Da aber zwei der hier erscheinenden Unbekannten, nämlich: /i, , /Xj an die Bedingung, ganz zu sein, nicht gebunden sind, so werden wir mit der Elimination dieser beiden Grössen beginnen, um dann nur jene Unbekannten zunächst zum Gegenstande der Untersuchung zu machen, welche ganze Werthe erlangen sollen. Beginnen wir mit der Elimination von /tj und /x, aus den drei Gleichungen : (IUI) f'jj-i -\- Km = ^2' g^n^ + ff2ih= ± —- <?g SO gelangt man zur Gleichung: (102) a2{l\g-^—h:{a,g.^ ± ^(a,b,)=0. 'Po Man hat nämlich nur diese drei Gleichungen beziehungsweise mit [h^g^ , — («if/a) 1 {c-i^i) zu multipliciren und hierauf zu addiren, so verschwinden zufolge der oft erwähnten identischen Relationen : a, {b^g.) — \ {a,g.^ + g^ [a, b,) = 0 «2 ibl9-2) — *2 («I g-i) + 5'2 («1 ^2) = 0 die Coefficienten von /i, und /u. Auf ganz dieselbe Weise ergeben sieh alle übrigen von /ij und /i., freien Gleichungen, indem man in (101) die Zweite ersetzt durch eine der darauffolgenden im Systeme (100) oder mit anderen Worten, wenn man in der Gleichung (102) den Buchstabenj h der Reihe nach in c . . . . d . e verwandelt. Das durch Elimination von /x, und /j» aus den Gleichungen (99) und (100) hervorgehende System ist sonach folgendes: Über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 37 a-l {b, g-i) — b: («, .9..) ± A („, h\ = 0 «2' (Ci 5'-.) — Co' (a, ^J ± -^- (0,6-2) = 0 ( 103) ö..' ((7,^2,) — f^' [aig-2) ± — («1 f^-.) = 0 ?9 «2' (ex(/,) " e,' («, (7,) + ^ [a, e,) =0. Es ist beinahe überflüssig, zu bemerken, dass: — {a,b.^ , — («,c.,) , —(«.(^2) , —(«1^2 ^9 99 Y9 99 keine wirklichen Brüche, sondern ganze Zahlen sind, weil nämlich <f,^ in allen von g freien Determinanten, also namentlich auch in : •■) (a, 6,) , (o, Co) , (a, Jo) , («1 e^) als Factor vorkommt. Hier handelt es sich nun zunächst um die Untersuchung, ob dieses System von Gleichungen durch ganze Zahlwerthe der darin erscheinenden Unbekannten «2' 6.,' , t'o' . . . f/o' , e./ erfüllt werden könne, und, wenn dies möglich ist, um die Auflösung des- selben in ganzen Zahlen. Wir wollen beide Zwecke, nämlich den Beweis der Auflöslichkeit in ganzen Zahlen sowohl, als auch die wirkliche Auflösung durch ein sehr einfaches Hilfs- mittel bewerkstelligen und zwar auf folgende Weise : Man denke sieli zuvörderst zu diesen Gleichungen (103) noch eine identische Gleichung, nämlich die: (104) o,' («1 (/.,) — «2' («, g,) = 0 hinzugefügt. Ein solches Hinzufügen einer identischen Gleichung zum Systeme (103) kann nun ofi'enbar keine Veränderung bewirken, da dieselbe keine neue Bedingung für die Unbe- kannten enthält; im Gegentheile für alle möglichen Werthe von cio erfüllt ist, also auch für jene Werthe, welche dem Systeme (103) entsprechen. Dennoch bewirkt man dadurch eine Vergrösserung der Anzahl der Gleichungen um Eins, wovon der Nutzen alsbald wird einge- sehen werden können. Multipliciren wir nun die (104) und die Gleichungen (103) beziehungs- weise mit völlig willkürlichen ganzen Grössen: a , ß ^ y . ... d , £ und addiren sie hierauf, so erhält man eine einzige Gleichung: a.:[[a,g.^a -)- {b,g.^i3+ {c,g,)r -^ • • • • + {d,g.Ad+ {e,g.;)s]~ (105) —(01^2) K« + b.:ß -h co'r + — + (J20+ c^s] ± + -^ [(«, 62) ß ^- («. C2) r + • • • • ^ («> ^^2) d + {a, e,) £] = 0 99 die jedenfalls für alle Werthe von a. , b.^ , c.; , . . . cZ; , e.: erfüllt ist, welche dem Systeme (103) (genüge leisten. Aber auch der umgekehrte Satz gilt: Jede Auflösung der Gleichung (105) leistet auch dem Systeme (103) Genüge, unter der Voraussetzung, dass die Grössen: ß ^y . . . . o , s völlig willkürlich bleiben. In der That, sind Werthe für aj , bj , cV , . . . ci: , ej bekannt, welche die Gleichung erfüllen, und zwar welche Werthe man auch immer den Grössen ß , y , 38 Ignaz Heger. d , c ertheilt; so geschieht dies auch offenbar für eine Eeihe von speciellen Werthen dieser Grössen, namentlich für: ß von Null verschieden und ^ :^. .= o = c = 0 ^- .. . . „ ß=r=..=d=o mit andern Worten sie erfüllen auch die einzelnen Gleichungen des Systemes (103) w. z. b.w. Es ist dies selbst dann noch der Fall, wenn man für die Grössen «,^,^, ...<?,£ eine Bedingungsgleichung aufstellt, denn dadurch beraubt man nur eine einzige Grösse ihrer Willkürlichkeit. Die Grössen ß , j- , . . . d , s sind noch so, wie früher aller möglichen Werthe fähig und nur a verliert seine Willkürlichkeit. Diese Bediugungsgleichung kann man noch überdies so wählen, dass sie durch ganze Zahlwerthe der darin erscheinenden Grössen: a , ß , y , . . . o , s erfüllt werden kann. Aus dem bisher Gesagten geht deutlieh hervor, dass man anstatt des Systemes (103) ebenso gut auch die einzige Gleichung (105) vornehmen könne, wenn man für die darin enthaltenen Grössen a , ß , j- , . . . d , s nicht mehr als eine einzige Bedingungsgleichung aufstellt'. Man wird aus dieser Gleichung (105) gleich- falls die Frage zu beantworten im Stande sein, ob das System (103) durch ganze Werthe von a.,' , b.2 , c./ , . . . fZä' , ej erfüllt werden könne , oder nicht, und auch die Genüge leistenden Werthe abzuleiten vermögen. Wir wählen als Bedingungsgleichung für diö Grössen a,y9,^, ...<?,£ die folgende: (106) (a,g.;)a+ {b,g.;)ß + ic,g,)r + .... + id,g.;)d+ (e.g.^ s = <p,^ . Sie ist stets in ganzen Zahlen auflösbar, da die im zweiten Theile erscheinende Constante ^j, geradezu der grösste gemeinschaftliche Divisor aller Coefficienten dieser imbestimmten Gleichung vorstellt und demnach die bekannte Bedingung für die Auflöslichkeit in ganzen Zahlen erfüllt ist. Nun unterliegt es keiner Schwierigkeit mehr, alsogleich einzusehen, dass die Gleichung (105) durch ganze Werthe von aJ , b.^' , c.,' , . . . dj , e.^ erfüllt werden könne. Sie erhält nämlich, wenn man den Coefficienten von a,' durch seinen in (106) ersichtlichen Werth ^y ersetzt und gleichzeitig dieselbe durch ^^ dividirt, folgende Gestalt: (107) a.^^-'^[a.:a^b.:ß + c^y ^ . . . . ^ d.! d -i <c] ± ± -^ \{a, b.^ß + (a,c,) y + ....+ (a, rZ,) r? + («, e.^ c] = 0 oder: (108) ^-'•^rAa.:-^^\ßb.: + yc: + •••• + 'id: + ^e.:] ± ■- V'j J Vg ± -^ [l«. ^2) ß -f («I c,) ^ + . . . . + {a, d) d + (flj e,) £] = 0. Diese Gleichung ist nun jedenfalls in ganzen Zahlen auflöslich. In der That, bezeichnen wir den grössten gemeinschaftlichen Divisor von: ß , y , ■ • . (j , s mit ^, so ist ^^^^0 der grösste gemeinschaftliche Divisor der Coefficienten der Unbekannten b.! , c./ . . . . fZ._,' , e^'. Die beiden Grössen: über die Auflösung eines Sysiemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 39 («1.92) 1 . . 1 {«la-i) [1 («1.92 1 1 1 ; « Uiul 4>3 ' 0 V:> können nur Factoren von 0. keineswegs aber ^^^ als gemeinschaftlichen Factor besitzen. Da mm aber 1) jedonfalls ein Factor der Constante -^ [ («1 i-.) /5 + («1 c.) r + • • • • + («: ^4) « + («I e,) £] ist, so kann der Fall niemals eintreten , dass die Coefficienten der Unbekannten in der unbe- stimmten Gleichung (108) einen Factor gemeinschaftlich besitzen, der in der Constante fehlt. Es ist demnach die Gleichung (108) und somit auch das System (103) stets in ganzen Zahlen autlöslich. Di-e wirkliche Auflösung desselben unterliegt gleichfalls keiner Schwierigkeit. Suchen wir zuvörderst eine specielle Auflösung. Hiezu eignet sich insbesondere die Gleichung (108). Beim Aufsuchen einer speciellen Auflösung kann man über eine Unbekannte willkür- licli verfügen, oder richtiger gesprochen, man kann eine Bedingungsgleichung nach Willkür hinzufügen, die nur ganze Werthe nicbt unmögKch machen darf. Die Wahl dieser Bedin- gungsgleichung liegt beim Anblicke der (107) vor Augen. Sie ist am zweckmässigsten folgende : (109) a: a -K b.:ß -f- c.^y + f cZ; (? + e,' £= 0 . Diese, mit der (107) verknüpft, liefert: (110) ct.: = + — Ua, h.^ ß + («1 Co) r + + («1 f?2) ö + («1 e.,)£\. Die Werthe der früheren Unbekannten b.^ , Cj' , . . . d.: , e,' ergeben sich nun ohne alle Schwierigkeit unmittelbar aus den Gleichungen (103) wenn man in denselben a.^ durch den eben gefundenen speciellen Werth ersetzt. So z. B. erhält man bJ aus der ersten der Gleichungen (103): (111) f,^' = ^^^a.:ib.g.)±^(aM- In dieser Gleichung nun hat man < durch seinen Werth (110) zu ersetzen und thut gut, ^„ durch das in (106) ersichtliche Polynom auszudrücken. Man erhält so: 03' (big-i) ± -— («i^ä) = _ _ j_ j + ia,b.;){b,g.^ß+ {a,c.^{b,g,)r^....+ {a,d.;){b,g.^ d + {a,e.;){b,g.;) e ~ "^ ?, \—{a,b.;) {a,g.;)a — (a,b.^ (b,g.;) ß—(a,b.;)(c,g.;)r—--—(a,b.^ {d,g.)ö—{a,b.;}{e,g.^s Mit Rücksicht nun auf die bekannten identischen Eelationen : («1 c.) (^1^2) — («1 ^2) (c, g-^ = («I g.) {h e,) (ßid) (61^0) — {a,b.^ {d,g.) = {a,g,^ {b,d,) («1 62) (61^2) — («: ^2) (ci^'ä) = (015^2) (^1 62) lassen sich Eeductionen vornehmen und man erhält : «; (^1^2) + -^(«1^2)= + ^[—{a,b.;)a + (b,c.^r + ■■■■ + {b^d.^0 + [^^'^2) s\ 40 und folglich: (113) Ignaz Hege. bj = + — [ — («1 h)a -^ (6j c,) ^ + ^9 -^(b,d,)d + (b,e.^s]. Auf vollkommen ähnliche Weise ergeben sich die Werthe der übrigen Grössen aus den anderen Gleichungen des Systemes (103). Im Folgenden sind die Werthe der Grössen «./ , &.,', cj , . . . dj , e.,' zusammengestellt: a.,' = + — [ («, 6.) ß + (a, c.^r + -r («I '^2) (> + («1 «ä) =] b^ —+ — [— («1^2) ^^- + (pi^dr + + (^1 ^4) ^ -r (^1 e.2) £] (114) ; ^ + — [_ (a^c) « — (6, c,)y9 + + (ci cZ,) o^ + (c, a,) e] 'Po d; ^- + — [— (o, d.^ «— (6, d) ;5 — — (c, f4) ;- + {d, e,) e] + — [ — («1 e.,) a — (61 ßo) y3 — — (cj 63) ;- — [d^ e,,) o^]. e.. ?"? Alle diese Werthe sind ganze Zahlen, weil die hier angezeigte Division durch ^„ sich wirkKch durchführen lässt. Sie stellen eine speeielle Auflösung des Systemes (103) dar. Aber auch die complete allgemeine Auflösung in ganzen Zahlen sind wir im Stande abzuleiten. Um dieselbe zu bilden, hat man zu den eben gefundenen speciellen Werthen gewisse Zusätze hin- zuzufügen, die mit einer willkürlichen Grösse ^ multiplicirt sind. Diese Zusätze sind nämlich die allgemeine Auflösung eines anderen Systemes von Gleichungen, welches aus dem (103) hervoi'geht, wenn man alle darin enthaltenen constanten Glieder durch Nullen ersetzt, nämlich des nachfolgenden : a-l (fti^'o) — b.2 {a^Si) = 0 (115) a^' {dig.2) — d.^' {ttig.^ = 0 <(ei5'2) — e2'(«i5'2) = 0- Der unmittelbare Anblick dieser Gleichungen zeigt, dass die Grössen: Lto , [^2 1 ^'2 * 2 ? 2 proportional sind den anderen: (116) {a^g.^ , {b,g.^ , (Cj^r.,) , {d,g.^ , (e,g,): der numerisch kleinste ganze und von Null verschiedene Werth von a.,' und mit ihm auch die ganzen Werthe der übrigen Grössen bj , c./ , . . d.,' , c.> , werden daher erhalten, wenn man die Grössen (116) durch ihren grössten gemeinschaftlichen Divisor ^^ theilt. Man erhält demnach : («1 ff 2) (1>1 0-1) (g< ff-l) ('^1 92) («i 9-2) als die gesuchten Werthe. Dieselben sind nun mit einer willkürlichen ganzen Grösse ^ zu multipliriren und bilden dann die Zusätze, welche bezielningsweise zu den speciellen Werthen Vber die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 41 (114) noch hinzugefügt werden müssen, um die alJgcmeine Auflösung des Systemes (103) zu erhalten. Dieselbe ist demnach folgende: (11.7) «2 ^ + b: = + c,' = + 1 <p,J 1 99 1 99 ci: — + 99 1 e: + 99 (a,i,)/9+ (a,c,) r ^ 4- (a,d)<?-f {a,e,)s] + ^''-^ ■(öi^o)« + (6,C2)r + + [h.cl^d-^ {b,e.^s] + ■(«1^2)«— (^c,)^5 + + (c,f4)o'+ (c,e,)£] + — («i(7,)«— [b.cl^ß— — (c:^2)r+ (fAe..)£j -i- — («j Po) r/ — (i, 63) y9 — — (ci ^2) ;- — ((7, e,) rv] + 4>9 (gl go) 4'9 Nun können wir zur Bestimmung der Multiplieatoren fx^ und ju schreiten. Ihre Werthe gehen hervor durch Auflösung zweier Gleichungen, die nach Belieben aus der (99) und den (100) gewählt werden können. Wir wollen die (99) als die eine dieser beiden Gleichungen erwählen, die zweite aber aus dem Systeme (100) ableiten, indem wir die eitizelnen Gleichungen desselben mit den Grössen «, y5 ,;-....(?,£, X multipliciren und hierauf alle addiren , wobei diese Grössen genau die- selbe Bedeutung, wie früher, besitzen und namentlich die Gleichung (106) zu erfüllen haben. Diese zwei zur Bestimmung von /x, und /Zj dienenden Gleichungen sind demnach : (118) giih+g-2!J-i= ± <f>9 99 (119) (ßiG-f- b^ß-^c^x ^ ... + fZiO 4- ej£)fij -\- {a^a + b.,ß ^ c,j- + ... + d^d+ e^ejfx.,^ = aj a 4- b:ß + elf +....+ j; r? + e/e. Die zweite derselben verstattet noch eine Eeduction ihres zweiten Theiles. Bei der Bestim- mung der speciellen Auflösung (114) haben wir nämlich eine willkürliche Voraussetzung gemacht, um die Rechnung zu erleichtern. Es ist dieselbe durch die Gleichung (109) dargestellt. Diese Gleichung ist daher identisch erfüllt, wenn man unter «/ ) ^3' 1 <i-2 1 ■ ■ ^1 1 ^2' nicht die allgemeinen Werthe (117), sondern die speciellen (114) versteht, und es würde dann in der Gleichung (119) der zweite Theil durch Null zu ersetzen sein. Wenn aber, so wie hier vor- ausgesetzt wird, a.>' , 63' , Cg' , . . . d.l , e.^ die allgemeinen Werthe (117) haben; so ist: a:a -f b.:ß ^ c.;y + + f^a' o'-f e.'e von Null verschieden und besitzt den Werth : -^[{a,g.^a -f {b,g,)ß+ {c,g.^r+ ■■■■ + [d.g^^ö + {e,g,)s\, Y9 und mit Rücksicht auf die bestehende Relation (106) ist sonach: (120) a: a ^ b.:ß -^c^r-^ ... . + d: d + e.: s = e Durch Einführung dieses Werthes in die Gleichung (119) gelangt man zu folgenden zwei Gleichungen, um /ij und m zu bestimmen : 9ilii -^- Silh = ± iL 99 [a^a ^ b^ß + c^j- + + d.,d-r-eis]p-i + [a.2a + boß + c^j- + . Denkschriften der mathem.-naturw. C'l. XIV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. dof} eo£ ]l^2 42 Ig nazileger. Aus ihnen folgt mit Rücksielit auf die bestehende Relation (106): Ml = + — la-. a. J- h,ß ArC'-T^ + c?2<? + e-^l + ~- ^ (121) ? r Hiemitist also das vorliegende Problem erledigt. Die liier gewonnenen Werthe (117), (121) sind allgemeiner, als die früher erwähnten (114), indem in (117) und (121) eine willkürliche ganze Zahl c erscheint. Für ?=0 gehen beiderlei Resultate in einander über. Eine kurze Überlegung zeigt auch, dass die hier gewonnenen allgemeineren Resultate keinerlei Vorzug verdienen vor den früheren speciellen, denn im Grunde gehen die allgemeinen Werthe (117) dadurch hervor, dass man die Grössen a/ , hl , c/ , . . . (7/ , e/, deren Werthe in (97) ersicht- lich sind, mit ^ multiplicirt und zu den speciellen Werthen (114) addirt, mit anderen Worten, indem man die Gleichung : a/ X — hly -L c/ s -f . . . . ^ d^ u -f e/ v = k^ mit einer beliebigen ganzen Zahl c multiplicirt und zur : «a' X -\- hj ij -{- cj z -\- . . . . -^ d.2 u -f- e.,' v -f gj ic = ^'o' addirt. Es ist auch leicht ersichtlich, dass damit kein wesentlicher Vortheil verknüpft sei, und man daher immer vorziehen wird, |==0 zu setzen. Bevor wir unsere Aufmerksamkeit einem anderen Gegenstaude zuwenden, wollen wir noch die gewonnenen Resultate einer näheren Betrachtung würdigen. In den hier erhaltenen Formeln (117) und (121) erscheint nämlich nur eine einzige willkürliche Grösse |, in den übrigen (97) und (98) aber gar keine. Dies dürfte wohl bei vielen Lesern einen Zweifel erregen, ob denn doch die gewonnene Auflösung des Systemes (78) , (79) , (80) , (81) , (82) eine voll- ständige und ganz allgemeine sei, da doch, wie schon Anfangs bemerkt wurde, die Anzahl der Unbekannten 2to -f 4 jene der Gleichungen 2w?- + 2 um zwei übersteigt. Es ist demnach hier eine willkürliclie Gi'össe abhanden gekommen. Diese Grösse ist eben C in den Glei- chungen (93). So lange nämlich nur die Gleichungen (78) , (79) , (80) , (81) berücksichtigt werden nebst der Bedingung , dass «/ , 6/ , c/ , . . . f?/ , e/ ganz sein sollen , während die Gleichungen (82) und mit ihnen auch die Grössen a.! , h! , cj , . . dj , e.^ ausser dem Bereiche der Untersuchung bleiben, sind in Wirklichkeit noch immer zwei willkürliche Grössen vor- handen, nämlich C und eine der zwei Grössen /j„ ju. Dies ist in den Gleichungen (92), (93), (87) zu sehen, welche eben die allgemeine Auflösung der aufgezählten Gleichungen darstellen. Wie nun aber auch das System (82) hinzutritt, zeigt sich, dass ganze Werthe von clI , bj , Co , . ■ ■ do , e.,' nur dann möglicli sind , wenn C^ ± 1 gesetzt wird und hier liegt der Grund des Verschwindens einer der beiden willkürlichen Grössen, die im A'^oraus vermuthet wurden. Die erfolgt aber lediglich nur in Folge der nicht linearen Form der Gleichung (78). Bei nicht linearen unbestimmten Gleichungen ereignet es sich sehr häufig, dass durch die Bedingung der Auflösung in ganzen Zahlen gewisse Unbekannte einen vollkommen bestimmten Werth erlangen. Das einfachste Beispiel der Art ist die unbestimmte Gleichung xy = l, welche nur zwei Auflösungen in ganzen Zahlen besitzt: a;=-fl ,?/=4-l und x=^ — 1 , y = — 1- Bei linearen Gleichungen kann jedoch dies nie stattfinden. Hier folgen die gefundenen Werthe der Multiplicatoren /j , l^ , /x, , /u und der in den transformirten Gleichungen erscheinenden Coefficienten und Gonstanten. In denselben, ist Ulwr die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. 43 die willkürliclio Grosso c gleich Null ang-onomuicii , ila dicso Wahl die oiiii'aohsto Form liefert: ■^1 = 4- 9ä » -^2 = — 9i (122) /i, — + -i- [a.,a + b.ß -p c.,;- -4- + d.,d + e^s] <=(ag) 5 ^i'=(6g) > c/=(cn) , f^i'=(bg) , e.'=(cg) , ,7/^0 , /^•,'=(fg) <= + {ah)ß+{ac)r + ....+ (ab)(?+ (ae)£ 5; = — (ab)ry.+ (bc)r + . ... +(bb)<?+ (be)£ C2' = — (ac)«— (bc)/5+ + (cb)r;+ (ce)£ (123) tZ,' = — (ab)«— (bb)/5— ....— (cb)r — (be)£ e,' = — (ae)« — (be);5 — . . . . — (ce);'^(be)o^ k: r= -^ [(A-1 a,) « + (/v, ^.,)/? ^r (ki c.) r + ^ (^'1 ^2) ^ + (^^ eo I s]. In diesen Formeln bedeutet ^,j den grössten gemeinschaftlichen Factor der von g freien Determinanten des ursprünglichen Systems: (ab) (ac) , [bc) (ad) , (bd) , (cfZ) (ae) , (be) , (c e) , (de) <pg ist der grösste gemeinschaftliche Factor von g^ und g, oder, was nach § 4 dasselbe ist, von den mit g verknüpften Determinanten: (ag) , (bg) , (c*/) , (dg) , (e^r) , (kg). Die Grössen a , ß ,y , . . . d , s sind ganze Zahlen, welche die Bedingungsgleichung: (124) (ag)«-^(bg)/5+(cg)r + -.-- + (bg)o'--(eg)£ = l erfüllen. Diese Bedingungsgleichung ist zwar von der (90) verschieden, allein dies thut der Richtigkeit keinen Eintrag, weil die Determinanten : («^) , C^g) > (c<7) . {dg) , (eg) ausser ^^ keinen anderen Factor gemeinschaftlieh besitzen können, wie in §. 4 erwiesen wurde, und demnach ist für jeden beliebigen Werth von k die (90) in ganzen Zahlen auflös- lich, also auch für Ä; = 0. Die übrigen in diesen Formeln erscheinenden Bezeichnungen 9 = -^,;^" 5 (ag)=^ ^ , iba] = -- {ah) = ^-^ (ac) = — , . . . . sind aus dem Früheron her bekannt. 44: Ignaz Heger. §.9. Mit der eben auseinandergesetzten Transformation der ursprünglichen Gleichungen: (125) «jX -f b^y -^ c^z ^ . . . . ^ d^it -\- e^v -^ g^w ^ä;, a^x -)- b^y -j- CoS + . . . . + dl^u -\- e^v -j- g.-,w^k^ in zwei andere : (126) a/x-f 6/?/ + Ci'2 + .... + c?,'m + e/?; =Ä;,' a^x + Kly -j- Cg's -|- . . . . -l c?,'« Ar e^v -^ g^w^^h^ ist der Weg zur Beurtheilung, ob ganze Auflösungen bestehen, oder nicht, bereits angebahnt. Die erste der beiden transformirten Gleichungen ist von der Unbekannten lo befreit und enthält lauter Coefficienten und eine Constante mit ganzen Zahlwerthen, die in (122) ersichtlich sind; nur die zweite Gleichung der (126) enthält noch die Unbekannte w in sich. Ihre Coefficienten «,' , 6,' , c^', .... dl , e/ besitzen die in (123) ersichtlichen ganzen Werthe und nur gj und kj sind nothwendig gebrochene Zahlen. Führt man nun vermittelst der Sub- stitution : (127) «2'^+ h'y -r (^2'^+ . . . . + d.^' u + ej V = w' eine Hilfsgrösse w' , gewissermassen eine fernere Unbekannte ein, so verwandelt sich die zweite der Gleichungen (126) in: w' + g.2 10 = k.^ oder mit Rücksicht auf die in (123) aufgestellten Werthe fäv g^ und k.,' in: (128) <p,;w'~(p^io^{kyai)a + {k,b.;]ß -J- {k,c.,)Y {k,d.^d^ {Ke.^s. Zu dieser Gleichung hat man noch die zwei anderen: (129) a/ X -f b^y + c/ 2; +.... + r// u + e/ v = k^ aj X -r- bo y -^ C.2 z -\- . . . . + d^ u + e.,' v := w' hinzuzufügen. Die drei Gleichungen (128), (129) sind nun dem ursprünglichen Systeme (125) vollkommen äquivalent. Die erste derselben (128) enthält nur zwei Unbekannte to' und w, die beiden anderen (129) sind ein System von zwei unbestimmten Gleichungen, welches ähnlich, wie das ursprünglich gegebene (125) lauter ganze Coefficienten und Coustanten besitzt, vor- ausgesetzt, dass w' ganz ist, und deren Detei-minantengruppe keinen von Eins verschiedenen gemeinschaftlichen Factor enthält; aber sie enthalten um eine Unbekannte, die lo nämlich, weniger, weil wir hier annehmen, dass man zuvörderst mit der Auflösung der (128) in gan- zen Zahlen beginne und den gefundenen Werth von %o' in die zweite der Gleichungen (129) setze. Die Gleichung (128), für sich allein betrachtet, kann in ganzen Zahlen aufgelöst werden, denn sie enthält nur die zwei Unbekannten ^o und io und die Coefficienten derselben : (p^ und <pg sind nothwendig relative Primzahlen, da vorausgesetzt wurde, dass die Determinanten des Systemes (125) keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen. Man kann daher irgend eine ganze Auflösung derselben , in der bekannten Weise gesucht , und den gefundenen ganzen Werth von w' in die zweite der Gleichungen (129) gesetzt denken. über die Aufiösimg eines Systemes rou mehreren rnihestimmten GleicJmngen etc. 40 Vermittelst dos hier angogebenen Vcrfalirens kann man daher das urspriingliehe System von zwei Gleichungen mit ni Unbekannten, dessen Deternunantcugriippe keinen gemein- schaftliclien Factor aufweist, transformiren in ein gleiehgeltendes System von drei Gleichun- gen, nämlich in eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten to und w' und in ein System von zwei neuen Gleichungen mit nur m — 1 Unbekannten. Die unbestimmte Gleichung mit den zwei Unbekannten w und w' ist in ganzen Zahlen auflöslich und das neue System von zwei Gleichungen besitzt in der Determinantengruppe gleichfalls keinen gemein- schaftlichen Factor und verstattet daher eine ähnliche Transformation, wie das ursprüngliche System. §• 10. Das hier erörterte Verfahren lässt sich mehrmals wiederholen und wird die Anzahl der Unbekannten von m der Reihe nach auf die kleineren: m — 1 , m — 2 , m — 3 , . . . bringen. Für jede aus dem Systeme von zwei Gleichungen herausgeschaffte Unbekannte erhält man eine unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten. Man wird demnach zuletzt zu einem Systeme von zwei Gleichungen gelangen, welches nur noch zwei Unbekannte, etwa x, y enthält und zur Bestimmung derselben vollkommen hinreicht. Ausser diesen zwei Gleichungen hat man aber dann noch eine Reihe von gewöhnlichen unbestimmten Gleichungen mit je zwei Unbe- kannten, deren Anzahl gleich m — 2 ist, die und zur Bestimmung der übrigen Unbekannten s ,..«,?:>, ;o dienlich sind. Es ist nicht schwer, sich diesen weiteren Gang der Rechnung zu vergegenwärtigen. Zu- nächst lässt sich dieses Verfahren auf die beiden Gleichungen (129) anwenden. Die hier gel- tenden Multiplicatoren sind : x; ^e,' , ^' = — e/ (130) yü/ = — [ ai ry! ^ b.^ ß' + < T + + ^^2 '^l /ij = — [ — a/ a — 6i'/9' — c/;-' — .... — c^a' ü'] wobei a , jS' , f , . . . J ganze Zahlen bedeuten, welche die Relationen : (131) «e,')«' -f- {b;t.:)ß' + (c;e;)r' + •■•• + (d,'t:)d' = i zu erfüllen haben. Diese Bedingungsgleichung kann noch in einer anderen Form geschrieben werden, denn die Determinanten des Systemes (129) sind jenen des ursprünglichen propor- tional. Man hat namentlich: Ke.;)=-~f^ : (^^e,)=— — - , (c,e,) = --— '•••• (^^^e,)_-— - 99 Ve (pg 4>e ■ ^ ' <Pg4'e " ' <Py V" w^o ^,, (f)^ den grössten gemeinschaftlichen Factor aller von g freien und mit e verknüpften Determinanten des ursprünglichen Systemes bedeutet. Hiedurch geht die (131) über in: {a,e,)a: ^ [b.e.^ß' + (c^e-^f + ■■■■ + {d,e.^ o = — %'P . Vermittelst dieser Multiplicatoren (13Ü) gehen zunächst zwei neue Gleichungen hervor, die den beiden (129) vollkommen äquivalent sind, sich von ihnen aber dadurch unterscheiden. 46 Ignaz Heger. dass die erste derselben von der Unbekannten v gänzlich befreit erscheint, die zweite hin- gegen diese Unbekannte zwar noch enthält, aber durch die Einführung einer Hilfsgrösse davon befreit werden kann. Um aber den Formeln eine Regelmässigkeit zu ertheilen, vroUen wir in den beiden Glei- chungen (129) die Grössen k^ luid tß,' durch w^, und to^, ersetzt denken. Sie sind daher fol- gende : (132) a;x-\-hly-\-c;z + . . . . -{- d^u -\- e.; v = w, aö X -\- h.2 y ^ c^ z Ar . . . . ^ cL' u + e« v --= w^. In der Gleichung (128) aber wollen wir das im zweiten Theile erscheinende Polynom durch einen einzigen Buchstaben ersetzen, nämlich: (133) (k, a,) a + {k, 6,) ß + {k, c,) ^ + ■ • ■ • + {K ^2) ^ + [K ^2) £ = ^C setzen, wodurch dieselbe übergeht in: (134) <p^w, — ip^io = K,. Man hat hier: (135) 'Wj = kl =zk^ 0,2 — ^2 Gfi- Führt man nun vermittelst der oberwähnten Multiplicatoren (130) die Transformation der Gleichungen (132) aus, so erhält man zunächst zwei gleichgeltende Gleichungen von der Form : (136) a;'x + bl'y + c/'s; + -f d^' lo ■V a-l' X -}- h.{ y -f Cg" s + . . . . + d.!' w = w.{ = — K^ und vermittelst der Einführung einer neuen Unbekannten v^ daraus : (137) f,v,-<p^v^K, (138j a;'x + b;'y -h e/'s + . . . . + d;' u == v, tto'x + bi'y + Co" z + .... + dJ'u--= v^. Die Gleichung (13 7) ist eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit nur zwei Unbekannten und ist immer in ganzen Zahlen auf löslich, weil f^ und ^^ relative Primzahlen sind. Alle Deter- minanten des ursprünglichen Systemes nämlich , die von g frei sind , besitzen in dem ange- nommenen Falle den grössten gemeinschaftlichen Factor f^. Theilt man sie in zwei Gruppen, deren erste die von e freien, die zweite aber die mit e behafteten Determinanten in sich begreift, so ist der gewählten Bezeichnung gemäss ^,, f^ der grösste gemeinschaftliche Factor der Grössen der ersten Gruppe, ^^ ^^ jener der zweiten, und demnach müssen ^, und ^^ rela- tive Primzahlen sein. Denkt man sich die Gleichung (137) in ganzen Zahlen aufgelöst und einen der gefundenen ganzen Werthe von v., in die zweite der Gleichungen (138) gesetzt; so enthält dieses System nur noch m = 2 Unbekannte : x , y , z , . . . . u und die zugehörige Deter- minautengruppe enthält keinen gemeinschaftlichen Factor, weil (A/ fij) zufolge der angenom- menen Werthe (130) und der Bedingungsgleichung (131) gleich — ist. Nun gehen aber die Determinanten des Systemes (132) aus jenen des Systemes (129) durch Multiplication ,mit über die Aioflxmmci eines Sj/stemcs ron mehreren imbestimmten Gleichungen etc. 1 7 (A,' /i./) = — licrvor und folglich verschwindet der in iliiion nofli enthaltene grösste geraein- sehaftliche Factor ip^ durch die eingeleitete Ti-ansfornuitiou. \Vii- gelangen sohin zu einem Systeme mit nur m — 2 Unbekannten, dessen Determinanten abermals keinen von Eins ver- schiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen. Eine zweimalige Anwendung des angegebenen Transformationsverfahrens vermindert demnach die Anzahl m der Unbekannten um zwei, führt aber zu zwei gewöhnlichen nwha- stimmtcn Gleichungen. Eine abermalige Transformation des Systemes (138) erheischt die Multiplicatoren: V = b.," , ^/' = — b," (139) /V = -]^ [ «," a" + b.;'ß" + c," r" + • • -J /i;' = ^-[-<«"-V/5"-<r"-...] wobei «" , ß" ,;-",.... ganze Zahlen bedeuten, welche die Bedingungsgleichung: (140) «b,")«" + [b;'h.:')ß".+ (c,"b.;')r" + •.•■ = i erfüllen müssen. Man gelangt so zu den Gleichungen : (141) (p^u., — ^',,u=zK,^ ( 1 42 j «/" X + b;" y + c/" s + .... = tt, a.:" X + b^"y + c.;"s + = «.. Hier bedeuten <p^, und (p,i zwei relative Primzahlen, nämlich (p^ cp^ (p^ den grössten gemeinschaft- lichen Praetor der von d freien Determinanten: (a,6,) («iCa) , (^iC.) und ^, ^,. ^',, jenen der mit rZ verknüpften : (ajC?o) , {byd.^ , (ci(?o) ; Die erste dieser Gleichungen (141) ist eine gewöhnliche unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten und liefert die ganzen Werthe für u, und u. Sucht man eine specielle Auflösung derselben und substituirt den Werth von u. in die zweite der (142), so liegt nun zur Bestim- mung der übrigen Unbekannten m— 3 an der Zahl ein System von zwei Gleichungen vor, dessen Determinanten abermals keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen und welches folg- lich diesem Verfahren nochmals unterworfen w^erden kann, wodurch wieder eine Unbekannte herausfällt. Verfährt man anf diese Weise, so gelangt man endlich zu einem Systeme von zwei Gleichungen mit nur noch drei Unbekannten, dessen Determinanten keinen gemeinschaftli- chen Factor besitzen und erhält zur Bestimmung der übrigen Unbekannten m— 3 an der Zald eben so viele gewöhnliche unbestimmte Gleichungen mit je zwei Unbekannten. 48 Ignaz Heger. §■ 11. Auch das zuletzt erwähnte System von zwei Gleichungen mit nur noch drei Unbekann- ten : X ,y , 3 nämlich : welches das Ergebniss einer {m — 3) maligen Transformation ist, kann demselben Ver- fahren unterworfen werden. Bezeichnen wir nämlich mit <p^ den grössten gemeinschaftlichen Factor von Cj '^"'^^' und c.2^'"~^\ also auch von («i'"'"^' h^^'"~^^) und (ij '"'~^' Cj'"'"^^) und setzen, um den früheren Bezeich- nungen treu zu bleiben, (ai'""^'' ^i''""^') = {2J^ , so werden die Multip licatoren , der allgemeinen Regel entsprechend, sein: wobei «'"'"*' und ß^'"-^'^ ganze Zahlen bedeuten , welche die Relation : (143) (a,('"-ä' c./'"-'') «'"'-'^ -f (^>/'"-^' c,'"-^^) /5<™-'> := 1 zu erfüllen haben, eine unbestimmte Gleichung, deren Coefficienten erwiesenermassen relative Primzahlen sind und die demnach stets durch ganze Zahlen erfüllt werden kann. Vermittelst dieser Multiplicatoren erhält man zunächst, wenn man sich der Bezeichnung: («.C"-') 6./'"-^)) = (p^ erinnert : Dies sind jene Gleichungen, welche der angenommenen Bezeichnung gemäss mit: (144) «/""-ä' X + ll'^'-Uj = s, angedeutet werden. Der nächste Schritt besteht nun in der Einführung einer neuen Unbe- kannten Z.2 vermittelst der Substitution : «2""--^«+ &./'"-■)?/ = So, wodurch die zweite der Gleichungen (144) in zwei zerfällt. Man erhält sonach folgende drei Gleichungen : (145) (a/"-^' b.}"^-^^) Z„ — (p^Z = JC == (^•/'"-''' «/"-'') r/"'-'" -f (l-jf™-«) ft^^(m-3)-)^(m-3) (146) («/"'-=" «,/'"-^') a; + (6/"'-^^ rV"'-^)) y = (^■/"'-^> «J"'-«)-! (147) /5('"-3> a; — «'"'-^^3/ = z.. ö über die Auflösung eines Systemes von viehrcren unbestimviten Gleichungen etc. 49 Die (145) ist eine unbestimmte Gleicliung mit zwei Unbekannten z und .;., uml kann durcli ganze Zalilenwei-tlie erfüllt werden, weil («/"'~'^ h.}"'~^^) = ^^ und <p^ relative Primzahlen sind. Denkt man sic^h eine specielle Auflösung in ganzen Zahlen gesucht und den Werth von s^ in die dritte (147) gesetzt, so liegen nun zwei Gleichungen, nämlich die (146) und (147) zur Bestimmung von x und ^z vor. Diese Gleichung-en sind aber bestimmte und liefern nui- einen einzigen Wertli von x und y. Die diesem Systeme entsprechende Determinante: (a ("'-^' c„'"'~'') a'"'"~^' + (b ('"-3) c,/"'-3)-\ o('«-3) ist zufolge der Relation (143) gleich Eins und sohin sind die aus den Gleichungen (146) und (147) gezogenen Werthe a;, y nothwendig ganze Zahlen. Durch eine m — 2 malige Wiederholung der angegebenen Transformation gelangt man sohin von dem ursprünglich gegebenen Systeme: a^x + b^y + 0,2-1- + f^i« + ^i^ + 5^1^^ = \ a^x -\- hjj + CoS -1- + d^u -\- e^v -\- g.,w =: k, zu m — 2 unbestimmten Gleichungen mit je zwei Unbekannten und zu einem Systeme von zwei bestimmten Gleichungen , dessen Determinante gleich Eins ist. Alle diese Gleichungen lassen sich durch ganze Zahlwerthe der darin erscheinenden Unbekannten: x,y,z,...u,v,w und Hilfsunbekannten x.,. . . . ti, , t'o , lo., erfüllen, wenn in der Determinantengruppe: («1^2) («iCa) , (62*^2) («1.^2) , {b.g.^. .. . (e,g,) kein gemeinschaftlicher Factor erscheint und somit ist also dargethan, dass unter dieser Bedin- gung auch das ursprüngliche System für ganze Werthe der Unbekannten erfüllt werden könne, wie z. b. w. §■ 12. Hier liegt die Frage nahe , ob ganze Auflösungen nur unter der eben angegebenen Be- dingung vorhanden sind, und wenn nicht, welche die allgemeinste Bedingung für das Beste- hen ganzer Auflösungen sei? Mit der Beantwortung dieser Frage wollen wir uns hier beschäf- tigen. Vor allem ist schon, dem in §. 6 gewonnenen Satze zufolge, ersichtlich, dass auch in dem Falle, wo die Determinanten des Systemes einen von Eins verschiedenen Factor gemein- schaftlich besitzen, derselbe aber auch in allen Grössen : (Ajjßa) , (k.b.) , (ÄJja.) , [k^d,) , (k.e.;) , (k^g,) erscheint, ganze Auflösungen bestehen werden, indem man durch die in §. 6 angegebenen Transformationen das System in ein anderes gleichgeltendes verwandeln kann , dessen Deter- minanten keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen. Dies beweist schon, dass zum Bestehen ganzer Auflösungen das gänzliche Fehlen eines gemeinschaftlichen Factors in den Determinanten keine unerlässliche Bedingung sei. Denkschriften Her niathem.-iiaturw. Cl. XIV. Bd. Abhaiull. v. Nithtmirgl. S 50 Jgnaz Heget Es ist sonach die Frage zu beantworten: Unter welcher Bedingung besitzt ein System von zwei Gleichungen ganze Auflösungen, wenn die Determinanten desselben einen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen? Mit der Beantwortung dieser Frage steht aber die einer anderen im innigsten Zusammen- hange, nämlich der folgenden: Wenn ein System von zwei Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten vorliegt, dessen Determinanten keinen von Eins verschiedenen Factor gemein- schaftlich besitzen und dem somit dem früher Erwiesenen zufolge stets durch ganze Zahl- werthe der Unbekannten Genüge geleistet werden kann, welcher ist der grösste gemeinschaft- liehe Factor, der in einer Gruppe zusammengehöriger Werthe der Unbekannten erscheinen kann? Der innige Zusammenhang dieser beiden Fragen wird durch die folgenden Bemerkungen eingesehen werden : Denken wir uns ein System von zwei Gleichungen gegeben, dessen Determinanten einen von Eins verschiedenen Factor <p gemeinschaftlich besitzen, so kann man zwar im Allgemeinen durch die in §. G angegebene Transformation die Befreiung der Determinanten von diesem Factor nicht bewerkstelligen, ohne die ganzen Grössen ä;, und k.2 in Brüche zu verwandeln, allein eine Änderung der Veränderliehen führt augenblicklich zu dem gewünschten Ziele. In der That führen wir anstatt der Unbekannten: X u andere ein : vermittelst der Substitutionen: ^" 7 1? , 5 w D , \V (148) X-- y 1) j 11 ü m if V ^ ^ ^ SO verwandelt sich zunächst das ursprünglich gegebene System in ein anderes mit den neuen ' Unbekannten ;c , ^ , j , . . . u , D , tu , in welchem zwar die Coefficienten Brüche sind mit dem Nenner ^, aber sich alsogleieh in ganze Zahlen verwandeln lassen, wenn man beide Glei- chungen mit <p multiplicirt. Die solchergestalt hervorgehenden Gleichungen sind : ß2PH-^2^ + ^2?)+ •■•• A-d^U^ e-^)} -\- goW = k.,<p. (149) Sie unterscheiden sich von den ursprünglich vorgelegten ausser den neuen Unbekannten noch in ihren im zweiten Theile erscheinenden Constauten k^ (p und k^ f, welche beide den Factor <f besitzen und können daher der in §. 6 angegebenen Transformation unterworfen werden. Thut man dies, so gelangt man zu den zwei neuen, den beiden (149) völlig gleichgeltenden j Gleichungen : (150) «!>• + *!> + f-,' 5 + • • • • -f d; u -f e; D + (// m = k; aj ^- -I- 6; t) -I- Ca' 3 + .... -1- dj u + e,' ü -}- gJ W = k.^ in welchen alle Coefficienten sowohl, wie die Constanten /j/ , k.,' ganze Zahlwerthe besitzen) und deren Determinanten von jedem gemeinschaftlichen Factor frei sind. Dieses System ist demnach jedenfalls in ganzen Werthen auflöslich; kann aber noch überdies dazu dienen, der] Auflösungen des ursprünglichen Systemes habhaft zu werden. Substituirt man nämlich die gefundenen Werthe von ^ , t) , 3 . . . . u , ü , in , in die Gleichungen (148), so gehen unmittelbar Über die Auflösung eines Systemcs von mehreren unhestimmicn Cloichungen etc. 51 die correspondireiulen Wcvtlie von ;t , t) , 5 , . . . ii , b , W liorvor, welche dem ursprüng- liclion .Systeme Genüge leisten. Diese Letzteren sind, wie unmittelbar zu ersehen, Brüche mit dem Nenner <f und können nur dann ganze Zahlwerthe erlangen, wenn in der entsprechenden Reihe der Werthe von ;i; , 1} , 3 , . . . u , D , in der Factor ip gemeinschaftlich erscheint und demnach den Kenner <p tilgt. Besteht daher unter all' den unendlich vielen verschiedenen Auflösungen der Gleichungen (149) in ganzen Zahlen keine einzige, bei welcher in den Werthen der Unbekannten ^ , t) , 3 , . . . u , D , ID der Factor (p gemeinschaftlich erscheint, so kann auch keine einzige zu ganzen Werthen aller Unbekannten x ^y ^ z ^ . . .ii ^v ^to führen, und es wird demnach auch unmöglich sein, durch ganze Zahlwerthe den ursprünglichen Glei- chungen Genüge zu leisten. Hier ist also unmittelbar der Zusammenhang der beiden oberwähnten Fragen ersichtlich. §."l3. Stellen wir uns demnach die Frage : Welcher Factor kann bei einer beliebigen ganzen Auflösung eines Systemes von zwei Gleichungen, dessen Determinanten keinen von Eins ver- schiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen! , möglicherweise in den zusammengehörigen Werthen aller Unbekannten : x,y,z,....u,v,io gleichzeitig erscheinen ? Vor allem ist aus den beiden Gleichungen unmittelbar ersichtlich, dass jeder Factor, der in irgend einer Reihe von zusammengehörigen und Genüge leistenden Zahlwerthen der Unbekannten X ,y ^ z . . . . . u , V ^ w erscheint, nothwendig in den beiden Constanten ^\ und k^ als Factor vorkommen müsse, indem sie nur dann den im ersten Theile stehenden Polynomen identisch gleich sind. Es können demnach nur jene Factoren in cc , ?/ , s , . . . . m , ?; , w gemeinschaftlich erscheinen, welche gleichzeitig in k^ und k^ enthalten sind. Es lässt sich aber auch umgekehrt zeigen, dass zum mindesten eine specielle Auflösung besteht, welche diesen gleichzeitig in k^ und ^•., erscheinenden grössten gemeinschaftlichen Factor in den Werthen sämmtlicher Unbe- kannten : X ^y ,z ^ . . . u ,v ,10 wirklich besitzt. Dies wollen wir auf folgende Weise darlegen : Zuvörderst denken wir uns dieses System durch die in §. 9, 10 gezeigten Transforma- tionen in eine Reihe von Gleichungen verwandelt : (151) <PjU^ — <PjU=^K^ (152) a/"'-^)x-fV'"--)2/ = 2i für die hier erseheinenden Grössen bestehen folgende Gleichungen: Mj, = ^•; = k, X, + ^■2 4 , Kw = [hih + ^^2/^2] ff, y, = w; = tc, x; + «5,^2' , K„ = [w, n; + ««^/V] <f. (153) u, — v;—v^x;' + vjj' , K„={v,ii^' ^ v„_ii:']f,i = Uy ==:U ,^"»-'>-f M^V"'"" , A", =[«,/V"'-''-f-Mo/iof"'-'']f<. g' 52 Ignaz Heger. Fassen wir nun zuvörderst die ersten beiden Gleichungen der (153) ins Auge, so zeigt sieh unmittelbar, dass jeder gemeinschaftlich in k^ und Ä;, vorkommende Factor auch in lo er- scheinen vs^ird. Die erste der unbestimmten Gleichungen (151) verstattet aber, da (f^ und (p^ relative Primzahlen sind, ganze Auflösungen, und unter diesen bestehen, wie bekannt, solche, die durch K,, theilbar sind. Es wird .sonach ein Werth von w und w^ bestehen, der den in k^ und ^^ gemeinschaftlich vorkommenden Factor entliält. Dieser Factor erscheint also nunmehr in ^0l und ?ü, und folglich auch in K^, wie in der zweiten (153) zu sehen. Man kann nun in gleicher Weise bei der Auflösung der zweiten unbestimmten Gleichung in (151) dafür Sorge tragen, dass dieser Factor auch in i\ und v gleichzeitig erscheint. Nun erscheint also der in ^■, und Ä;., vorhandene Factor schon in w , v , dann in i\ und i\ , folglich auch in i\ und ÜT,,, somit auch in ««, und kann bei der Auflösung der dritten unbestimmten Gleichung in (151) auch dem Werthe von u^ und u ertheilt werden. In solcher Weise fortfahrend, gelangt man endlich zum Schlüsse, dass bei zweckmässiger Wahl auch s, und s, diesen Factor tragen, und demnach derselbe auch in den aus den beiden bestimmten Gleichungen (152) (mit der Deter- minante Eins) gezogenen Werthen von x und y erscheinen wird. Es ist folglich möglich , die ganzen Werthe der Unbekannten x , y , z . . . . w sämmtlieh mit dem Factor zu versehen, der in k^ und Ä.', gemeinschaftlich vorhanden ist. Fassen wir all' das bisher Gesagte zusammen, so gelangen wir zur folgenden Beantwor- tung- der oben aufgestellten Frage: Bei einem Systeme von zwei Gleichungen, dessen Determinanten keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaft- lich besitzen, kann höchstens nur der grösste gemeinschaftliche Factor der beiden Constanten A'j , ä;, gleichzeitig in allen Werthen der Unbekannten, welche zu einer und derselben Auflösung gehören, enthalten sein, und es las st sicli stets eine solche Auflösung wirklich angeben. §. 14. Nach der Beantwortung dieser Frage wird es keiner Schwierigkeit mehr unterliegen, auch die mit ihr im innigen Zusammenhange stehende andere zu erledigen, nämlich anzuge- ben, unter welchen Bedingungen ein System von zwei Gleichungen ganze Auflösungen ver- stattet, selbst dann noch , wenn seine Determinanten einen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen. Um aber der nachfolgenden Untersuchung alsogleich die nothwen- dige Allgemeinheit zu verleihen, bezeichnen wir mit ^{^^ den grössten gemeinschaftlichen Factor aller Determinanten, mit ^^^. jenen aller Grössen (ka) , [kh) , (kc) .... (kg), wo selbst- redend ^ der grösste gemeinschaftliche Factqr ist, der sämmtlichen Determinanten, die sich aus den Coefficienten und Constanten der Gleichungen biklen lassen, ^^ und ^f. hingegen zwei relative Primzahlen bedeuten. Dem in §. i Bewiesenen zufolge ist nur ^^ gleichzeitig auch ein gemeinschaftlicher Factor von /.■, und ko. Das hier in Rede stehende System sei durch die beiden Gleichungen : (154) «iX -f b^y 4- c,3 -f . . . . -|- d^u -\- e^v -\- g^io --r^^i^t a^x -\- L,y -f- c-s + • • • ■ + d, u -)- e^>z; -f- g.^ lo = f., tp,, vorgestellt, wobei der in den beiden Constanten erscheinende gemeinschaftliche Factor <p^ ersichtlich gemacht Avurde. Dasselbe lässt sieli nun durch die im ' §. 12 angewenglete TJber die Axtflösiing eines Systemes von mehreren icnbestimmten Gleichungen etc. 53 Aiulening der Veräiulerliclien in ein anderes verwandeln, bei dem die J)eterminanten keinen gemeinscliaftliohen Factor mehr aufweisen, der nicht aucli zugleich ein Factor aller Grössen (^ö) , [kb) .... {kg) wäre; kurz, lässt sich in ein System verwandeln, das ganze Auflösungen zulässt. Im gegenwärtigen Falle treten aber an die Stelle der in §.12 angewendeten Substi- tutionen (148) die anderen : (155) a: = — , ?/ = — , s = — , . . . . m = — e; = — w = — weil sich offenbar der in allen Determinanten und Grössen (/,•«) , {l^h) . . . erscheinende Factor if auch ohne Einführung neuer Veränderlichen , durch die in §. 6 angegebene Combinatiou der Gleichungen entfernen lässt. Hiedurch geht das System (154) in ein anderes über, mit den neuen Unbekannten ^,l),3 U,D,lt), welches nach dem Wegschaffen aller Nennei- der Brüche die Gestalt erlangt: .jggs aijC + 6,^ -L c,ä + + f7,u + e^ ü + 5r, m = l,ip,(p, «2?: + ^2 1> + Coj + -f c?2U + 6.2 D + g.> m = f., (pi,<p,,. Die Determinanten dieses Systemes sind von- jenen des ursprünglich vorgelegten (154) nicht verschieden, und demnach so wie jene mit dem grössten gemeinschaftlichen Factor (pf,^ ver- sehen. Die Constanteu aber und demzufolge auch die Grössen (kd) , {]ih) , {leg) unterscheiden sich in einem weiteren Factor f,. von jenen des ursprünglichen Systemes. Während also früher die Grössen {ka) , {kh) , . . . ikg) den grössten gemeinschaftlichen Factor (pip,. besassen, werden sie bei dem neuen Systeme (156) den anderen: cpcp^tp^. aufweisen. Der grösste gemeinschaft- liche Factor (fip;. der Determinanten ist demnach bei diesem Systeme (156) gleichzeitig auch in allen Grössen (ka) , (kb) , . . . (kg) als Factor enthalten und es lässt sich demnach durch die in §. 6 auseinandergesetzte Transformation dieser Factor aus allen Determinanten heraus- schaffen, mit anderen Worten, dieses neue System (156) lässt sich den früheren Ergebnissen zufolge durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten ;i: , t) , 5 , u , ü , lu erfüllen. Führt man die in §. 6 angegebene Transformation wirklich aus, so gelangt man zu zwei Gleichungen von folgender Gestalt: , _, <?: -!- b,'i) +c/3 + + cZ/u + e/ü -f ^'/lu = t,'(/>, (lo/) wobei sämmtliche Coefficienten und auch die Constauten k^' , k.^ ganze Zahlwerthe besitzen. Eine leichte Überlegung zeigt noch überdies, dass k^ und k^' relative Primzahlen sind. In der That, besässeu sie noch irgend einen von Eins verschiedenen Factor z. B. 0 gemeinschaftlich, so würde d^^. in allen Grössen (ka) , (kb) .... (kg) dieses Systemes (157) als Factor enthalten sein und, da die entsprechenden Grössen des Systemes (156) nur in einem Factor ^yif. davon verschieden sind, so müsste ihnen (f(p^<p^d und nicht, wie unserer Annahme entspricht, (p<fk<pk als grösster gemeinschaftlicher Factor angehören, und somit ist klar dargethan, dass d keinen von Eins verschiedenen Werth besitzen könne, mit anderen Worten, dass kl und k,^ relative Primzahlen sind. Dieses zuletzt erhaltene System (157) hat demnach in all' seinen Determinanten keinen von Eins verschiedenen Factor mehr gemeinschaftlich und <p^ ist der grösste gemeinschaftliche Factor der Grössen {ka) , (kb) , . . . (kg). Wir schliessen hieraus zu- folge §. 10 . dass man demselben durch ganze Zahlwerthe von ;i:. t) , 3 , u , D , lü Genüge 54 Ignaz Heger. leisten, und nacli dem im §. 13 gewonnenen Satze, dass nur <l<,. oder einzelne Factoren von 9^4, keineswegs aber eine andere Zahl in einer Auflösung, d. h. in einer Gruppe von zusammen- gehörigen Werthen der Unbekannten gemeinschaftlich erscheinen könne: also weder (p,. noch irgend ein einfacher Factor dieser Zahl. Denken wir uns demnach irgend eine beliebige Auf- lösung gesucht und die gefundenen Werthe von ;t; , t) , 3 , . . . u , ü , in in die Gleichungen (155) substituirt, so gehen die correspondirenden Werthe von x , y , z , . . . . 10 , v , ic hervor, welche das ursprünglich vorgelegte System erfüllen ; sie sind aber alle oder doch zum min- desten ein einziger, wirkliche Brüche, wenn <f,. von Eins verschieden ist. Bringt man sie alle auf einerlei und kleinste Benennung, so ist der gemeinschaftliche Nenner von <f^. nicht ver- schieden. Dass dieses Endresultat immer dasselbe bleibt, welche Auflösung des Systemes (157) man auch unter den unendlich vielen bestehenden erwählen mag, ist wohl überflüssig erst zu erwähnen und somit ausser allem Zweifel , dass ganze Auflösungen des ursprünglichen Systemes unmöglich sind, wenn ^^ einen von Eins verschiedenen Werth besitzt. Wir gelangen sohin zur folgenden allgemeinen Eegel, um die Frage zu entscheiden, ob ein gegebenes System von zwei Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten ganze Auflö- sungen zulässt oder nicht: Man bestimme den grössten gemeinschaftliehen Factor (f(fi. aller aus den Coefficienten der Gleichungen gebildeten Determinanten: {ah) {ac) , (bc) J (ad) . (bd) , (cd) (ae) . (be) , (ce) , (de) suche hierauf den grössten gemeinschaftlichen Factor ^, der sowohl in dieser Gruppe von Determinanten, als auch in den Grössen: (ka) , (kb) , [kc) (kd) , [ke) , (kg) erscheint, und dividire nun den ersten dieser gemeinschaftlichen Facto- ren durch den zweiten, so entscheidet der erhaltene Quotient ^4, der jedesmal eine ganze Zahl ist, die obige Frage: Ist ^^ = 1 , so sind ganze Auflösungen wirklich vor banden. Erhält aber ^4 einen von Eins verschie- denen Werth, so kann man dem vorgelegten Systeme nur durch wirkliche Brüche Genüge leisten und ^^. ist geradezu unter allen möglichen der kleinste gemeinschaftliche Nenner derselben. §• 15- II. Über das Aufsuchen einer speciellen Auflösung in ganzen Zahlen, oder in gebrochenen Werthen mit einem bestimmten Nenner. Das Problem, eine specielle Auflösung aufzusuchen, ist im Grunde schon durch die in §. 9 und §. 10 gelehrte Transformation vollständig gelöst, da zur Bestimmung der überschüssigen Unbekannten gewöhnliche unbestimmte Gleichungen mit je zwei Unbekannten , oder wen-o Über die Aiißösiuig c//ie&- Systemes von mehreren unhestivimten Gleichungen etc. 55 man will, gewüliuliehe Congruenzen des ersteu Grades vorliegen; die Bestimmung dei- übrigen zwei Unbekannten aber dann durch Auflösung eines Systenies von zwei Gleichungen des ersten Grades auf bekannte -Weise bewerkstelligt werden knnn. Unsere Absicht ist hier auch keineswegs eine andere, als den Gang der Rechnung zu regeln \\\\i\ namentlich die Bil- dung der unbestinunten Gleichungen auf eine einfache und indepcndente Regel zurückzu- führen. Unter (151) in §.13 finden sich die unbestimmten Gleichungen zusammengestellt, die dem gegebenen Systeme von Gleichungen gleichgeltend sind. Bei den darin erscheinenden Grössen : Ä'^ , Jv,. , TT,, .... K, ist eine indepcndente Bestimmung wünschenswerth , nach- ilem sie bisher nur auf recurrirende Weise abgeleitet wurden. Um zu den Werthen dieser Grössen zu gelangen, werden wir nicht die früheren Substitutionen verfolgen, sondern einen anderen kürzeren und directen Weg einschlagen, indem wir aus den ursprünglich gegebenen Gleichungen alsogleich diejenigen ableiten, die durch eine öftere Wiederholung des bekannten Transformationsverfahrens hervorgehen. Wir wollen also die gegebenen Gleichungen: a, .-r -f 6,?/ + CiS + . . . . -^Ij-^ . . . . + d,u + e^v + g,w = k, «oX + b,7/ -\- c^z -\- . . . . + ht.-T . • . • + dc,u -f 62?" + <72^ = ^2 vornehmen, und hier zwei neue Gleichungen mittelst einer einzigen Transformation ableiten, von welchen die erste von t frei ist, und bei welchen die von l .... d , e , g , k freien Deter- minanten von ihrem grössten gemeinschaftlichen Factor ^, ^a • <?€ • 9^; • ^ befreit sind. Hier bedeutet ^ den grössten gemeinschaftlichen Factor aller Determinanten : (ab) (ac) , (bc) (al) , (bl) , (cl) [ad) , [bd) . {cd) (ae) . (be) . (ce) (de) (ag) . [bg) , (cg) (dg) . (eg) (ka) . (kb) , (kc) (kd) , (ke) , (kg). (f(f^ ist der grösste gemeinschaftliche Factor aller jener Grössen dieser Gruppe, die nach Hin- weglöscheu der letzten Zeile übrig bleiben; (p<Pk<Pg der grösste gemeinschaftliche Factor der nach dem Wegstreichen der zwei letzten Zeilen noch übrig bleibenden Grössen dieser Gruppe, d. h. der von k und g freien Determinanten u. s. w. Ferner bedeutet (p<p,. den grössten gemeinschaftlichen Factor der mit k versehenen Grössen der letzten Zeile; jjf^.j!', jenen der xmt g versehenen und von k freien Grössen der vorletzten Zeile u. s. w. Es sollen nun vermittelst schicklich gewählter Multiplicatoren /j , /. , /Xj , /x, und unter der Annahme f ^ = 1 zwei neue Gleichungen abgeleitet werden : alx -[- b;y + ciz -f .... -f //^ -f .... -h d^u + e^v Ar g^w = kl a:x -\- b.ly ^ CoZ -t .... + l.:t ^ .... + d.lu + eJv -(- g.J w — Ä;./, 56 Ignaz Reger. welche den ursprünglichen (158) vollkommen gleichgeltend sind. In diesen transfor- mirten Gleichungen soll 1^ = 0 sein, ferner sollen die Coeffieienten: «/ , b^ , c,' ,.... Co' , h.! , Cj' , . . . . ganze Werthe besitzen, mit Ausnahme der übrigen: m^ , . . . c?/ , e/ , g^ , ^•l' und IJ , . . ■ ■ d.2 , 63' , g.!, welche auch gebrochene Werthe erhalten dürfen, und endlich sollen die von l ,. .. d , e , g , k freien Determinanten von jedem gemeinschaftlichen Factor befreit erscheinen. Diese Aufgabe hat nicht geringe Ähnlichkeit mit dem in §. 8 behandelten Probleme. Es ist namentlich einleuchtend, dass die Multiplicatoren - Determinante {Xiß.^ ein Brucli und zwar geradezu der reciproke Werth des gemeinschaftlichen Factors (p, . . . (p,, . f^ . (p^ . f sein müsse. Es unterliegt keiner Schwierigkeit , alle Bedingungen aufzustellen und durch ein rein analytisches Verfahren, ähnlich, wie in §. 8, zu den Werthen von X^ , Xn_ , /i, , /i, zu gelangen und zwar zu ihren allgemeinen Werthen. Wir halten eine Wiederholung der dort gemachten Bemerkungen für überflüssig, da der Leser dies leicht completiren kann, und geben hier nur die hervorgehenden Werthe der Multiplicatorön, aber nicht in ihrer allgemeinen Form, sondern in der für unsere Zwecke hinreichenden speciellen : K = ^l.„.„ K (160) a, = — \a, a + Kß+c.,r+ 1 m = ^ [«1 « r ^1/5 + Cir -r ], WO die Grössen «, y9 ,;-,.. . ganze Zahlen bedeuten, welche die Gleichung (161) (a,l^a + (b,l.^ß-^(c,l,)r-i- ^<p><p,„- ■ ■ -fafef.f zu erfüllen haben. Die Werthe der Coeffieienten der transformirten Gleichung (159) sind dann folgende: (162) a, =~- — -— - ,\— " — i'lfm <pd<pe<Pg<P ' "' <Pl<Pm <pa9e<Pg<P ' "^ IpKPm <Pd <?€<?}<? i, = U e, = , q, = -, } "-1 — (pl<pm- ■ ■ ■ <Pa 'Pf.fg'P 4'! 9>'> ■ ■ ■ ■ f.l'Pe <p,j <P V' f'n ■ ■ ■ ■ tpd <Pe <Pg a a, = [ («163) ß ^- {a,c.^ ;' + ....] <pi<pm ■ ■ ■ ■ (fd 9t <fg <P — 1 (pi lfm ■ ■ ■ ■<Pd'Pe<Pg<P [—{a,b.^a~r {b^c.;)r + ■ ■ ■ ■] cj = f — (et, c.) a — (61 c,)ß -f plipm <pd<Pe<Pg<P (163) 4 = — 91 d: = ^ [(a,d) a + {b,d,)ß j- {c,d.;)r -^ . . . .] <fi<pm- ..■9d9i9g9 [(«,e,)a + (Ä,e,)y3+ (e,e.,)^ + ] e.2 = (fl (pm ■ ■ ■ ■9d9efg9 über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. ''^ = ^^„„.'L.^^'P t ^''' "^^"^ '' -^ ^^'' ^-^ '^ -i- (Ä;. c,) r + . . . . ]. In diesen Formeln ist unmittelbar ersichtlich, dass «/ , ^l' , Ci a.2 , b.,' , Co' , :> ( ganze Werthe besitzen, indem sich alle hier angezeigten Divisionen wirklich ausfülu-en lassen. Ferner sind alle aus diesen Coefficienten gebildeten Determinanten von dem ursprünglich darin vorhandenen gemeinschaftlichen Factor ^i^„, ... f ,/ f^ fo f befreit, weil (^i/ia) den Werthcn 1 ilGO) zufolij-e und mit Rücksicht auf die Bedingungsgleichung (161) den Werth — ' ^ ö ö ö ö V ^ p;^„. ...y.^iyj.yjyy- besitzt. Endlich ist l^^O und somit sind alle Bedingungen erfüllt, die gefordert wurden. Ver- mittelst dieser Formeln lassen sich nun die Werthe von : mit Leichtigkeit ableiten und die unbestimmten Gleichungen bilden. Ersetzt man zuvörderst / durcli den letzten Coefficienten g , so erhält man: (164) ^•.; = -^[{k, a,) a, -f {k, b,) ß, + {k, e,) y, + ^ {K e^) ^i] • wobei «, , ßi , j-^ . . . ganze Zahlen sind, gezogen aus der unbestimmten Gleichung: (165) («,5-.) «, + {b,g.;)ß, + {c,g,) ;-, -f + {e.g^)^. = 9'Pr die erste der unbestimmten Gleichungen in (151) ist demnach : (166) f^w., — ip^w = ^ \{kxO'^ «1 + (^iÖ2)/?i + {Ko-i)r. + + {h<i-^^\ Die hier im zweiten Theile angezeigte Division durch cp lässt sich wirklich ausführen, da die Grössen: {k-^a^ , {k^b.^ , {Kc.^ . . . (kiS,) sämmtlich durch ^ theilbar sind. Ersetzt man jetzt die Grösse l in den allgemeinen Formeln durch den vorletzten Coeffi- cienten: e, so findet man zwei transformirte Gleichungen in der Form: «,' X + big + riz -L A^ d^u +gi ic = k,' a^' X -f kjg + Ca' s + -^ doU^, v -\- gj w = kj , und wird in der zweiten derselben: tto X -f b-^'g -\- c^ z -j- ^ d-^u ^= — i'a setzen. Man gelangt so zur unbestimmten Gleichung: (167) ' ^^' tp<fg Denkschriften der m.ithem.-naturw. Cl. XIV. Bd. Abhandl. von Nichtmitgl h 58 Ignaz Heger. wo die Grössen «» -, ß'iT-i • ■ ■ <^2 ganze Zahlen bedeuten, welche die unbestimmte Gleichung erfüllen ; (168) (ß, eo) öo + (6, e,) ß, + (c, e,) ^, + + (rf, e,) (?, = jr f^ ip, . In ganz ähnlicher Weise ergibt sich die dritte unbestimmte Gleichung der (151), wenn man den allgemeinen Buchstaben l durch den andern d ersetzt. Die transformirten Gleiehun- oen haben in diesem Falle die Gestalt: <!r + 6/i/ + 6/3 + + ^elvArglw=k; a,2X -\-böy ^c^z -\- ■ ■ ■ ■ -\ u -{- e^v -}- g.^ lo = Ä;./ und man wird: a^x -\-h,^y -^ c^ z -\- . . . . ^ — u., setzend, zur unbestimmten Gleichung gelangen: 9äU2 — <paU=~-~— [(^i«2)«3 + {^A^ßi + (^'1^3)^3 + • • ■] fpe Yg Y (169) + -^ {{a,g.^ a, + {b,g.)ß, + {c,g.^ r^ + • • •] + -^^ [(«1 62) «3 -f (^1 62) A + (ci e^) r. + ■ • •] wo die Grössen «3 , /?3 , ^'3 . . . ganze Zahlen sind, welche durch Auflösung der unbestimmten Gleichung: (170) (a, d) «3 + (^1 f^) A + (ci d) ^3 + ■ • • ■ = <P, <P. <Pg 9 gewonnen werden. In dieser Weise fortfahrend, kann man der Reihe nach alle unbestimmten Gleich inigen] (151) aus den hier aufgestellten allgemeinen Formeln ableiten, indem man den allgemeinen Buchstaben l durch den passenden ersetzt. Das Gesetz, nach dem dieselben gebildet werden, ist aus den Formeln (166) (167) (169) mit den Bedingungsgleichungen (165) (168) (170)1 unmittelbar zu ersehen und es unterliegt keiner Schwierigkeit, auch die folgenden unbestimm-] ten Gleichungen alsogleich zu bilden. Es bleibt jetzt nur noch übrig, die zwei allerletzten bestimmten Gleichungen (152) zu bilden. Auch diese gehen aus den allgemeinen Formeln (163) hervor, und zwar wenn mau l durch c ersetzt. In der That sind in diesem Falle die transformirten Gleichungen folgende : a^x -|- 6/3/ -\- 4- . . . . + tZ/w + e/ i' -f-_^/ w =: k^ O2' X -|- K^y -{■ -— z ^ . . . . + d.2 u -^ e.^ V -^ g^ w =^ k,'. Hier ist nun: 4'i' — g^ w — e/ w — d,'u — . . . . = 4-2, a/ X + b.y y=^ — S2 zu setzen. Man gewinnt so die letzte unbestimmte Gleichung der (151) in der Form: I über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. wo a , y? ganze Werthe besitzen, gezogen aus der Gleichung: (172) (a,c,)«4- (6,c-,)/5 = ^.. . . ^"^ ^^. jp^ j?. Die zwei bestimmten Gleichungen in x , ij sind: (173) <a; + 6,'?/=: + 2i «./x -f- h.^y = — s., mit den Werthen: (1<4) «, =- , 6i =- «a' = — ß , bj ^ -j- a weil («,6.,) = -)- ^ (pg<p^(p^j(p ist, und: (175) + z^ = - [(^,Co)^-(Cl5'.,)^<;4- (t'.e.)?;^- (c, d) m + . . . .] '^- («,*,)[. [(^■Ja,) + {a^g.^w + («iß.,)« + («icZa)^ -t- ....]« +-i [(Ä;, ^.,) + (ii^'o) MJ + (6, e,) z; + (6, e.) m +....] /? J ' Hiemit ist die wirkliche Berechnung vollkommen angebahnt. Um eine specielle Auflösung in ganzen Zahlen zu finden, wird man mit der Auflösung der ersten unbestimmten Gleichung (166) beginnen; nachdem man früher die darin enthaltenen Grössen «, , /5, ,;-,,.. £, aus der Bedingungsgleichung (165) gezogen hat. Den gefundenen ganzen Werth von w setzt man nun die zweite Gleichung (167) nachdem man früher die Hilfsgleichung (168) in ganzen Zahlen aufgelöst und die Werthe von a.^, ß<, .j. ■, ■■■ fJ, gesucht hat. Der zweite Theil der Gleichung (167) verwandelt sich hiedurch in eine ganze Zahl, wie aus den früheren Untersuchungen bekannt und leicht einzusehen ist, und man wird für v einen ganzen Werth finden können. Die gefundenen Werthe von v und?« werden dann in dritte Gleichung (169) gesetzt, nebst den aus der (170) zu suchenden Werthen o.^ , ß.^ , y., , . . . Der zweite Theil verwandelt sich aber- mals in eine ganze Zahl und man wird demnach auch für u einen ganzen Werth finden u. s. w. bis endlich die letzte Gleichung (171) den zugehörigen ganzen Werth von z geliefert hat. Die Werthe von x und y findet man nun gleichfalls in ganzen Zahlen aus den Gleichungen (173) nachdem man die durch die (174) und (175) gegebenen Werthe von a/ , b^ , a.,' , bj , z, , — s., mit Hilfe der früheren Ergebnisse berechnet hat. Die zwei Gleichungen (173) liefern in diesem Falle nur ganze Werthe für x und y, weil ,i', und — ^g ganze Zahlwerthe erhalten und die Determinante «,' L,' — aJ 6,', wie auch aus den Formeln (174) und der bestehenden Bedin- gungsgleichung (172) ersichtlich ist, den Werth 1 besitzt. 60 Jgnaz Heger §. 16. III. über das Aufstellen der allgemeinen Formel, welclie alle möglichen ganzen oder gebrochenen Auflösungen mit einem be stimmten Nenner in sieh enthält. Die in §. 7 — 10 gelehrte Transformation eines unbestimmten Systemes von zwei Glei- chungen wurde im Vorhergehenden mit Nutzen angewendet, um zuvörderst die Frage zu entscheiden, ob ganze Auflösungen bei einem Systeme zulässig seien, und Avenn dies nicht der Fall war, den Werth des kleinsten möglichen Nenners kennen zu lernen; ferner hat sie ihre Wirksamkeit erwiesen bei der Berechnung einer speciellen Auflösung des Systemes; sie führt aber auch zur allgemeinen Formel, welche alle Auflösungen einer bestimmten Gattung (entweder alle ganzen oder alle gebrochenen mit einem bestimmten Nenner) in sich schliesst und mit einer entsprechenden Anzahl ganzer willkürlicher Grössen verknüjjft ist. In §. 2 wurde die allgemeine Gestalt einer solcher Formel bereits entwickelt, und angegeben, dass die Aufstellung derselben im Grunde die specielle Auflösung mehrerer verschiedener Systeme von Gleichungen voraussetze, die aus dem gegebenen Systeme durch sehr einfache Substitu- tionen abgeleitet werden können. Die hier in Eede stehende Transformationsweise des Systemes von zwei Gleichungen würde ohne alle diese früheren Untersuchungen zu genau demselben Resultate führen , wenn mau anstatt, wie bisher geschehen, bei der Auflösung der unbestimmten Gleichungen nur einen einzigen speciellen Werth der darin enthaltenen Unbe- kannten aufzusuchen, den completen , mit einer willkürlichen ganzen Grösse verknüpften Werth sich verschaffen würde. Die so eingeleitete Rechnung würde dann offenbar zu einer gleichen Anzahl von willkürlichen Grössen führen, als unbestimmte Gleichungen, oder was dasselbe ist, als überschüssige Unbekannte in den Gleichungen vorhanden sind. Insoferne wäre demnach mit der in Rede stehenden Transformation eines Systemes von zwei unbestimm- ten Gleichungen sogar das hier vorliegende Problem, nämlich die allgemeine Auflösung als erledigt und auf bekannte Grundoperationen zurückgeführt anzusehen. Nichts desto weniger halten wir es für erspriesslich, dieses Problem noch einer näheren Erörterung zu unterziehen, da es in allen Fällen , wo diese Rechnungen nur einigermassen an Umfang zunehmen , eine klare Übersicht und das Vermeiden aller Umwege unerlässlich wird. Dies ist der Grund warum wir hier die in Rede stehende Transformation ersetzen werden durch ein anderes gere- geltes Verfahren. Nach den Ergebnissen des §. 2 ist die allgemeine Formel der Auflösungen eines Systemes von zwei Gleichungen ihrer Gestalt nach durch die (15) gegeben, wenn man darin ?i=2 setzt. Bevor man aber zur Aufstellung derselben schreitet, ist noch früher zu bestimmen, welche Ordnung man den verschiedenen Unbekannten anzuweisen gesonnen sei, gewissermassen, welche derselben man als unabhängige und welche als abhängige betrachten wolle, weil von dieser Anordnung der Unbekannten die Gestalt der allgemeinen Auflösung abhängt, wie schon im §. 2 erörtert wurde. In den gewöhnlichen Fällen, wo alle Determinanten des Systemes von Null verschieden ausfallen, unterliegt diese Anordnung der Unbekannten keinerlei Beschränkung und man kann nach voller Willkür dabei zu Werke gehen , indem eine jede mit gleichem Geschick die Rolle der Unabhängigen, wie jene der Abhängigen zu übernehmen geeignet ist. In gewissen Fällen aber, die zu den Ausnahmen zu rechnen sind , erweisen sich manche Unbekannte als untauglich, die Rolle der Unabhängigen zu spielen, indem ihre Wejthe über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen etc. Ol ilurrli die lileicliungen bostiuimt sind: und dann daii'niaii wohl luclit melir ganz nadi \Villkiir dabei zu Werke gehen. Diese Ausnalinisfälle geben sieli aber immer durcli das Nullwerdeu einzelner Determinanten zu erkennen und können gelegentlicli sogar zum Wegfallen einer der beiden Gleichungen fuhren, weil sie von der andern nicht verschieden ist, odei' w(dil gar einen Widerspruch zwischen beiden (ileichungen aufdecken, liier nehmen wir aber auf alle diese Ausnahmsfälle keine Ivücksieht, sondei'n werden sie in einem späteren Paragraj)he (§. 2.5) zum Geiienstande der Erörterung machen. Hier nehmen wir nur auf jene Gleicliungen Kücksicht, bei denen eine solche J^eschränkung in der Wahl der abhängigen und unabhängigen Unbe- kannten nicht eintritt, mit anderen Worten, bei denen keine der Determinanten gleich Null wirtl. Es seien auch hier, so wie früher: il76i ^ir=:«.ja; + 6]?/ + t',s-; . . . . il^n Ar e^v A^ g^w k., = «jX + b.>y -)- c-.,3 -f- . . . . i- dn u -{- e., v 4- g., ic die zwei gegebenen unbestimmten Gleichungen und wir wollen hier voraussetzen, dass keine einziffe ihrer Determinanten einen Nullwerth erhalte. Den darin erscheinenden Unbekannten: o X . g . z , . . . . u . r ^ w wollen wir die hier ersichtliche Rangordnung ertheilen, wo also v und lü die beiden abhän- gigen , die übrigen aber die unabhängigen Unbekannten vorstellen. Den Ergebnissen des §. 2 zufolge ist die allgemeine Auflösung dieses Systemes alsdann in folgender Gestalt zu suchen: (177) u = ^- [Uo + Ui? - iur/^ u,C + + u„,_o/5] ^ = ^ K + i^f -r ^,-^/ - ü.C + \- u_.''>J Hier bedeuten c , 5^ , f , • • • * willkürliche Grössen m — 2 an der Zahl, welche alle beliebigen ganzen Werthe erhalten können. 9J , ;l'u • t)o ^ äu • ■ • • ^o • i-'" ? ^^V • Xt • '>^\ ■ ]i ■ ■ • u, , Dl . \x\ : 1^2 , 5,, , . . . Uo , üo . Wo ; u- s. w. bedeuten aber bestimmte ganze Zahlen. Die Bestimmung dieser zuletzt aufgezählten Grössen ist eben die hier gestellte Aufgabe. 5R ist der allen zu suchenden Auflösungen zukommende Nenner und als solcher entweder im Voraus als eine bestimmte Zahl gegeben, oder erst zu suchen. Verlangt man die mit den kleinsten möglichen Nenner versehenen Auflösungen, so ist 9i noch nicht bekannt, sondern muss erst bestimmt werden und besitzt namentlich den kleinsten möglichen ganzen positiven Werth, welcher aus den zwei Gleichungen : (178) A;,9?r=rtji; + /',t)^(n- . . . - d,u + e,\) + g,\v kJl = a,X^b,\:) -c,5-r + d.,n + e,l^ -i,- g.AV 62 Ig7iaz Heger. überliaupt erhalten werden kann , ohne die übrigen darin erscheinenden Unbekannten ^ , t) , j , . . . u , D , >U , der Möglichkeit zu berauben, ganze Werthe zu erlangen. Diese zwei Gleichungen unterscheiden sich von den ursprünglich gegebenen nur darin, dass diel Constanten Grössen k^ , k., mit 9l multiplicirt werden und die Unbekannten cc , ?/ , s , . . u , V ^ 10 beziehungsweise in ^ , ^ , j . . . . u , d , It) geändert werden. Es kann aber auch 9i schon im Voraus gegeben sein, nur muss dann, soll das Problem überhaupt möglich sein, dieser gegebene Werth von 9t theilbar sein durch den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth von 9t, welcher den ganzen Auflösungen des kSystemes (178) entspricht. Der Fall wo 9t = 1 ausfällt, ist ein specieller und bezieht sich auf die ganzen Auflösungen. Jedes auf die Gleichungen (176) Bezug habende Problem, gleichgültig, ob dabei ganze oder gebrochene Auflösungen gesucht werden, lässt sich aus den allgemeinen Gleichungen (178) durch Auflösung derselben in ganzen Zahlen erledigen, wenn man über den Wertb der darin erscheinenden Grösse 9t die geeigneten Verfügungen trifft. Die in der allgemeinen Formel (17 7) erscheinenden Grössen ;Co , t)o , 3o ? • • • Uu ? t)o » ll^o sind eine specielle Auflösung des Systemes (178) in ganzen Zahlen, wenn 91 darin jenen bestimmten Werth besitzt, den es in den Formeln (17 7) bedeutet, und: (179) X =: fo y _äu_ 31 ^o = ist alsdann eine specielle Auflösung des ui'sprünglich gegebenen Systemes (176) in Brüchen mit dem Nenner 9{. Ersetzt man in den Gleichungen (178) 9t durch Null, wodurch sie übergehen in: (180) 0 = o2;i: -f h.,\) + Cgj + . . . . + cLu 4 c^oD + g.iW und sucht nun den kleinsten positiven, von Null verschiedenen ganzen Werth von ;i:, welcher ganzen Auflösungen dieser zwei Gleichungen entspricht, so ist dies geradezu der Werth von ^, , und die übrigen Grössen t)i , ji , . . . Ui , D, , Wj, welche in den Formeln (177) die zweite Verticalreihe von Coefficienten vervollständigen, sind irgend eine specielle Auflösung dieser zwei Gleichungen (180) in ganzen Zahlen, die dem Werthe i; = ^-j entspricht. Auf vollkommen ähnliche Weise findet man aus den zwei (ileichungen: (181; 0 =6,t^ + r-,5 + + d,\x -f e, D -f g, xo die für 9t = 0 , ^ = ü aus den Gleichungen (178) hervorgehen, zunächst t)._, . wenn man den kleinsten positiven von Null verschiedenen Werth von y sucht, der ganzen Auflösungen ent- spricht, 1111(1 hierauf,^. , . . . Uo , ü._, , W-, , wenn man t)=t)j setzt, und irgend eine specielle Auflösung des Systemes nach den übrigen Unbekannten sucht. Endlich die letzte in der Formel (177) erscheinende Verticalreihe von Coefficienten: U„,_, , li„_ \V„,_o geht aus den zwei Gleichungen: (182) 0 =- r?, u + 61 D -f g^ \v 0 =: (l, u 4 e, D -f g., \v über die Auflösung eines Systemes ro)i iiiehrcrf» iiiihe.sfinivi/ci/ (l/cirlniiigoi de. 63 hervor, welche für :^Ji:^0 , |i; = Ü , t)^0 , 5 = 0 , .... aus den (178) abgeleitet werden. ii„,_.j ist der Ideinste von Null verschiedene ganze Wertii, dessen u fähig ist, ü„,_..> , lu,„_2 sind die entsprechenden, diesmal vollkoiniiien bestimmten Werthc von u und \\\ Dies sind die Ergebnisse des §. 2, angewendet auf den hier vorliegenden Fall von zwei unbestimmten Gleichungen mit 7n Unbekannten. Nachdem sich also, die vollständige Auflösung der Gleichungen (176) auf eine speeielle Auf- lösung der Systeme (178) (180) (181) (182) zurückführen lässt, so wollen wir das zu diesem Zwecke dienlicheVerfahren, welches imVorhergehenden erörtert worden, in Anwendungbringen. Beginnen wir mit der Auflösung der Gleichungen (178), welche die Werthe von fo , t)^ , j« , . . . Ui, , Do , U\i und 9i zu liefern bestinnnt sind. Die Bestimmung des kleinsten möglichen Werthes von 9i kann man niemals umgehen, selbst dann nicht, wenn Auflösungen in ganzen Zahlen gefordert werden, weil man sich früher von der Möglichkeit überzeugen muss, dass 5R wirk- licb gleich Eins gewählt werden könne und demnach ganze Auflösungen bestehen. Der Gang dieser Untersuchung ist schon im §. l-i angegeben. Die Eegel schreibt vor: die Determi- nanten : (ka) , (kb) . {kc) {kd) , (ke) , {kg) (ab) . (ffic) (ad) . (ae) , (ag) {bc) , {bd) . {be) . (bg) ^^^^^ (od) , (ce) . [ag) (de) , (de) zu bilden und aus ihnen die im Vorhergehenden mit (p^. bezeichnete Zahl zu suchen. Diese Zahl (fi. ist der kleinste mögliche Werth, der dem 9^1 ertheilt werden darf und wird gleich Eins gefunden, wenn ganze Auflösungen bestehen. Um diese Zahl (f,. zu finden, suche man zuerst den grössten gemeinschaftlichen Factor <f aller hier aufgeführten Determinanten (183) und dann den grössten gemeinschaftlichen Factor <p (f,. aller von k freien Determinanten, die nach dem Weglöschen der ersten Horizontalreihe übrig bleiben, und bilde den Quotienten -^=^^4. Dem 5R kann jeder durch (p,. theilbare Werth ertheilt werden. Ist der Werth von ?{ festgestellt, so kann man zur Bestimmung einer speciellen xVuflö- sung: jCy , ^„ , 3o , . . . Uo , Do , IDo des Systemes (178) nach der im §. 15 auseinander gesetzten Regel schreiten. Man hat nämlich zuvörderst eine Reihe von unbestimmten Hilfsgleichungen in ganzen Zahlen aufzulösen, nämlich die folgenden : {ab)ß' + {ac)y' -f + {ad)d' + (ae)^' {bc)f ^~ + {bd)d" -r{be)e" (184) -V^{cd)d"' + {ce)s"' + M -n =^F^ + {bg) rj' = F, + ipsW = F^ {de)s^"-'>-]-idg)7j^"-'^=K, in denen die in den zweiten Theilen erscheinenden Constanten F^ , F,, , F^ , . . . F„ die gröss- ten gemeinschaftlichen Factoren der in den ersten Theilen erscheinenden Coefficienten, d. h. je einer Horizontalreihe der Determinanten in (182) sind. F, oder nach der früheren Bezeich- nung ^f^t^a i-'^t der grösste gemeinschaftliche Factor aller jener Determinanten , welche in 04 Tgna z Heger. (183) die zweite Horizontalreihe bilden, die also von k frei sind und a in sicli enthalten, i^,, oder nach der frühereu Bezeichnung (p <f^ <p^ (pj, ist der grösste gemeinschaftliche Factoi- aller von k und a freien und mit h versehenen Determinanten, die in (183) die dritte Horizontal- reihe darstellen u. s. v\r. Die Auflösung dieser Hilfsgleichungen (184) ist, wie leicht einzusehen, nur mit einer geringen Mühe verknüpft, weil mit dem Aufsuchen der Factoren F^ , F,j , F^ , . . . F^ der grösste Theil der Rechnung schon vollendet ist, wenn man bei der vorausgegangenen Bestim- mung von (f,. den zweckmässigen Weg eingeschlagen hat. Hat man diese Hilfsgleichungen (184) aufgelöst und für die Hilfsgrössen ß' , y' , iT , s , rj' . ß" ,;-".... 7^'"'+-^ ganze Zahlwerthe ermittelt, die ihnen Genüge leisten; so hat man nun nur noch die Werthe : (185) /C = {kb)ß' + {kc) r' -T ~ {kd) ff + {ke) s' -f (kg) r/ K„== {kc)f + + [kd) d" + [ke] s" + [kg) yj" ^^ ' A = («c)r" + + («fO ^" + M ^" + («S') rj" K, = {ke)e^-"-^^ + {kg)r/"'-^^ ^^'-'^ B,^^{be)s^-^^ + {bg)vi^"'-'^ zu rechnen, um dann alsogleich zu den Gleichungen zu gelangen, welche die Werthe j:u,t)o5 5o> . . . Uo , Do , U">„ zu liefern geeignet sind. Dieselben sind nach §. 15 folgende: (188) ^.,u+f„U--^[7v:, ?f--.l„ f--7?„ >5^-a, ^- ..-i ^^ = Te,^ [ ^''3) '^' - - - ^«.9) ?^ - (^J7) »} - {<^9) 5 - ■ ■ ■ ' {d<i) u] 111 -^ -^ [ (^e) 9i — [ae) f - - \h e) l^ - - (ce) ,^ -....- fc/e) u]. In <Iiesen Gleichungen bedeuten (p^ . </>,, , ^, , . . . ^„ . ^,. , <f,, , f , , . . . f„ beziehungsweise die früher mit </>„